A R I
P R b B £ è M E X I V .
Trouver le nombre & le rapport des poids avec lefquels
oripeut pefër de ta manière'la plus.ftmple un nombre
quelconque de livres, depuis Vunité jufqua un nom-'
bre donné.
Quoique ce problème paroifïe d’abord appartenir
à la méçhaniqnç j, il eft »cependant facile de
voir que ce n’ eft qu’un- problème arithmétique 3
car if .fe réduit à trouver'une fuite de nombres
commençant par l ’imité , 8c qui , ajoutés ou fouf-
traits les uns des autres de toutes les ^manières
poffibles , forment tous les nombres depuis l’unité
jufqu’au plus grand propofé.
Ce problème péüt le réfbu&ré dé deux- manièr
e s , favoir:., par la'feüle aqdiuôn / oy .par fad-
ditioh combinée 'avec la" ibuftraélion/Dans le
remier cas 3 la fuite des poids qui fatisfait au pro-
lême 3 eft celle des poids croiftant én progréffbn
double j & dans le fécond, c’eût la progreff on ’
triple.. . . !.. à . .L itren-n . ?:s:r. ; • jü
Qu’on ait en effet ces poids, i livres T i livres-,
4 livres, 8livres, 16 livres', on pourra pefer.avec
eux quelque, nombre de livres que ce foit jufqiii’à
3.1 i càr dn formera trois livres avec i 8c i , cinq
livres avec 4 & 1 ,f ix avec 4 & 2 , fept avec 4 ,
2 8c 1 3 & c . Avec encore un poids de 32 , on pe-
ferpit julqu’ à foixante-trois livres , &àinfî.de fuite
en doublant le ^dernier poids , & retranchant de ce
double Limité. M
- Mais qu*on emploie. des poids en pro'greffon
triple , 1 , 3 , 5 ) * 2 7 ■* 81 on pourra. pelée avec
eux tout poids depuis une livre jnfqu’à 121 3. ca r , '
avec le fécond moins le premier, c’eft-à-dire. ; en :
mettant le premier dans le baflin de la balance*, 8t
le fécond dans l’autre , an ferà.deux livres 5 en lès
•mettant tous les deux dans le même balïin, on
formera quatre livres j cinq fe formeront en mettant
9 d’un côté, & 3 & 1 dè l’autre ; avéc 9'd’ un
côté & 3 de l’autre,on aura !ê 5 on fera fept livres' ;
avec 9 8c 1 d’ un c ô té , & trois de l ’autre j 8c aïnîl
de fuite. ■
Au refte ,J l,e û évident^ que-la dqrnièré f^çpn
eft la plus fimple , étant celte qui eptigp le-, moins,
de poids ;différehs.
L’une 8c l’autre de cqs progreftions font enfin
plus avantageufes qu’ aucune des prôgrreflions arithmétiques
qu’on pourrait effayer 3 ca r , avec des
poids arithmétiquement croiifans P 1 , 2 , 3 , 4 ,
8co. il en faudrait 15 pour pefer 120 livres 5 pour
en pefer 121 avec dès poids dans La progreffon 1 y
3 3 S 3 7 5 h eqfaùdroit onze . Toute autre pr o^
greffon ne remplir oit-pas tous les nombres, poff-*
Mes , depuis le .poids d’une livje jufqu’ au plus
grand ^ qui réfulté d elà totalitédes poids. Aiafi
, la proportion triple eft de toutes la plus favorable.
i II eft , au refte , évident que la folution de ce
problème a, fon utilité dans l’ ufage ordinaire de
la vie 8 c du cbmmèrce püifqu’e l le 1 offre le
moyen dé faire toute forte de pefée avec le
moindre nombre poffble de poids différens.
P R O R L ife M e X M*
Une femme depampagne porte des oeufs qümarqhè dans.
