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arcs correfpondants A D , HM , IN , & c . Toute-
iois cette égalité ne fera pas en degrés , mais en
lieues 5 ce qui eft facile à démontrer : car les
triangles A DH , HM I, INK , &c. font évidemment
femblables 5 ainfi les hypothénufes AH ,
H I , IK , &c. étant égales en longueur , les autres
côtés des mêmes triangles feront aufïi égaux
xefpeCtivement. D'un autre côte il eft vifible
que fi AD , qui eft partie d'un plus grand cercle
3 eft égale en longueur ou en lieues à HM ,
qui eft partie d'un plus petit cercle- , cette dernière
doit contenir un plus grand nombre de minutes
ou de degrés que là première.
III. Quand on a parcouru une portion de loxodromie
très-petite , comme' AH , eh fuivant un
même rhumb , & qu'étant arrivé en H on con-
noîr , par l’obfervacion , la différence de latitude
ou l'arc D H , il eft aifé de connoïtre le chemin
AH 3 puifqiie DH eft à AH , comme le finus
de l'angle HAD connu eft au finus total. Que
l'angle CAH foit par- exemple , de 60 degrés,
& par conféquent HAD de 30 degrés'} que DH
foit égal à un demi-degré ou 10.lieues marines :
le chemin AH fera de 20 lieues marines , car le
finus de 30 degrés eft précifément la moitié du
rayon.
IV . On connoîtra vice versa la différence de
latitude , fi l'on connoît le chemin parcouru &
le rhumb fous lequel il a été parcouru.
V . L'angle de la loxodromie CAH ou HAD
étant connu , ainfi que la différence de latitude
DH., on connoîtra la valeur de l'are AD } car ;
DH eft à AD , comme le finus de l'angle HA
D eft à fon co-finus. Or , connçiffant la longueur
ou le nombre des lieues d'un arc d'un parallèle 3
on connoit combien de degrés & minutes con
tient cet arc. Ainfi l’on a par cembyen le changement
en longitude opéré pendant que le vaif-
feau parcourt le petit arc de loxodromie AH 5
& faiiant la même opération fur les autres petits
arcs HM , IN , & c. on aura le changement total
de longitude , pendant que le vaiffeau aura parcouru
l'arc loxodromique quelconque AK.
La difficulté de cette opération vient de ce
que tous les arcs ;A D 3 H M , IN , &c. quoique
égaux en longueur, font des arcs diffemblables.
Mais les géomètres ont trouvé les moyens d'éviter
ces calculs par des tables ingénieufes ou d'autres
opérations , & dont l'explication ne peut
trouver place ici. ’ _ '
V I . Cette ligne courbe a une propriété fort
fingulière } c'eft qu'elle s'approche fans celle du
pôle fans y arriver jamais. Cela fuit évidemment
de fa nature ; c a r , en fuppofant qu'elle arrivât
au pôle , elle couperoit tous les méridiens dans
ce. meme point : donc , puifqu’elle coupe chaque-
HTcridien fous le même angle 3 elle les couperoit
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tous au pôle fous la même inclinaifon j ce !&j$
eft abfurae 3 puifqu'ils font tous inclinés dans ce
point les uns aux autres. Elle s'approchera donc
de plus .en plus du pôle , & en faifant. autour
de lui une infinité de circonvolutions , fans cependant
jamais l'atteindre. Ainfi s dans la rigueur
mathématique 3 un vaiffeau qui fuivroit continuellement
un' même rhumb de v en t , autre que
celui de nord ou fud, ou eft & oueft 3 s’appro-
cheroit fans ceffe du pôle 3 mais n'y arriveroit
jamais.
VII. Quoique la loxodromie , lorfqu'elle fait un
angle aigu avec les méridiens , doivent faire une
infinité de circonvplutions autour du pôle avant
de l'atteindre , fa longueur eft néanmoins finie 5
car on démontre que la longueur de la loxodromie ,
comme AKL , eft à la longueur de l'arc du méridien
qui indique le changement de latitude ,
comme le finus total au co-finus , ou finus de
complément, de l'angle fait par la loxodromie
avec le méridien : conlequemment vice versâ , le
changement de latitude eft au chemin parcouru
loxodromiquement, comme le co-finus de l'angle
ci-deffus au finus total.
