rapport de la probabilité que chacun aurait eue
de gagner toqt l’argent.
Premier cas.
On trouvera ce rapport par le raisonnement
fuivant. Puifqu'il manque au premier joueur une
partie pour achever , & deux au fécond , on re-
connoitra aifément que , s’ils continûment de
jouer , & que le fécond gagnât une partie., il lui
manqueroit comme au premier une partie -pour
achever ; & que dans ce cas les deux joueurs étant
également avancés , leurs efperances ou forts pour
gagner le tout leroient égalés. Ainfi , dans cette
fuppofition j ils auroient un égal droit à l'enjeu ;
& conféquemment ils dëvroient le partager également.
Il eft donc certain que fi le premier gagne la
paitie qui va fé jou e r , tout l'argent qui eft au jeu
lui appartiendra , & que s'il la perd, il ne lui en.
appartiendra que la moitié .* Ainfi 3 l'un étant a'uflj
probable que l autre3 lepremier a droit à la moitié
de ces deux fommes prifes enfemble. Or 3 prifes
enfemble , elles font 7 : donc la moitié eft f . Telle
eft la portion de la mife qui appartient au premier
joueur j par conféqueht la portion qui revient au
fécond n'eft que
Second, cas.
Ge premier cas réfolu fervira a réfoudre le fuivant
, où l'on fuppofe qu'il manque au premier
joueur une partie pour achever & trois au fécond.
Car , fi le premier gagne une partie 3 il a tout l'argent
du jeu î & s'il perd une partie , enforte qu'il
ne faille plus que deux parties au fécond pour
achever, il appartiendra au premier les \ de l'argent
, puifqu ils fe trouveront alors dans l'état du
cas précédent. C'eft pourquoi, l'un & l'autre de
ces deux événemens étant également probable , il
doit appartenir au premier la moitié des deux
fommes prifes enfemble , ou la moitié de \ 3 c'eft-
à-dire \ : le refte § fera ce qui reviendra au fécond
joueur.
Troiji'enié càs.
On trouvera , par un raifdnnement femblable >
que fi l’on fuppofoit deux parties manquer au premier
joueur & trois au fécond , ils devroient, en
-ceiTant de jouer, partager là mife, de forte que le
premier eût ^ , 8e le fécond ^ de la mife.
Quatrième cas.
' S’ ils joiioient en qüatré parties , 8e qu’il manquât
au premier deux parties feûlèmettt 8e quatre
au fécond, la mife deVroit être diftribuée de manière
que le premier én eût les -*-§, 8e le fécond
‘les iV
' D'après ces raifqunemens, on a établi cette règle
générale qui difpenfe du raifonnement employé
ci-deffus , 8e qui procède au moyen du triangle
arithmétique.
Prenez la fomme des parties qui manquent aux
deux joueurs : je la fuppofe 3 , comme- dans le
premier casjpropofé ci-déffus. Ainfi l'on prendra
la troifième diagonale du triangle arithmétique:
8e comme il ne manque qu'une partie: au premier
jou eur, on ne prendra que le. premier.inombre
de cette,diagonale : 8e attendu qu'il ,en manque
deux au fécond, on prendra la fomme des deux
premiers nombres 1 , 2 , ce qui donnera 3* Ces
deux nombres 1 8e 3 indiqueront que la mife
doit être partagée dans le même rapport : ainfi
le premier joueur devra en avoir les | ,. 8c le
fecondle £.
L'application de cette règle aux autres cas quelconques
eft ai fée à faire j c'eft pourquoi $ afin d'abréger
, nous ne nous étendrons pas. davantage,fur
cefujet;.
Nous avons dit.plus haut que nous ferions con-
noître la fécondé méthode de réfoudre c.e.s fortes
de problèmes , qui eft celle des combinaifons : la
voici.
Pour réfoudre, par exemple, le quatrième cas,
où l'on fiippofe qu'il manque deux parties au premier
joueur pour achever , quatre au fécond,
enforte qu'il leur manque'enfemble fix parties,
ôtez l’unité de cette fom m e& , parce qu'il refte
I 4 , on fuppafera ces cinq lettres femblableS aaaaa
Favorables au premier joueur, & ces cinq autres
bbbbb favorables au fécond : on les combine«
enfemble comim vous le voyèz dans la table ci-
deffous, o ù , des 32 combinaifons, les 26:premières‘
vers la gauche, où fe rencontre au moins
deux fois a , indiquent le nombre des hafards qui
peuvent faire gagner le premier , & les 6 deniers
vers la d r o i t e o ù a ne fe trouve qu'une fois , indiquent
le nombre des hafards qui feront gagner
le fécond.
aaaaa aaabb aabbb abbbb
aaaab a abb a abbba j . bbbba
aaaba abbaa bbbaa b abbb
aabaa bbaaa ababb ' - • bbàbb
abaaa aabab abbab bbbab
baaaa abaàb bbàab bbbbb
baaab baabb
baaba babha
labaa bbaba
ababa babab
Ainfi. l'attente du premier joueur fera à celle dû
fécond comme 26 eft à 6 , ou*çotnme 13 à 5*
A R I A R I 1 j 1
Pareillement, pour réfoudre le e'as où 1 on fuppofe
un des joueurs ayant trois pâmes & le. fécond
n’en ayant aucune, celui-là devant gagner qui aura
plutôt quatre parties, on aura le meme nombre
de parties manquantes f , qu’ il faut diminuer de
l ’unité pour avoir 4. Il faudra enfuite examiner de
combien de: manières on peut combiner les lettres
a & i quatre à quatre, & l’on trouvera .qu’il y en a
16, favoir :
aaaa aabb
aaab. abab
aaba baab
abàa dbbà
baaa baba
bbaa.
abbb
babb.
bbab
bbba
- O r , de ces i 6„, il eft évident qu'il y en a 15 dans
lefquelles, <z fe trouve au moins une fo is , ce qui
I déugne 15 combinaifons ou hafards favorables pour
le premier joueur, Se uri feul pour le fécond. Con-
[ féquemment ils devront partager la mife en raifon
ï de T e à i -, ou bien le premier en devra avoir les
- H 3 & le fécond yç.
