Il fera aifé à toutle&eur un peu géomètre, de
voir que cette propofition affez ingénieufe-, n’eft
qu’une généralifation de la fameufe propofition
fur les quarrés des deux côtés du triangle rectangle
, comparés au quarré de l’hypoténufe. En
effet, fuppofons le triangle BAC rectangle en A ,
& que les deux parallélogrammes C E , B F , foiént
deux quarrés 5 on trouvera bien aifément que le
troisième parallélogramme BN fera auffi un quarré
, favoir., celui de l'hypoténufe : donc en vertu
de la démonftration précédente, ces deux premiers
quarrés feront égaux au troiiïème.
Dans tout-parallélogramme , la Jomme des quarrés
des quatre côtés eft égale a celle des quarrés des diagonales.
Il n’y a aucune difficulté à le prouver pour les
parallélogrammes rectangles ; c’ eit une fuite évidente
de la fameufe propriété du triangle rectangle.
Soit donc le parallélogramme oblique ABCD
( fig. i $ j pl. ƒ ) , dont les diagonales font A D ,
B C > d’un angle A abaiffez fur la diagonale CB la
perpendiculaire AF , vous aurez par la douzième
propofition du livre II d’Euclide, le quarré de
AB égal au quarré de AE , plus le quarre de BE ,
plus deux fois le re&angle de FE par EB : on a
auffi le quarré de A C égal à la fomme des quarrés
de A E , E C , moins deux fois le re&angle de FE
par E C , qui eft égal à celui de FE par EB , à cau-
fe que EB eft égaie à E C : donc la fomme des
quarrés de A C , AB , eft égale M deux fois le
quarré de AE , plus celui de EE,plus celui.de E C ,
ou deux fois le quarré de A E , plus deux fois
celui de BE.
Mais les quarrés de B D , DC , font égaux à
ceux de A B , À C , à caufe de l’égalité des lignes .
CD , BD à A B , A C refpe&ivement : ainfi les 4
quarrés des quatre côtes feront égaux à quatre
fois le quarré. de B E , plus quatre fois celui de
AE . Or quatre fois le quarré de BE forment le
quarré de B C , 8c quatre fois le quarré de AE égalent
celui de AD : donc, &c.
Dans tout quadrilatère , quel q u i l fo it , la fomme
des quarrés des côtés eft égale à celle des diagonales,
plus quatre fo is le quarré de la ligne qui jo in t les
milieux de ccs diagonales.
Soit le quadrilatère A B CD , {fig. 16 ,p l . y ƒ dont
les deux diagonales font A C , BD ; qu’on les fup-
pofe coupées en deux également en E & en F ,&
qu’ on tire la ligne EF : on fait voir que les quarrés
des quatre cô té s , pris enfemble , font égaux
aux deux quarrés ç}es diagonales, plus quatre fois
le quarré de EF.
On fe borne ici à renoncé de ce théorème, I
très-élégant &:très-curieux, qu’on doit, jecrois
au célèbre M. Euler. On en trouve la démonftraî
tion dans les nouveaux mémoires de Pétersboure
tom. V j mus elle feroit trop prolixe pour ce lie»*
ci.
Remarquons feulement que quand jle quadrilatère
ABCD devient un parallélogramme, alors
les deux diagonales f e coupent en deux également •
ce qui fait que les points E 8c F tombent l’un fur
I Fautre , & la ligne EF s’anéantit. Ainfi le théorème
précédent n’eft qu’un cas de celui-ci.
Les trois côtes d'un triangle reliiligne étant donnés
en mefurer la furface , fans rechercher la perpendiculaire
abaijfée d ’un des angles fur le ,côté oppofé.
Prenez la demi-fomme des trois côtés du triangle
, 8c retranchez de cette demi-fomme chacun
des trois côtés : cela donnera trois reftes, qui,
étant multipliés enfemble, & le produit par cette
demi-fomme, formeront un nouveau produit,
dont la racine quarrée fera l’aire cherchée.
