4*3 i^54 5' & enfuite par divers autres géomètres.
Si les deux cercles qui forment la lu nulle d’Hippocrate
font achevés , il en réfultera une autre
ïunulle qu’on pourroit appeller conjuguée , , &
où Ton pourra trouver des efpaces mixtilignes ab-
folument quar râbles.
Soit tiré en effet du point F un rayon quelconque
FM , coupant les deux cercles en R & M î -
Ùg- 1 1 3 ibid.) on aural’efpace mixtiligiie RAMR
'^gal au triangle rectiligne LAR : ce qui eft aife a
démontrer } car il eft facile de faire voir que le
fegment AR du petit cercle , eft égal au demi-feg-
ment LAM du grand.
Et de-là il fuit que fi le diamètre m O touche
en F le petit cercle, l’efpace triangulaire mixte
ARF m A fera égal au triangle ASF re&angle en
S ,o ù à U demi-lunuile AGCBA.
y. Voici enfin quelques portions abfolument
quarrables de la Ïunulle d’Hippocrate^ que je ne
crois pas qu’on ait encore remarquées.
Soit cette Ïunulle , & que AB foit tangente à
l’arc intérieur. ( fig. 14* P*- 8 ) Tirez les lignes
E A ,.eA 3 faifant avec AB des angles égaux 5
du point B tirez les cordes BE , Be, qui feront
égales : vous aurez l’efpace mixtiligne terminé
Ear les deux, arcs de cercle EBt? , AGF , 8c par
:s droites Ae , FE , égal à la figure re&iligne
cAEBr.
Cela feroit même encore vrai quand la figure
A B C FA ne feroit pas abfolument quarrable, c ’eft-
à-dire que ABC ne feroit pas un demi-cercle 3 ;
pourvu que les deux cercles fulTent toujours dans
le rapport de 2. à 1. j
Çonfiruire d'autres lunulles alfolument^quarrables,
que celle d’Hippocrate.
La Ïunulle d’Hippocrate eft abfolument quar-
r a b iê , parceque les cordes AB , BC & A C ,
{fig. 10 3 pi. 8) font telles que le quarré de cette
derniere eft égal aux quarrés des deux premières ,
pnforte que , décrivant fur la derniere un arc de
cercle femblable à ceux foutendus par AB '&
BC 3 les deux fegments AB , BC 3 font égaux à
ADC .
Cette manière de confidérer la ïunulle d’Hippocrate
, conduit à des vues plus générales. En
e ffe t , on peut concevoir dans un cercle,tant de
çordes égales qu’on voudra , quatre , par exemple
y commè AB 3 BC , CD , ( fig. 13 3 pi. 8 )
telles q u e , tirant la corde A E 3 fon quarré foit
quadruple de l’uné d’elles ; ou 3 plus généralement
y le nombre de ces cordes étant n 3 le quarré
4 e AE peut être à celui de l’une AB 3 comme n
a i , Ainh } décrivant fur AE un arc femblable à
ceux «uc foutendent ces cordes A B , 8tc. te f;-T.
ment AE fera égal aux fegments A B , B C , &c.
enfemble : donc ôtant de la figure re&iligne ABC
DE la fegment AE § & lui ajoutant les fegments
AB j BC j & c . il en réfultera une Ïunulle formée
des arcs A C E & A E , qui fera égale au polygone
redtiligne ABCDE.
■ Il eft donc queftion de réfoudre ce problème
de géométrie : D a n s u n c er c le d o n n é , ir.Jcrîre une
J u ite d e c o rd e s é g a le s , AB , BC , CD y DE , éc.
t e l l e que le quarré d e la corde A E y q u i le s fouteni
to u te s yf o i t au quarré d e l ’ une d e l le s com m e leu r nombre
à l 'u n i t é ; t r ip le s ’ i l y en a t r o i s , quadruple s ‘i ly
en a q u atre , & ç . Mais nous nous bornerons aux
cas conttruétibles par la géométrie élémentaire j
ce qui nous donnera encore , deux lunulles fembli-
b le s l celle d'Hippocrate, l'une formée par des
cercles dans le rapport de i à 3 , & l'autre par
deux cercles dans celui de 1 à y , indépendamment
de deux autres lunulles formées-par des
cercles dans le rapport d e z à 3 & de 3 35 .
CouJlruMion d e la p r em iè r e ïu n u lle .
