5^2 G Ê O
fur le diamètre AB : dçnc l’angle F AG eft droit ,
& GA eft perpendiculaire fur AB.
3. D ’un point donné A , mener fur une ligne donnée
une perpendiculaire.
Prenez un point quelconque B dans la ligne
indéfinie BC , (;fig. 6 3 pl. 4 , ) &'mefurez B A 5
faites enfuite BC égale à BA , & tirez A C 3
que vous- mefurerez pareillement ; enfin faites
cette proportion : comme BC eft à la moitié de
A C 3 ainli A C eft à une quatrième proportionnelle
3 qui fera CE : il n-y'a qu’à prendre CE
égale à cette quatrième proportionnelle , & l ’on
aura le point E , duquel menant par A la ligne
A E 3 elle fera la perpendiculaire cherchée.
4. Mefurer une diftance A B } àccejfible feulement
par une de fes extrémités 3 comme la largeur d‘une
rivière , d‘un fojfé * &c.
On commencera par planter un jalon en A $
dfig. 7 3 pl. 4., ) puis , ayant pris un point quelconque
C 3 où l’on en plantera pareillement un 3
on en fixera un troifième en 1 ) , dans l’alignement
des points B Si C 5 on prolongera indéfiniment
les lignes C A 3 DA , au-delà de A & l’on
fera les lignes AE , A F égales refpeéHvement
à A C 3 AD } enfin l’on plantera un jalon en G
de manière qu’ il fort à la fois,, en ligne droite
avec A & B & avec F 3 E : on aura alors la diftance
AG égale à AB. -
Si l’on prévoyoit ne fe pouvoir retirer; affez
dans l’ alignement AB , l’on pourroit ne prendre
fur A E y AF , que la moitié ou le tiers de i
A C y AD y par exemple Aè , A / : alors 3 plan- ;
tant en g un jalon qui fut à la fois dans les deux
alignements BA & ef3 on auroit Ag 3 la moitié ou
le tiers de AB.
y. Soit maintenant la diftance AB inacceflîble.
par ces deux extrémités, (fis- S 3 pl. 4 ) La folu-
tion du cas précédent donnera aifément celle de
celui-ci j car , foit planté un jalon e n C , & ayant
prolongé par une fuite de jalons les- alignements
B C , A C 3 qu’on prenne , par le moyen ci-def-
füs:, fur ces lignes , lès parties C E , CF , ref-
peélivement égales à BC , C A , où la moitié ou
lè tiers de ces mêmes lignes : il eft facile de voir
que la ligne,qui joindra les points E , F , fera
égale ou bien la moitié ou le tiers de la ligne
cherchée , & que. ,- dans l’un & l’autre cas ,
elle lui fera parallèle j ce qui féfoud le. problème
de tirer une parallèle a une ligne inac-
ceffible.
Ces exemples fufïifent pour montrer comment,
avec un peu de connoifîanee de géométrie, on
pourroit, fans l’aide d’aucun autre inftrument que
de ceux qu’on peut fe procurer avec fon couteau
G É O
Sc au milieu d’un bois, exécuter une grande partie
des opérations géométriques; On doit néanmoiis
convenir qu’on ne peut que par un cas très-extraordinaire
fe trouver dans des circonftances fe®.
blables} mais, quelqu’éloignée qu’elle fo it, quand
on eft doué de l’efprit géométrique, on goûte
une certaine fafisfaétion à voir comment on pourroit
s’y prendre.
Une chôfé fîngulière ,. c’eft qu’ il n’eft peut-
être pas poflible de réfoùdre de cette manière
c’eft-à-dire fans employer un arc de- cercle le
problème très-fimple , & L’un des premiers de la
géométrie élémentaire, fçavoir , de tracer ««
triangle équilatéral. Je l’ ai du moins cherché en
vain , m’ étant ainufé à voir jufqu’où Ton pourroit
parvenir dans la géométrie, au moyen de fini-
pies lignes droites.
Tracer un cercle ou un arc de cercle déterminé > fans
en connaître le centre & fans compas.
