rique défini ci-deffus , on trouve dans la fuite de
ces nombres toutes les confonnances muficales
poffibles : car le rapport de 1 à donne l’oétave ;
celui de 4 à f j on de 3 à 2 , donne la quinte > celui
de t à t a ou de' 4 à 3 , donne la quarte 5 celui de
£ à ^ ^ la tierce majeure ; celui de ± à j , ou de 6
à 3 , la tierce mineure ; celui de ■§■ à ■ §, ou de 9 à
S , le ton majeur j enfin celui de j à ^ ou de 1 o
à 9 , le ton mineur. Mais ceci fera expliqué plus
au long dans la partie de cet ouvrage relative à
la mufique.
P r o b l è m e .
Quelle efi la fomme de la fuite infinie des nombres en
progreffion harmonique 1 , 7 , Tj î j y , g , & c ?
On a vu que la fuite des nombres en progreffion
géométrique , fût-elle prolongée à l’infini ,
eft toujours égale à un nombre fini qu’il eft aifé de
déterminer. En eft - il de même dans le cas du
problème que nous propofons ?
Nous difons que non , quoique dans un journal
de Trévoux un auteur fe foit donné
beaucoup de peine à. proiiyer que la fomme de
ces frà&ions eft finie. Mais fes raifonnemens font
de vrais paralogîfmes qu’il n’eût pas hafardés s’ il
eût été géomètre (1) 5 car il eft bien démontré
que la fuite 1 , £, f.> i , 7 & c . peut toujours être
prolongée de manière a furpaffer tout, nombre
fini j quel qu’il foit.
I V .
JDe diverfes progreffions dêcroiffintes a Vinfini y. dont
on connoit la fomme.
I. On peut former fuivant des loix différentes ,
une infinité de progreffions décroïffantes fur lef-
quelles les mathématiciens fe font exercés. Le numérateur
3 par exemple, étant conftammenr l’un
ité , les dénominateurs peuvent croître félonie
rapport des nombres triangulaires 1 , 3 , 6 , 10,
1 5 , 2 i , & e . Telle eft la progreffion fuivante :
i — ^ — — —1 & c
Sa fomme eft finie, & précisément égale à 2,
De mêm®Ia fomme de la progreffion dont,, les
numérateurs étant conftamment 1°unité, les dénominateurs
font les nombres pyramidaux , comme
i* 3 A+ 3 JJLO -> JIOL 3 _3i_S> i6i3
eft égale à 1 § .
(1) L’infinité de la fomme de la progreffion r , f 3
•§-y+ y &c. foie néceffairement d’une propriété connue
de l’hyperbole entre les afyraptotes ; favoir, que
faire comprife entre la courbe & 1 afymptote, eft
plus grande qu’aucune aire finie , ou qu’elle eft, en
langage vulgaire, infinie.
Celle où les dénominateurs font les pyramidaux I
du fécond ordre, comme celle-ci,. .
1 3 S 3 fs 3 f s 3' 70 3 TTS 3 -OcC.
eft égale à 1 f>
Celle où ils font les pyramidaux du troifième I
ordre, comme
T I J L _r . _ ï _ ï , S / f
* 3 6 3 z t 3 S6 3 116 j Ml >
eft égalé à 1 i .
Àinfi la loi que Suivent ces fommes eft appa- I
rente j 8c fi l’on demandait, par exemple 3 quelle I
feroit la., fomme de la progreffion femblable , dont
les dénominateurs feroient les nombres pyrami- I
daux du dixième ordre, il feroit aifé de répondre
quelle eft égale à 1
II. Supposons préfentement cette progreffion j I
t1. 3 a* 3 9?. 3 .1i6l 3 j15l J Jjlg 3 Rrc
dans laquelle les dénominateurs font le s quarrés I
des nombres de la progreffion naturelle :
Si l’on, eft curieux, de favoir quelle eft fa B
fomme, nous répondrons , avec M. Jean Bernoulli I
qui l ’a trouvée le premier, quelle eft finie , & I
égalé au quarré de la circonférence du cercle dir I
vifé par 6 ,. ou à 3.141 j'i.2'
6 "
Quant à celle où les dénominateurs font les I
; cubes des nombres naturels , le même M. Ber- ■
J noulli convient ne l’avoir pu encore découvrir* I
Le leéleur curieux de ces recherches peut re- I
courir à l’ouvrage de M. Jacques Bernoulli, inti- I
tulé Traftatus de Seriebus infinitis3. qui eft à la I
fuite de celui publié en 1 7 13 ,à Bâle, lous le titre I
de Ars conjeftandi : il y trouvera amplement de I
quoi fe fatisfaire. Il doit auffi voir divers me-
moires , tant de M. Jean Bernoulli, qui fe trou- I
vent dans le recueil de fes oeuvres, que de M. I
E u le r , qui font inférés dans les mémoires de I
Pétersbourg.
Des combinaïfons 83 cKangemens d'ordre.
Avant d’entrer en matière , il eft néceffaire
de développer la conftruâion d’ une table qui I
eft d’un grand ufage pour abréger les calculs : I
C ’eft le triangle arithmétique de M. Pafcal. I
Voici comment il eft formé, & quelques-unes I
de fes propriétés.