La remarque précédente eft principalement pour
les géomètres préfente une efpèce de paradoxe
qui étonnera ceux à qui ces fortes de vérités
ne font pas familières : on ne peut cependant
pas en douter, fi l'on a conçu les démonftrations
qui ont précédé. Ainfi , pour fixer nos. idées,
fuppofons une loxodromie incliné de 60 degrés
au méridien , avec fes circonvolutions infinies autour
du p ô le , & qu'on faffe , comme le co-finus
de 60 degrés ou le finus de 30 degrés eft au finus
total , ainfi le changement de 90 degrés en latitude
à un quatrième terme : ce fera la longueur
abfolue de cette loxodromie. Or le finus de 30
degrés eft la moitié du finus total 5 d'où il fuit
que le quart de cercle eft la moitié de la loxodromie
fufdite, ou bien qu'elle eft égale précifément
à un demi-eercle' de la fphèré, malgré le
nombre infini de fes circonvolutions.
Comment un vaiffeau peut aller contre le vent,
Ce qu'on propofeici eft un paradoxe pour ceux
qui ignorent les principes de la mécanique. Rien
n'eft pourtant plus ordinaire dans la navigation}
& c’eft ce qu’on pratique toutes les fois qu'on
va , en terme de mer, au plus près du vent,
ou en louvoyant. Nous allons faire fentir comment
cela fe-peut faire ; en obfervant néanmoins
que , quand nous difons qu'un vaiffeau peut aller
contre le v en t, nous n'entendons pas qu’ il puiffe
aller directement dans-la même, ligne fuivant laquelle
le vent fouffle, mais feulement faifant un
angle aigu avec cettë ligne 5 ce .qui fuffit pour
remonter contre fon origine, en faifant plufieurs
bordées, '
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Soit un vaiffeau dont la quille foit AB , ( fig. B
pl. 1 » Amufcmensde navigation ) une des voiles C D ,
orientée de manière à. faire avec la quille l'angle
BED de 40 degrés } que la direction du vent
foit EF , faifant avec cette même quille l’angle
BEF , de 60 degrés , par exemp'e : il eft vifible
que l’angle DEF fera de 20 degrés. Ainfi la voile
fera choquée par un vent tombant fur elle fous
un angle de 20 degrés. Mais felon les principes
de la mécanique , le choc d’un corps tombant
obliquement fur une • furface , s'exerce dans le
fens perpendiculaire à cette furface. Ainfi , tirant
EG perpendiculaire à C D , l’effort du vent
s’exercera fuivant la direction EG.
Si donc le vaiffeau étoit rond , il marcheroit
fuivant cette direction j mais, comme fa longueur
fait qu'il a beaucoup plus de facilité à marcher
fuivant la direction de fa quille EH que fuivant
toute autre qui lui eft inclinée , il prendra une
direction E K , moyenne entre EG & EH , mais
beaucoup plus voiline de EH que de EG , à peu
près en raifon des facilités qu'il auroit à fe mouvoir
fuivant EH pt, EG. Ainfi l'angle KEF de la
route du vaiffeau avec la direction du vent, peut
faire, avec cette direction un angle aigu. Que
l'angle KEH fo it , par exemple , de 10 degrés, 1
l’angle KEF fera de 70 degrés 5 : ainfi le yaiffeau
remontera contre la direction du vent de près de
deux rhumbs entiers. Or l'expérience apprend,
qu'on peut faire décrire au vaiffeau une ligne 1
encore plus approchante de la direction du v en t, ;
d’environ un rhumb entier } car on tient que ,
pour un vaiffeau fin de voiles , des 32 aires de
vent que comprend la bouffole , il y en a 22 qui
peuvent1 fervir à aller dans lé même lieu.
Il eft vrai que plus un vaiffeau ferre le v e n t ,
ou,.pour nous énoncer en termes vulgaires, plus
l'angle d'incidence du vent fur la voile eft aigu ,
•moins i f y-a de force employée à pouffer le vaiffeau
} mais cela eft çompofe par la quantité de
la voilure qu'on peut mettre dehors : car , dans
cette fituation , aucune dès voiles ne nuit à l'autre,
& un vaiffeau peut porter abfolument toutes
fesvoiles. Ainfi ce qu’on perd parle peu de force
employée fur chacune ; on le regagne par la quantité
de la furface expofé. au vent.