Ceci paroîtra d’abord , aux yeux de ceux à
qui là géométrie eft peu familière , une forte
de paradoxe j màis lapropofition où l’on démontre
q u e , dans tout fegment de cercle , les angles
dont le fommet eft appuyé fur la circonférence}
& dont les côtés paflent par lës extrémités de la
corde font égaux > cette propofition, dis-je,
donne la folution du problème. '
Soient donc les trois points du cercle ou de
l’arc de cercle cherché, A , C , B , (fig. ^\pl.4)
les lignes A C , C B , étant tirées , faites un angle
égal à A C B , que vous couperez dans quelque
matièrë folide, & plantez en A & B deux arrêts
ou pointes: alors, en faifant couler les cotés de
l’angle déterminé entre ces arrêts, le fommet décrira
la circonférence du cercle , enforteque li
cet angle C eft garni d’une pointe ou -d’un crayon,
il tracera , en tournant entre lès.points A & B,
l’arc cherché.
Si- l’on faifoit un autre angle pareil, qui fut
Ie'reftant de l’angle ACB à deux droits , & qu’on
le f i t tourner en touchant toujours de fes cotés,
les points A , B „ niais de .manière que fon fommet
fût du côté oppofé à celui du point C , il décfi-
roit l’autre fegment de cercle, qui, avec l’arc AC
B , complette le eerc-lè entier.
Il pourrôit arriver que l’on fût obligé de tracer
par deux points donnés un arc de cercle déterminé,
dontle centre eft extrêmement^éloigné,
ou inacceftible par des caufes particulières. Si l’on
a v o it, par exemple, à tracer- fur le terrain un
cercle ou un arc dé cércle dont le rayon fût de
3 ou 4 cents toifés, il eft aifé de voir qu’ il feroic
impraticable de lè décrire au moyen d’un cor*'
deau : il faudroit alors opérer ainfi. Plantez des
jalons en A & B' (fig. 1 1 , pl. 4 ) 3 extrémités de b
ligne que je fuppofë être la corde de l’arc cher-
. cil® >
G E O G E O m
Bl* dont ©n eontioît l’amplitude ou l’angleqU’il
ibuoetid; chercher enfoite , avec le graphomètr.e
li planchette 2 un point tel que c , d’ eu mi-
allt en A . l’angle AcB foit égal à l’angle
éonnéj & plantez:y un jalon; cherchez pareillement
un autre point d , d’où mirant aux points A
j j g [on ait encore l’angle AùB égal au'pref
e r ; que les points e , ƒ , foient trouvés de la
même manière : il eft évident que les points c ,
j . . e ƒ*,Ïer6hi;dahs un arc dé;cerCle capable de
l'angle donné,’Si vous cherchez etrfüite de l’autre
côte de A B , les points g , h , i , k , d’où mirant
iax points A & B , l'angle AgB ou AAB foit le
fupplémenfdu premier; les points*, d , e , f , g ,
h i , k,. feront évidemment dans un cercle.
Trois points, étant donnés , qui ne foient pas dans
me même ligne droite, tracer un cercle qui paffe
par ces trois points.
Que ces trois points foient ceux qui font marqués
i , z , 3 (.%• 1 1 , 'Pl' de l'un d’e u x , par
exemple 1 , comme centre , avec un rayon quelconque,
foit décrit un cercle ; enfuite . d’ un des
[ deux autres points, pris pour centre, par exemple
1 , foient faites avec lè même rayon deux inter-
feéiiorts avec'li'circonférence du premier cercle,
comn® A & B , & foit tirée la ligne AB ; enfin,
prenant le troifième point .5 pour centre, foient
faites avec le même rayon deux intërfeélions avec
la circonférence du premier cercle , lefquelles
foient D ,E , & foit menée DE : elle fe coupera
avec, la première A B , dahs un point C qui fera lé
centre du cercle cherché. Prehant donc ce.point
pour'centre , Scdécrivant un cercle par l’un des
! points donnés , fa circonférence.panera'.par les
deux autres.