Soit ÀB le diamètre du plus petit-des cercler
dont la Ïunulle doit être conftruite ( figure i ,p L i
8 ). Soit prolongée AB en D de la longueur du
rayon, & décrit fur A D , comme diamètre, le
demi-cercle A E D , qui coupe en E la perpen-
culaire BE à AD , tirez D E , & faites-lui DP
égale ; fur AF décrivez encore un. demi-cercle
AHF , qui coupe en H le rayon CG perpendiculaire
à AB ; menez AH , & faites dans le cercle
donné la corde AI égale A H , ainfi que les cordes
IK & KL ; tirez enfin AL A & fur cette corde,
avec un rayon égal à D E , tracez un arc de cec-
cle AL : vous aurez la Ïunulle AGBLA- égale à II
figure re&iligne A 1KLA.
C o n jlr u c tio n d e la d eu x ièm e ïu n u lle 3 o u le s cercles
f o n t c om m e I à ÿ .
Prolongez le diamètre du cercle donné, favoif
le plus petit de la quantité PD égale à un demi-
rayon ( fig u r e Y ] 3 p l . 8) & que DE indefinie foit
perpendiculaire à AD ; puis du point S qui coupe
le rayon A C en deux également 4 avec un rayon
égal à 3 A C , foit traçé un arc de cercle coupant
la perpendiculaire çi-deflus ervE > faites Er
, égaie a £ A C ., & DH égale au rayon j partage? j
HF en deux également en G , duquel poinç j
comme centre, & avec un rayon égal a
foit décrit un arc de cercle coupant en I la droite
AD > foit faite enfuite DK égale à H I , & menee
la perpendiculaire KR au diametré , qui coupe en
L le demis-cercle décrit fur A C > enfin foit tiree
A L , & que les cordes AM , MN , NO , y ”>
PQ,lui foient faites égales j fur la corde AQ wj1*
d’un rayon égal à D E , décrit un arc de #*£e ’
la Ïunulle ANPQA fera égale à. figure rectilig1
AMNOPQÀ, 0()
On peut donc former des lunulles abfolument
quarrat)les,avec des cercles qui font entr’eux dans
ces rapports , de i à 2 , 1 à 3 , & de 1 à y . Il
n’y en a pas d’autres formées par des cercles en
raifon multiples ou fous-multiples fimples , qui
foient conftru&ibles uniquement par la réglé &
le compas : celles qu’on formeroit par des cercles
en raifon de 1 a .4 , de 1 à 6 , à 7., & c . exigent
une géométrie plus relevée > c’eft un problème
de la même nature & du même degré que
celui de la trife&ion de l’angle où des deux
moyennes proportionnelles , 3 é uniquement réfo-
lublé par les mêmes moyens. Mais ily en a encore
deux conftru&ibles au moyen de la géométrie -
funple, & formées par des cercles en raifon de :
l à 3 & de 3 à y. Nous nous bornons, pour abréger,
à en indiquer la conftru&ion.
Pour la i ere. Soit un cercle quelconque , dont
le rayon foit fuppofé 1 ; inferivez-y une corde AB
(fig.. i$> P1- 8) égale àj /J— ; cette corde
étant portée encore deux fois en BC & CD ,
quon tire la corde , qu’on décrive fur AB un arc
femblable à l’are ABC j qu’on tire enfin les, deux
cordes égales A E j ED : la Ïunulle ABCDEA fera
égale au polygone re&iligne ABCDEA.
P ourla Ie. Dans un cercle dont le rayon eft 1 , inf-
crivez une corde égale
& portez-la cinqTois itirézlacoraéde l’arc quintuple
, & décrivez fur èlle un arc "avec un rayon
==/}: dans cet arc inferivei les trois cordes de
fes trois parties égales ; ce qui fera toujours poR
fible par la géométrie ordinaire , parce que çha-.
cun de ces tiers eft femblable à un cinquième du
premier arc qui eft déjà donné : vous aurez une
ïunulle égale à la figure re&ilignê , formée, par.
les cinq cordes du petit cercle & les trois du
plus grand.
Une ïunulle étant donnée , y trouver des portions ab-■
folument quarrables y pourvu néanmoins que les)
cerclés qui la forment foient. entr eux dans certains
rapports de nombre d nombre.
Soit la Ïunulle ABCDA {fig. 18 j 19 & 1 0 , p l .