Formez d’abord une bande A B de dix quarrés
égaux; au deffous de cette bande, en vous reti- I
rant d-un quarré de gauche à d ro ite fo rm e z une I
bande féjmblable C D , qui aura conféquemmént I
un quarré de moins.; & continuez ainfî, en vous
retirant toujours d’ un quarré,&c : vous aurez une
fuite de quarrés difpofes par bandes verticales &
horizontales, & finiffant par un fèul, ce qui formera
un triangle divifé par compartiment égaux ; i
.c’ eft ce qui lui a fait donner le nom de triangle !
arithmétique.
Oh y difpofera les nombres dont il doits être
rempli, de la manière fuivante.
. Dans chacune dés cafés de la première. bande
©n infcrira l’unité, ainfi que dans chacune des
cafés qui font fur la diagonale À E .
Enfuite on ajoutera le nombre de la première
café de la bande C qui eft l’ unité, avec celui qui
.eft dans la café immédiatement aiwleffus, & on
infcrira la fomme 2 dans la café fuivante. On ajoutera
pareillement ce nombre avec celui de la café
au deffus, ce qui donnera 3 qu’on infcrira dans la
.café fuivante. On aura par ce moyen la fuite des
nombres naturels 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , & c .
La manière de remplir les autres bandes horizontales
eft toujours la même ; chaque café doit
.toujours contenir la fomme du nombre qui eft
dans la café précédente du même rang , & de
celui qui eft immédiatement au deffus de cette
café précédente. Ainfi le nombre 15 , qui remplit
la cinquième café de la troifième bande, eft éga-1
a la fomme de 10 qui eft dans la café précédente, & H ?ui eft dans là cafe au-deffus de celle-ci. Il
0 eft de même-de-2 1 , qui eft la fomme de 15'
ce de 6 ; de 33 , dans la quatrième ligne , qui eft
la fomme de 15 & de 20 5 & c .& c .
La première propriété de cette table eft de
donner dans fes bandes- horizontales les différens
nombres naturels, triangulaires, pyramidaux, & c ;
car dans la deuxième on a les nombres naturels
1 , 2 , 3 ,4 , & c ; dans la troifième, les nombres
triangulaires 1 ^ 3 ^ 6 , 1 0 , 13 , & c ; dans la Quatrième
, les nombres pyramidaux du premier ordre-,
1 , 4 , 10 , 20, 33, & c ; dans la cinquième, les
pyramidaux du deuxième ordre, 1 , 3 , 13 , 3 3 ,
7 0 , & c . C ’eft une fuite néceffaire de la manière
dont la table eft formée ; car il eft facile de voir
que le nombre qui remplit chaque café, eft toujours
la fomme de ceux qui rempliffent les café*
précédentes à gauche dans la bande immédiatement
au-deffus.
On retrouve les mêmes nombres dans les bandes
parallèles à la diagonale , ou l’hypothénufé du
triangle.
Mais une propriété bien plus remarquable, 8c
que concevront feulement ceux de nos îeéteur-s à
qui l’algèbre n’eft pas inconnue , c’eft que les
bandes perpendiculaires préfénterit les coeffiçiëns
ou les nombres qui affectent les différentes parties
d’une puiffarvee quelconque,.a-laquelle un binôme,
comme a-\-b3 peut être élevé , la troifième bande,
ceux des trois membres d’un quarré ; la quatrième ,
celles des cinq membres d’un cube 5. la cinquième ,
celle des cinq membres d’un quarré-quarré. Mais
nous nous bornons à cette indication, & nous
paffons à expliquer ce qu’on entend par combfi-
naifons.
On appelle combinaïfons les différents choix
qu’on peut faire de plufieurs chofés dont le nom-
! bre eft connu, en les prenant une à une, ou deux
à deux, ou trois à trois, & c . fans avoir égard à leur
ordre. Soient, par exemple , les quatre lettres
a y by C3 dy & qu’on propofe de favoir de combien
de manières on peut prendre deux de, çes
lettres , on verra fans peine qu’on peur en faire
les eombinaifons fuivantes, ab 3 ac3 ad3 bc3 bd3 cdj
ainfi quatre chofés fe combinent deux à deux de
ces fix manières. Trois de ces lettres fe combirie-
roient de quatre manières, abc , abd3 acd3 bedf
c’eft pourquoi les eombinaifons de quatre chofés
trois a trois, ne font qu’ au nombre de quatre.
Dans les eombinaifons proprement dites, oïl
ne fait point attention à l’ ordre des chofés; voilà
la raifon pour laquelle nous n’avons fait aucune
mention des eombinaifons fuivantes, ba3 ca3 da ,
cb, db , de. Si-, par exemple, on avoir mis dans
un chapeau les quatre billets marqués a3 _b3 c3 dM
8c que quelqu’un pariât d’amener les billets a 8c d 9
foit en en prenant deux à la fois, foit en les prenant
l’un après l’autre, il n’importeroit en aucune
manière que a vînt le premier ou le dernier : ainfi
les eombinaifons ad ou da, ne doivent être ici
.regardées que comme une cümbiuaifon unique.