I une ville ae guerre où i l y a trois corps-de-garde à
i paffer. Au premier , elle laijfe la moitié dé fis oeufs
i & la,moitié d'un : au fécond, la moitié de ce qui lui
j :L.tftoit &-ta [môiWé^êVuÀ1:'ÆHrèiffàtiè, la ntàïtiéde
j ‘ l;ct'ÿa 'éui.ttftbré-&Hà‘dtôiïié d-un* enfin ,-elle arrive
j -"au j}idfcM'l]av‘ £ trois doutainés. Comment cela fe-
I . peut-il faire faens rompre aucun 'oeuf ? - ' e
■ _ 11 rfemble , rdu premier abord , que ce problème
fqit. împaffble-. j car comment • donner une moitié
J d’osuf fans en caffer aucun ? Cependant on en
verra l a ,poffibllité quand, 011. gonfidérera que,
lprfqu’ on prend la grande moitié d’un nombre im-
t pair -ÿ on en prend la moitié exade,. plus Ainlî
on trouvera, qu’avant le paffage, du!, dernier.: gui-
chet, il reftqit a- la-femme 73 oeufs cqr^èn.ayant
donne 3 7 , qui eït la moitié plus la moitié d un,.
il lui en reliera- 3 6 . De même , avant le deuxième
guichet,,, elle en avoit 147 i 8 c avant le premier,
2 91* - '•
- . Ôn peut propofér fe problême antirement: «Dn
homme forti de rchez lui. avec une. certaine
quantiteue louis -pédrrfa ifê0des ernplètte's-. 'A la
première , il dépenfe.la moitié de fes louis 8 c la
moitié ' d’un 3 a Ta fecbhdè, il ldépenfe auffr la.
moitié de fes louis 8 c la moitié d^un , à l.a troi-
fiëme , pareillement j Sr'dî rentré7-chez1 lu i ayant
dépenfe tout fqn argent, fans avoir jamais, changé
de î’or pourrdé l ’a r g e n t é :■'
Il avoit 7 louis , .&-a'la! première; emplette il
en a dépènfë .4 3 à la fécondé, 2 4 a îla troilième ,
1 y car 4 eft la moitié de 7-r 8 c de plus il y a un
demi. Le reliant étant 3 fa moitié eft-f : & con--
féquemment 2 excède cette moitié de i . Le reliant
eft enfin 1 : or la moitié dfun plusyè font égales à
1 çanféquemment il ne refte plus rien...
Si le nombre d’emplettes apres lefquelles-notre
homme a-dépenfe"tout fonargent étoit plus grand,
il n’y auroit qu’à -faire, une puiûance de 2 , dont
F expo Tant fût égal au nombre des emplettes , 8 c la
diminuer de Funîté.. Àrnfi s’ il :y'én;uvoit 4-,^ la
quatrième puilTance de 2 étant 16 , le nombre
cherché ferait 15 : s’il. y. en i avoit ƒ , h cinquième
puiffance de 2 étant 32 ,1e nombre cherche ferok
PP 7
P r o b l è m e X V I.
Trois perfonnes ont un certain nombre d’écus chacune,
llefi tel que, la première en donnant pu* deux autres
autant quelles 'en ont chacune, la fécondé pareillement
en donnant a chacun e des deux autres autant
quelle en a , enfin la troifièrhefaij ant la même
chofe , elles f i trouvant en avoir autant l'une que
Vautre , favoir %. Qàelle eft la fornme qua chacune
de ces perfonnes ?
Réponfe. La première-en avoit 13 , la féconde
7 , & la troifîeme 4 : ce qui éft aifé à démontrer,
en diftribuant les écus de chaque perfonne fuivant
l’énoncé du problème.
P r o b l è m e X V I I .
Un marchand de vin na que de deux fortes fie vin ,
quil vend l ’un 10 fous , Vautre J fous la bouteille.
On lui demande du vin a % fous* Combien faut-il
de bouteilles de chaque èfpece , pour en former une ,
qui revienne a 8 fous la bouteille ?
Réponfe. La différence du plus haut p rix , 10
fous, au prix moyen demandé, eft 2 : & celle de
ce prix moyen au prix le plus bas., eft. 3 : ce qui
montre qu’il faut qu’il prenne trois bouteilles du
vin du plus haut prix 8 c deux du moindre. Avec
ce mélange il fera cinq bouteilles, qui lui reviendront
à 8 fous chacune.