P R O B L E M E 1 I V .
Sur la loterie royale de. France.
I , Tout .le ponde connoît aujourd’hui ce jeu , de-
l puis qu’il a été tranfplanté d’Italie en Fràncë (1).
| Sonanalyfè fe réduit a p folution de ce problème-
ci « Etant donnes 90 nombres dont 5 font extraits
| au hafard,déterminer quelle eft la probabilité que,
parmi ces cinq nombres, fe trouveront un,ou deux ,
| oii trois, ou qiiatre, ou cinq nombres qu'on a pris
1 fur le 90*. ‘
■ (1) Ce jeu z pris naiffance à Gènes , où chaque,
année 3- depuis très-longrems, on tire par la voie du,
dort cinq membres du fénat, qui eft - cpmpofé de 90
per formes, pour en foi mer un confcil particulier. Delà
quelques gens oïfifs prirent occafton de parier que
le fort tomberoit fur tels & tels fénareurs. Le gouvernement,
voyant enfuite avec quelle vivacité on s'in-
téreftoit dans ces paris , en prit l'idée d’établir une
•loterie fur lè même principe.. Elle, eut un tel fûcçès,
.que tout es les villes d’Italie s’y iutéreftoient , & en-
voyoient à Gènes beaucoup d’aigent. Ce motif, &
fans doure celui de fc former Un revenu , engagea
le pape à en. établir une femblable à Rome. Ses
habitais -font fi palfionnés pour- ce jeu , qu’on voir
communément des malheureux s'épargner & à leur
'famille les chofcs les plus.néceffaires à la vie,
pour s’y intérefTer. On k%. voit encore donnery
pour fe procurer des nolnbres heureux , . -dans
mille extravagances infpirées par la crédulité: pu la
fuperftition. La raifon qui règne plus généralement
f(ur k peuple François, & 'fur-tout fes occupations -,
>1 ont pré fer vé de cette ardeur excefiive & de toutes
; ces. folies.
Or , il eft aifé de voir que s’il n’étoit queftion.
que d’un nombre déterminé, 8c qu’on ne tirât de
la roue qu’un feul nombre, il n’y auroit pour le
joueur qu’un feul hafard favorable fur 90 ; mais
comme on tire.,.cinq nombres de la ro u e , cela
quintuple le.fort favorable au jo u e u r , de forte
qu’il y a pour lui cinq hafards favorables fur les
quatre-vingt-dix. Ainfi la probabilité .de gagner
eft 5 & pour jouer abfoiument à jeu égal , les
mifes devroient être dans le même rapport, ou ,
ce qui revient au même , k tenant de la loterie ,
devroit rembourfer la mife dix-huit fois.
Pour favoir quelle probabilité il y a que deux
nombres pris fortiront tous deux , ce qu’on appelle
jouer par ambes , il faut déterminer combien
d’ambes ou de combinaifons deux à deux
donnent 90 nombres. Or on a montré, en parlant
des combinaifons, qu’il y en a 4005. Mais comme
on tire cinq nombres de la roue , & que ces cinq
nombres,combinés enfemble deux à deux font dix
ambes , il en rëfulte que , fur ces 4005 hafards,
il n’y en a que 10 qui foient favorables au joueur.
Ainfi la probabilité que les deux nombres choifîs
feront parmi ceux tirés de la roue , fera exprimée
par ou - 1 . C ’ eft pourquoi le tenant de la
I 4°0| i; ' • : ;"V H ' : • '
loterie devroit donner au joueur en cas de gain ,
400 i fois fa mife.
Lorfqu’ ôn joue par terne , c’ eft-à-dire , fous la
condition que les trois nombres choifis fe trouveront
parmi les cinq virés de la roue , pour trouver
quelle eft la probabilité de cet événement, il faut
déterminer de combien de manières 90 nombre-s
peuvent fe combiner trois à trois , ou combien de
ternes ils font : on trouve qu’ils montent à 117480..
Or , comme les cinq nombres extraits de la roue
forment 10 ternes , il y a pour le joueur dix cas
favorables fur 117480 j & la probabilité en faveur
du joueur eft de ‘ -p-yf ^ -ou —f**- Ainfi, pour
jouer à jeu éga l, la loterie devroit rembourfer au
joueur 11748 fois fa mile.
Enfin l’on trouve qu’ il n’y a fur 511038 hafards
qu’ un feul favorable pour celui qui pârieroit que
quatre nombres déterminés fortiront de la roue ,
& r fur 43949268 en faveur de celui qui pârieroit
que cinq nombres déterminés feront précilçment
les cinq forrans de la roue. 11 faudroit conféquemment,
dans ce dernier cas, pour jouer à jeu mathématiquement
é g a l, payer au joueur, en cas
d’ événement heureux,près de quarante-quatre mil-
• lions de fois fa mife,
Je finirai cet article en obfervant que quoique
ce je u , à ne le confidéier que mathématiquement,
préfente au premier coup^d’oeil un grand avantage
pour celui ou ceux qui le tiennent, on doit néan