8), formée, de deux cercles dans un rapport
quelconque de ceux ci-deflus, ABC étant por-
tion du moindre, cercle , & ADC du plus grand,
firez la tangente AE à l’arc ADC j enfuite
menez, une ligné A F , telle que l’ angle E A C foit:
a 1 angle. FAC dans, le rapport du -petit cercle-
au grand : alors il arrivera une de ces trois chofes j
ou AF fera tangente au cercle ABC,(jfig. 18 , où
eue le coupera comme en F (fig. 19) ou comme
en <p (fig . 20). ' f
Dans le premier cas’ , la lunulie " fera abfolu"
ment: quarrable, & égale à la figure ré&iligne.
f c A L C ( j ^ ■ - - - 6
Amufemens dis Sciences,
Dans le feçrond , ce tte Ïunulle , moins le feg ment
circulaire A £ fè ra égale à la figure te iiilign e
- A /K C L L A , ou- à l'éfflace A K C L , plus le triau-
g le A K ƒ ( f i f iç>y. ‘
Dans le troiberne, la même Ïunulle, plus.le fe g ment
circulaire A p , fera égale à l'e lp a ce reéli-
ib çn e atpXcla, ou à .l'efpac e a K c l , moins le-
triangle a K tp (fig. zo).
: Nous en fupprimons la démOnfiratiou - , tant
j pour ab r é g e r , cjue parce qu'elle eft affez facile
d apres, lès principes cï-deflus.:
I l eft donc aife de v o ir que , fi les cercles donnés
font dans certains rapports qui permettent
de conftruire , avec la règ le & le compas, l'angle
F A C , qui foit à l'angle E A C dans ie rapport réciproque
de ces cercles { fig . 19 & 20) on pourra
tirer la ligne F A , qui retranchera de la Ïunulle la
portion - A D C B /Â -égale à un efpace rec tiligne
aifignable- O r cela arrivera toutes les fois que le
petit ce rclé fera au grand dans le rapport de 1 à
2 , ou a 3 , ou 3 4 , ou à y , & c.- car alors l'angle
i f A C devra être , ou double , ou triple , ou
| ‘ q u a d r u p l a ou. quintuple,,de .E C A c e qui n'a
aucune difficulté. Il en fero it de même fi le p e tit
cerclp 'etôit au grand dans le rapport de 2 à 3 , ■
°U2 à y , ou 2f i 7 , -& c . ou f i l'a rc A D C , é tan t,
fufcèptiblë de tr ife â io n g éom é tr iq u e , comme il
y êpi a plufiéuts ,:lë grand ce rcle é to it au p e tit
j comme 3 1 4 , ou. 3. à y , ou 3 à 7 , & c .
Autre-m a n ié r é . Qu e A F foit tangente au cercle
A B C en A , & 'A E tangente à l’arc A D C dans le
même point. T ir e z la lig n e A G , enforte que l'an-'
gle F A G foit à l'angle E Â G comme le grand ce r- '
cle:eft au pfetit 8 ) , c‘ eft-à -dire, que
l'angle F A E foit E A G comme le grand' cercle
moins le petit eft à ce dernier ; a lo r s , ou la ligne
A G tombera fur A C , ou au defïiis comme en A G ,
, ou en deffous comme en A g .
! O r d a n s Je premier c a s , il eft aifé de démon«
: trer que la Ïunulle eft abfolument:quarrable.
Dans le fécond , ^‘on peut aüffi faire v o ir que la-!
même Ïunulle', ’moins le trianglé mixtiligne JWG
C M , 'effitégale a un éfpace rectiligne affignable. ,
Dans le troifieme enfin ,ion: fera vo ir auffi que
Ja même Ïunulle , fi on y a joute le triangle mixti- -
’ligne; C m g , fera égale à c e t efpace reétiligne.
i Enfin ; foit tirée dans chacuné des figures pré-
icédentes , entre A C ,*A E , une ligne quelconque
A N , formant avec la tangente' A E un angle quelconque
NÀF, ; puis, foit tirée dans l’angle F A E
une autre ligne A n , telle que l’ angle n A E foit à
E A N comme FA E à C A E ( f ig . 18 „ 19 ,20 & 16).
On peut -encore démontrer que la figure mixti-
! ligneFormée des deux arcs N « , A P , Srld'eS deux-
i ^ B fes A N , PN , fera égale, à iun efpace reétiligne,
l 'fcfpâcé qui (s trouvera en partageant l’arc Nn en
D d d d ’