Que les trois côtés foient, par exemple , 50,
1 2 0 , 1 co toifes5 la demi-fomme eft 160, la première
différence eft 110 , la feconde40 , la troi-
fième 10 5 le produit de ces quatre nombres eft
7040000, dontla racine quarrée eft 2653, & près
de i i;. :
U eft aifé de prouver que , fi l’ on procédoit par
les voies ordinaires , c’eft-à-dire en cherchant la
perpendiculaire^ tirée d’un angle fur le côté op-
pôfé on auroit eu beaucoup plus de calculs à
faire.
Cette méthode fournitun moyen facile de trouver
le rayon du cercle infcrit dans un triangle dont
les trois côtés, font donnés: il n’y a qu’ à faire le
produit des trois différences de chaque côté avec
la demi-fomme , puis divifer .ee produit par cette
demi-fomme , 8c du quotient extraire la racine
quarrée} elle fera le rayon cherché.
Ainfi , dans l’exemple cLdeflus, le produit des
différences eft 440005 ce q u i, divifé par iéo,
donne 275, dont la racine quarrée eft 16
c’eft le rayon du cercle infcrit dans le triangle
propofé.
Avec cinq quarrés égaux, en former un feul.
Divifez un côté de chacun des quatre quarrés,
A , B , C , D (fig. 3 , n ° , 1 & 2 planches 10, Amu-
femens de Géométrie')., en deux également, & tirez
, d’un des angles contigus au côté oppofe,
une ligne droite à ce point de divifion ; coupez
enfuite ces quatre quarrés par cette ligne, ce
qui les partagera chacun en un trapezeôc un
triangle , comme l’on voit dans la fig. 3 ,n • 1*
Arrangez .eqfin ces quatre trapèzes 8c ces fjgÿ
tre triangles autour du quarré entier E , comme
vous le voyez daps la fig. 3., n° 2 ; vous aurez un
quarré évidemment égal aux cinq quarrés donnés.
Au moyen de la folution du problème fuivant,
on pourra former un feul & unique quarré de
tant de quarrés qUe pon voudra. Gar , de tant de
quarrés qu’on voudra, on peut former un quarré
long 5 or on va enfeigner dans le problème qui
fuit 3 comment un quarré long quelconque peut
être réfolu en plufieurs parties; qui foient fufeep-;
tibles d’être arrangées de maniéré à former un
quarré.
Un reHangle quelconque étant donné , le transformer, ■
par une fimple tranfpofition de parties , en un.
quarré.,
Soit le re&anglè ABCD {fig. 4 ,n ° , 1 , pl. 10
Pour le recouper en plufieurs parties qui puiffent
s’arranger en un quarré parfait, cherchez d’abord
la moyenne proportionnelle géométrique entre
les côtés B A , AD de ce re&angle 5 faites AE égale
à cette moyenne proportionnels , & tirez EF
perpendiculaire à AE : cette ligne EF coupera
AD^en un point F , lequel tombera ou au-dela de
Dj à l’egard du point A , ou fur le point D m ême,
ou entre D & A : ce qui forme trois cas , dont le
dernier même fe fubdivife en deux 5 mais l’un d’eux
étant bien compris, ne laifteplus aucune difficulté
pour les autres.
Premier cas. Soit donc premièrement le point F
au delà de D , comme l’on voit dans la fig. 4 , n°. i
1 j la ligne EF coupera CD en un point L : faites
ÀG égale à DL , 8c tirez GH perpendiculaire à
AE ; elle retranchera du triangle ABE le petit
triangle AGH : coupez enfin le re&angle donné
AC en quatre parties , fuivant les lignes A È , EL
& GH 5 il en refultera quatre parties , favoir , le
trapeze AELD , le triangle E C L , le trapeze GB
EH, & le petit, triangle A G H , que nous nommerons
refpedtivement a , b , c, d : arrangez enfin
ces quatre morceaux comme vous voyez dans la
fig- 4, ri° 2 , 8c vous aurez un quarré parfait.
