deux quarrés ; placez-ies l’un auprès de l’autre,
enforte que leurs côtés AB & BE ne forment
qu’une feule ligne AE ; prenez fur la ligne AB
la partie AH égale au côté BE , & tirez les lignes
HG & HC > imaginez enfuite que le triangle
GEH fe meut au point G , & qu’ il vient fe placer
en GFI > concevez de même que celui HAC fe
meut au point C 8c fe place en IDC , & vous
aurez le quarré HGCI égal aux deux quarrés pro-
pofés.
Nota. Cette ingénieufe démonftration du précédent
problème, peut s’exécuter en carton, il
fuffit d’ y tracer les deux quarrés joints enfemble
& découper les deux triangles C AN & HEF, afin
de pouvoir les changer de place.
Former un quarré dont la fuperficie foie moitié de
celle d’un autre quarré donné.
Soit le quarré donné A B CD , (fig. 19 , bis.pl.
1 . ) tirez les deux diagonales AD 8c BC , la ligne
A E fera le côté d’ un quarré qui doit être moitié
de celui ABCD : ce qu’ il eft aifé de voir en élevant
à l’extrémité des lignes E C & ED les perpendiculaires
CE 8c DF.
Si on vouloir que le quarré fut double du quarré
donné A B C D , (fig. 20. ) on former oit le quarré
CBEF fur la diagonale BC.
Trouver un quarré dont la fuperficie foit égale a la
différence de celle de deux autres quarrés donnés.
Soient les deux quarrés donnés ABCD & EFG
H , (fig. 2 1 , pl. i . ) partagez en deux parties
égales le côté AB du plus grand, & décrivez l’arc
de cercle AI B , portez la longueur EF du plus
petit quarré donné, depuis A jufqu’au point I ,
& tirez la ligne IB ; les deux quarrés ONAI &
LMNB étant égaux au quarré donné ABCD , &
celui ONAI au quarré E FGH , il s’enfuit que la
fuperficie du quarré LMCB eft égal à la différence
de celle des deux quarrés donnés.
Tracer un parallélogramme dont la fuperficie foit égale
a celle d'un triangle donné.
-Soient le triangle A B C , (fig. 16 , pl. 2. ) qu’on
veut réduire en un parallélogramme ; menez la
ligne AD parallèle à la baie du triangle C B , partagez
cette même bafe en deux parties égales au
point F ; menez la ligne FE parallèle à A C , &
Je'parallélogramme A E C F , fera de même fuperficie
que le triangle donné ABC : cette figure 16
(ainfi.que quelques-unes de celles qui précèdent)
peut s’exécuter en carton, les deux triangles GFB
& GEA étant femblabbs.
Former un quarré dont la fuperficie foit femblablc \
celle d’un parallélogramme rectangle donné.
Soit. A B C D , (fie. 1 1 , p l. i , ) le parallélogramme
donné » prolongez fon plus petit côté AB
mfqu’eii E , enforte que la ligne AE foit égale à
la ligne A C 5 du milieu F de cette ligne comme
centre, décrivez l’arc de cercle A G E , 8c pro.
longez le côté DB jufqu’à ce qu’il touche cet arc
au point G , tirez au point G au point A la ligne
A G , fur laquelle vous conftruirez le quarré Hl
GA,qui fera égal en fuperficie au parallélogramme
donné.
«e On peut au moyen de ce problème & de
celui qui précède , former un quarré dont l’aire
foit égale à celle d’un triangle donné, puifquil
fuffit d’en former d’abord un parallélogramme &
enfuite un quarré ».
Changer un quarré en un parallélogramme rettangk J
dont le plus grand des côtés eft déterminé.
Soit ABCD , ( fig. 24 i. pl. 2. ) le quarré
donné ; prolongez un de ces côtés A C jufqu’en
E', enforte que CE foit égal à A C 5 tirez par les
points D 8c E lq ligne indéfinie DH 5 abaiuez fur
l’extrémité D de cette ligne la perpendiculaire
FD égale à DE j menez les lignes FG & CG
parallèles aux lignes DE 8c DF j prenez enfuite
avec le compas la longueur donnée pour cô té du
parallélogramme 8c portez-la depuis le point F
jufqu’en I où elle rencontre la ligne DH j menez
du point G la ligne GL parallèle à F I , & prolongez
vers L j abaiffez fur cette dernière ligne,'
& des points F & I les deux perpendiculaires FN
& IM j cette opération finie, vous aurez le parallélogramme
FINM égal au quarré donné ABCD,
ce qu’ il eft aifé de concevoir fuivant les principes
établis aux précédens problèmes, le parallélogramme
reétangle FINM étant femblable à
celui FGIL à caufe de l’égalité de deux triangles-
ILM 8c FGN ainfï q u ’à celui DOFG dont la fuperficie
eft égale à celle du quarré donné.
Transformer un quarré en un triangle 3 dont la lofa,
gueur quelconque d'un des côtés eft déterminée.
Soit A B C D , (fig. 1 5 , pl. 2. ) le quarré donné)
prolongez fon côté A C jufqu’en E , enforte que
A C foit égal à CE , tirez par les points D &
E la ligne indéfinie DH ; formez fur la ligne DE
le quarré DEFG ; prenez enfuite avec le comp^
la longueur du côté du triangle qui a été deter-1
minée, 8c portez-la depuis F jufqu’en H , tir^,
la ligne G H , vous aurez alors le triangle HFG j
égal en fuperficie au quarré donné, & fon cote
FH fera femblable à la longueur auffi donnée.)
ce qu’ il eft aifé de voir , attendu que ce triangl8
eft moitié du quarré DEFG qui eft lui - ^ellie
- double du quarré donné ABCD.