Il eft facile de voir que cette conftrùâion eft
au fond là même que la vulgaire, enseignée par
Euclide:&; tous les auteurs élémentaires; car il eft
évident que, par ,la conftruétion qu’on vient de’
voir, on*a les lignes 1A , l A , 1B , zB .égales
cntr’ellès : conféquemment la ligne AB eft perpendiculaire
à celle qu’ on doit concevoir joindre les
points r , z , ou à-la corde r , z , du cercle cherché
; d’où il fuit que le centre de ce cercle eft dans
h ligne AB ; par la même raifon ce centre eft dans
la ligne D E , & par canféquent'il eft dans leur
imerfeétion.
Si les trois peints donnés étoient dans une'ligne'
droite, . alors les lignes AB', D E , deviendroient
parallèles ; .&, conféquemment il n’y auroit point
d’interfeélion, ou ‘elle ferôit infiniment éloignée.
Vn ingénieur i en levant une carte, a obfervé d ’un
certain point les trois angles fous leƒquels i l voit
les difiance's ' de trois autres objets dont il a déjà.
déterminé les profitions : ofl demande la pofition de
ce point, fins autre opéràtion.
Le problème, réduit à l’énoncé purement géos»
A mufemens des Sciences»
métrique^ ffe-propoferortainfi : ^Etànt donné un*
triangle dont les côtés Bc les angles -font con-f
nus, déterminer le point duquel les trois lignes
menées aux »trois angles feront ehtr’elles des angles-
donnés W -
Il y a un affez grand nombre de cas dans ce
problème) car.,-, ou-les trois-angles fous.lc-fquels
on appêrçoit les diftances dés, trois points donnés -
occupent toute l’étendue fié. Thon fon ou les quatre
angles droits, ou bien feulement la moitié, ou
moins de la moitié. D^.ns le premier cas , il eft
évident que. le point cherché‘èft fi'tué au dedans
du triangle donnéî dans ,1e fécond, il eft fitué fur
un des côtés j & dans le troifième, il eft dehors."
Mais, pour abréger, on fe bornera au premier
cas, indiqué'par la fig. i r .
- Soit donc à déterminer entré les points A , B ,
C , ( fig. 12 pl. 4 .) dont les diftances font données
, le point D , tel que l ’angle, AD B foit égal
à 160 degrés , l’angle CDB égal à .130® „ & CD A
égal à 76°. Sur le côté A B , décrivez un arc de
cercle capable d’un angle de 1600 ', & fur le côté
B C , un autre capable, d’ un angle de iy o0 : leur
interfeélion donnera le point cherché. '
: Car il eft évident que ce point eft fur la cir*
conférenC'e de l’àrc décrit fut le côté B A , & capable
de l ’angle de ié o 9 , puifque, de-tous les-
points de cet arc & de nul autre', la diftance AB
eft vue fous un angle de 110°. De même le point
D dok lè trouver fur l’arc décrit fur le côté A C ,
& capable de l’angle- de jéo? : conféquemment.
il. faut qu’il foit fur leur interfeêtio.n 3 & nulle
autre part.
- Deux'-lignes concourant en un. point inacceffiblc , ou
\ . qu on ne peut mime \appercevoir , on propofe de
mener d ’un point donné une ligne qui tende au
même point.
■ Soient les lignes  ’O & B O , (j%. 13 , pl. 4.)
qui concourent en un point inconnu oc inaccef-
fible O , ,& que le point E foit celui duquel il
faut diriger au point O une ligne droite.
Par le point E tirez la droite quelconque E C ,
qui coupe AO & BO,dans les points D & G , Bc.
par un point F , pris à volonté, foit tirée fa parallèle
F G , foit faite -enfuite cette proportion :.
ircommé.CD eft à Q E \ ainfi FQ.eft à GH; enfin,,
par les points E , H , tirez la ligpë indéfinie HE > •
ce fera la ligne cherchée.
Ou bien, fi c’eft le point e qui eft.donné, foit
fa it, comme GD à C e , ainfi FG à FH , la ligne ek
fera celle qu’on demande.
. La démonftration eh fera facile pour tous ceux
qui fçavënt que fi dans un triangle on tire des parallèles
à la bafe5 toutes celles qui feront tirées
À a a a