La démonftration eft facile à trouver , en conférant
, dans la fig. 4 , n° 1 , le quarré fait fur
ÔE, favoir : AE^KI ,• mais, avant to u t, il faut démontrer
que fi l’on tire AI parallèle à EF , & par
le point D la parallèle Kl à À E , le redangle qui
en réfulterâ, AEKI, fofa un quarré. Or c’ eft ce
qui eft très-facile ,• car , prolongeant IK jufqu’à fa
rencontre en P avec BC prolongée, on a évidemment
le redangle AEKI égal au parallélogramme
ADPE, lequel eft égal au redangle A B C D , ou
AB par AD 5 d’où il fuit que AE par AI eft égal à
ABx AD : mais le quarré de ÀE eft égal à AB par
; cçnféquemment A E par A I eft la même
cnofe que le quarré de AE.
Cela étant démontré , tirez LG parallèle à i
A D , 8c LM parallèle à AË 5 p uis , des points
M & G , tirez à AD & ÀE les perpendiculaires
MN 8c GH :• il eft évident que le triangle
AMN eft égal & femblable à Ê LC .* de même
le triangle AGH eft égal & femblable à
DE,K : enfin le trapeze BEHG eft égal & femblable
à ND-IM 5 car BE eft parallèle & égale
à D N , BG à M N , DI à E H , ■ & MI à GH.
Les quatre parties AELD , E CL ', BEHG ,
A G H , qui compofent le re&angle A C , font
donc égaies aux quatre, A E LD , AM N , NDIM ,
DLK , qui compofent le quarré A E K I , ou fou
éga l, celui de la même figure , n°. 2 : donc ,
Second cas. Si le point F tomboir fur le point
D , la folution du problème feroit extrêmement
facile 5 car alors le triangle d deviendreit nul, puii-
qüe DL feroit nulle 5 ainfi. le quarré égal au rectangle
feroit compofé du triangle AED re&angJe
& ifocele {fig. 4 11®. 3 ) , & de deux autres tria: •
gles auffi reétangles 8r ifoceles , A B E , C D E y
égaux ^entr’eux & la moitié du premier : ce qui
ne prefènte aucune difficulté pour être arrangé
ën quarré. Ce^ cas en effet ne peut avoir'lieu
que quand le côté AB eft précifément la rhoitié
de AD ; le re&angle A C eft donc alors compofé
de deux quarrés égaux. Or on fçait comment
de deux quarrés égaux on en forme un feul.
Troifième cas. Suppofons préfentement le point
F tomber entre A & D (fig. <?, n°, 1 ) , mais
en téile forte que FD foit moindre que EB Faites
dans ce cas , EG égale à FD , & tirez GH perpendiculaire
a AE 5 vôus aurez le redfangle A C
partagé en quatre parties , fçavoir , le triangle
AEF , le trapeze EFDC , le trapeze ABGH ,
& enfin le triangle EG H , que nous nommerons
encore refpedivement a , b , c , d. Le redangle
étant découpé en ces quatre parties , on les arrangera
comme on voit dans la {fig. 6 , n°. 2 )
& l’on aura 'un quarré parfait : ce qui eft encore,
facile à démontrer.
^ Si FD étoit précifément égale' à EB il eft
éyident qu’au lieu du trapeze A BGH , on auroit
un triangle ABA 5 enforte que le quarré à com-
pôfer feroit formé de trois triangles & d’un trapeze
EÇDF , comme on le voit dans la fig. 6
n°. %.'
v Si FD excedoit E B , & étoit précifément égale
à A F , alors il faudrait tirer DM parallèle à £F 5
& le rectangle étant coupé felon les lignes AE
EF & MD , qui formeroient trois triangles &
un parallélogramme E D , on les arrangeait comme
l’on voit dans la fig. 6 ,n° . 3 , pour en former
le quarré AIKE,
- On peut fuppofer enfin que la hauteur AD
0 j du lectangle. propofé, foit telle qu’ayant