Il eft aifé de fentir combien cette propriété
■ de nos vaiffeaux eft avantag'eufe pour la navigation
} car , quel que foit le v e n t , on peut
s en ,fervir pour arriver à un lieu déterminé ,
Ruand même le vent viepdroit directement de
ce côté. Car , fuppofons que la'route à faire
hit de E en F , ( fig- C pl. 1 , de navigation )
*7 que le yên-t fouffiât dans la direClion F S ,
ferrera- le vent d'auffi près qu’on pourra pour
la Ligne EG , faifant avec FE l’angle aigu
cçG. Après avoir couru pendant quélque temps
•want -EG $ on ré virera de bord pour parcourir
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•G H , & enfuite H l , puis IK , Scc : ainfi l’on
s'approchera toujours du terme de fa route.
Quel eft le plus court chemin pour atteindre un vaif-
; feau auquel on donne ckajfe , ô* qu on a fous le
i vent ?
Lorfqu’on rencontre un vaiffeau en mer } &
qu'on veut l'atteindre , on fé tromperoit beaucoup
fi l'on dirigeoit la proue fur lui} car, à
moins qu'il ne courût précifément la même aire de
v en t , il arriveroit de deux chofes l'un e , ou
qu'on feroit obligé à chaque inftant de changer
aë direction dans fa courfe , ou que l'on perdroit
l'avantage du vent en tombant au-deffous.
En effet, qu'un mobile A fe meuve dans une*
ligne a b c d 3 {fig- D , pl. I de navigation,) & qu'il
fut queftion de le faire atteindre par un autre
mobile A , il ne faudroit pas imprimer à A une^,
direction telle que A a3 car, dans peu d'inftans
a aura avancé fur la ligne qu’il parcourt, &
,par exemple, en£. Ainfi., en fuppofant que le
mobile A changeât continuellement de direction
en fe dirigeantfur celui qu’il pourfuit, il décri-
roit une,courbe telle que ABCDE. Il atteîndroit
à la vérité enfin le mooile a s’il alloit plus v ite ,
mais ce ne feroit pas par le plus court chemin.
Que s'il ne changeoit pas de direction à chaque
moment, il arriveroit fur la ligne a d 3 à un point
où le mobile ne feroit déjà plus , & il la dépaf-
feroit, à moins qu'il ne fe mit à le pourfuivre
fuivant la ligne a d 3 ce qui lui feroit perdre encore
plus de temps.
Pour faire donc eh forte que le mobile A ( fig..
E , pl. 1 de navigation ) , atteigne le mobile a.
le plutôt poffible , il faut que A fe dirige fur un
point de la ligne a e 3 tel que A E & a e foient
entr'eux dans le rapport de leurs viteffes refpec-
tives. O r , ces lignes feront dans ce rapport, ü
à chaque inftant le mobile A a dans fa courfe celui
qu’ il pourfuit femblablement fitué dans une direction
parallèle à la direction A d ,* fi , par exemple
, A a étant dirigé au fud , le mobile a , parve- .
nu en b , eft au fud du mobile A^ parvenu en B ;
car il eft évident que les lignes A E , a e „ feront
dès-lors proportionnelles aux viteffes des deux
mobiles , & qu’ils arriveront à-la-fois en E ou c*
La pratique & le raifonnement ont fort bien
fait fentir cela aux marins'} car qu'un vaiffeau en
A apperçoive un autre vaiffeau en a 3 dont il fera
aifé de reconnoitre à peu près la route \a c : au
lieu de fe diriger ou mettre le cap fur a , oa
prendra une route comme A B , portant en avant
de a ; en même temps on relève avec la bouffole
l'aire . de vent A a , ou on a le vaiffeau a } puis ,
aprè? avoir couru quelque temps , par exemple
jufqu’en B,tandis que a eft, arrivé-en b 3 on releve
nouveau avee -la bouffole l'aire de- vent B b 9 où ■