En général, dans ces fortes de règles d’alliage,
comme la différence du plus haut prix avec le prix
moyen , eft à la différence du moyen avec le plus
bas, ainfi le nombre des mefures du plus bas prix
eft à celui des mefures du plus haut, qu’il faut mélanger
enfemble pour avoir une pareille mefure au
prix moyen.
P r o b l è m e X V I I I .
Un homme veut placer che\ un banquier une certaine
fomme , par exemple IOPQOO livres. I l veut
de plus avoir mangé en vingt ans capital & intérêts
, & avoir chaque année La même fomme à de-
penfir. Quelle fera la fomme que le banquier devra
lui donner annuellement, en fuppofant quil lui en
paye V intérêt a rai fon de cinq pour cent ?
La fomme que lu-r devra donner le banquier eft
de 8014 livres 19 fous, 8 c une fra&ion de denier
ésûe à
S’ il n’étoit queftion que d’un petit nombre d’années
, par exemple cinq , on pourra réfoudre ce
problème fans algèbre , par la voie rétrograde 8 c
par une fauffe polîtion : c a r , fuppofons que. la
Comme qui épuife à la dernière année capital &
intérêts eft dé rbooo livres , on trouvera que lé
capital feul étoit. au commencement de cette année
, de 952.3 livres ££; ajoutez-y 10000 livres- ,
qui ont été payées à la fin ae l’avant-dernière année
, la fomme! de 1 filières étoi t de capital
accru des intérêts,de la quatrième année,; confé-
quemment le.capital itérait qiie d e .1*85:94 livres
au.commencement dé cette quatrième année, r
d’qu il fuit qif avant le paiement de:-la ifin de la.
troisième année la fomme étoit de 28594 liv. ,
qui repréfehtoit un capital accru des intérêts de
la. troilième année.,I/on rémontera ainfi jufqu’au
commencement de la première année,&.1’on trouvera
pour capital primitif la fomme de 43294 liv.
15 f. 4 d. On fera enfin3 cette proportion, comme
ce capital, à la fomme de 10000 livres : ainfi la
fqnime propofée à placer fous la condition ci-
deffus, a la fomme à retirer chaque année.
Mais il eft aifé de fenjiûr .que-, s’ il étoit queftion
de 20 ou, 30 ans j ;cette méthode exigeroit des cal-
ç uls .très jq ngs^j que l’algèl^ïJSAbrège infiniment (i)^
P R O B L Ê M E X I X. .
Quel éft V'tntêfêt dont firoit accru au bout de l année
> un capital quelconque , ft , a chaque inftant [ de la.
durée de Vjinnèe , Vintérêt échu devenoit capital,
6’ portoit-. lui-même intérêt ?
Ce problème) a befoin d’une explication pour
| être facilement entendu. Quelqu’un pourrait placer
fon argent fous cette condition : que l’intérêt
échu au bout d’ un mois , ce qui fe ro it, à cinq pour
cent par an , un foixantième du capital, fe joindrait
à ce capital, & porterait intérêt Te mois
fuivant à ce qiêiue denier : que ce,mois expiré
l’ intérêt dé cette fomme, qui feroit un-fq'ixan-\
tième , plus un trois mille fix centième dü capital
primitif, accroîtrait encore au çapîta.l,. accru de
l’ intérêt du premier mois , -portërqit intérêt le
mois fuivant, & c . jufqu’ à la fin de l’année. ;
C e qu’il fait ici pour un mois, il pourroit le
faire pour un jour , pour une heurs , pour une minute,
pour une .féconde t qu’on peut ■ regarder
comme une partie infiniment petite de l’antiée : il
eft queftion de.favoir quel feroit fur ce pied l’Intérêt
produit par lé capital au bout de 1 annee ,
(1) On trouve en effet que ft a eft le capital , m le
denier de l’intérêt, vi le nombre des années , la Comme
f X l - f l i l ” . ,
à. retirer chaque année eft ------ j ce qui, dans
m X i-\-b\n- m
le cas de xo années , & d’un intérêt à cinq pour ccnt
(mfétant alors 10), fe trouve — X