■ m
Nota. Ce problème & ceux qui précèdent font
Je fondement de l’arpentage j ‘ & peuvent s’appliquer
à quantité d’autres opérations qui font
trop fenfîblis pour qu’il foit néceflaire d’en
donner ici le détail.
Ço iftruire un Cercle dont l'aire foit égal a celui de
deux cercles donnés.
Soient AB 8 c C D , (fig. 2 7 , pl. 2 ) les diamè-
tfes des deux cercles donnés 5 formez-en les deux
côtés EF & FG du triangle reétangle EFG ; divifez
en deux parties égales la ligne EG & décrivez du
point I comme centre le. cercle E F G H , dont
l’aire fera femblable à celle des deux cercles
donnés.
La fuperficie des cerclés eft en même raifon
que les quarrés de leur diamètre, d’ où il fuit
qu’un diamètre double donne une furfaee quadruple.
La circonférence des cercles eft en même raifon
que leur diamètre, d’où il fuit qu’un diamètre
double donne une circonférence double.
Transformer un cercle donné en un triangle de meme
fuperficie.
Soit A B CD , (fig. 25 3 pl. 2. ) le cercle donné,
tirez la tangente ( i) indéfinie BE 8 c le diamètre
AB j divifez ce diamètre en fept parties égales,
6 portez vingt-deux de ces mêmes parties depuis
B jufqü’eh' F }• tirez du- centre G la ligne GF
alors le triangle reétangle GBF fera égal en fu-
perffeie au'cercle donné CD ; ce qu’ il eft aifé
de concevoir , fi après avoir remarqué que le
diamètre du cercle étant à fa circonférence comme
7 eft à 22, la ligné BF a été-faite égale à'cette
circonférence : on fuppofe ici le cercle 8 c le
triangle comme étant-compofés d’une infinité de
etits triangles qui ont tous même bafe & même-
auteur;
Nota. On peut également gratis forme r c e cerclé
en un quarré, en changeant le triangle ci-deffus
en un parallélogramme, dont on formèra enfuite
un quarré î cette transformation fera voir qu’un
quarré dont la- fuperficie eft égale à celle d’un
cercle, eft au quarré fait fur le diamètre de ce
meme cercle, comme 11 eft à 14.
La furfaee dü quarré A B , (fig. r , pl. 3.) inferit
Pp s . Çeirc^e CD étant moitié de celle du quarré
FF circônfcrit autour de' ce même cercle, irs’én-
fuit que la furfaee d’un quarré inferit dans uri cer-
■e- ) à celle de ce meme cercle, comme 7 eft à
la ^ ligne fe nomme tangente lorfqu’elle touche
^conférence d’uncereb fàns le couper étant pro-
*e raY°n q’q*’ touché le.cercle au même point
toujours perpendiculaire à cette ligne,
Amuftmens des Sciences,
11 > 8c que le fegment d’un cercle dont Lare eft
de 90 degrés , eft la onzième partie du quarré
circônfcrit.
Changer la fuperficie d’un poligone en cette d'un
triangle.
Ce problème fe réfout de même que le précédent,
en obferVant de faire la bafe BF (fig. ix 9
2. ] du triangle GBF égale au périmètre du pofi-
gone [2] , auquel il fê trouvera alors abfolumenè
égal, au lieu que dans le problème ci-deffus, il
n’elt égal au cercle que par approximation , lé
diamètre d’un-cercle étant abfolument incommen-
furable* *ayec fa circonféreriee.
Manière de tracer & former d'une feule feuille de
carton tous les differèns poliédres réguliers.
Pour le tétraèdre, tracez fur un carton quatre
triangles équilatéraux, fe joignant par un de leurs
côtés, comme le défigne la fig. i ,p l . 5.
Pour. l’exaedre , tracez fîx quarrés égaux. ,
I (voyez fig. 4 : )
Pour l’ofhedre ; tracez huit triangles équilatéraux,
(voyeifig. 4 .)
Pour lé dodécaèdre, tracez dix pentagones, fuivant
la difpofitîon indiquée par la fg. 5.'
Pour l’ifocaedre , tracez les vingt triangles
équilatéraux de la fig. 6.
Pour en former ces différens poliédres, découpez
d’abord le contour de vos figures & coupez
enfuite avec une règle & un canif la moitié de
Fépaifleur du carton le long'dés lignes qui réparent
chaque furfaee,réploÿez le tout'& lé joignez,
comme il- eft convenable, en les collant par les
côtés où elles doivent fe toucher.
On peut conftruire ces poliedrès d’une autre
manière, en élevant fur chacune de leurs fur-
facés une pyramide dont lés;Cotés foieflt dé même
longueur que le rayon de'là fphère dans1 laquelle
ils peuvent être inferits y alors on collé la bafe
de ces pyramides fur uné peau mince, en obferVant
de les placer dans l’ordre défîgné par les
fig. 3 ,4 , 5 , 6 y ci-deffus î on replie le tout pour
en former ces corps réguliers ; ce qui fert à faire
connoître qu’ ils font compofés d’autant de pyramides
femolables qu’ils ont de furfaces: 8c que
leurs1 fommets fe joignent tous au même centre.
Pour connoître la furfaee de ces différens po-
Iiedre’s , iLfaut multiplier celle d’un de leurs côtés
par leur nombre.
• C1! Le périmètre d’un poligoiiè eft une ligne égale
a toqs ces côtés.
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