;cilë de le déterminer précifément , que la diffi- i
culté croît arithmétiquement comme la profondeur
, enforte que le prix doive croître de même.
Il faut donc , pour réfoudre ce problème , distribuer
la fomme de 400 liv. en vingt termes ■
qui Soient en progreflion arithmétique fia fomme
des huit premiers donnera ce qui eft dû au maçon
pour fon ouvrage.
Mais la fomme de 400 livres peut être diftribuée
en vingt termes arithmétiquement proportionnels
de bien des manières différentes , Suivant qu’on
déterminera le premier terme qui eft ici indéterminé
: car fi on le fuppofoit , par exemple, d’une
livre ,1a progreflion feroic 1 , 3 * 5 , 7 , &c. dont
39 feroit le dernier terme 5 ce qui donneroit pour
les huit premiers la fomme de 64 livres. Au contraire
, fi on le fuppofoit, par exemple , 10 £ , la
fuite des termes feroit 10 £, 11 £ , 12 £, 13 £,
14 £ , & c ; c ê ~qui donneroit pour les huit premiers
la fournie de ï 16 liv.
Ainfi , pour réfoudre le problème convenablement
, & aüigner avec équité ce qui eft du*, dans
le cas propofé , à l’ouvrier pour ce commencement
d: ouvrage, il faudroit commencer par déterminer
ce que vaut équitablement une toife
d’ouvrage Semblable à la première., & prendre
ce prix pour premier terme de la progreflion.
Je fuppofe.qùe ce prix fort la fomme de 5 livres :
alors On- aura pour la progreflion cherchée 5 ,
é v | , 8 , 0 -[j 'j 11 ^ , 13 , &e. dont la différence
eft ,, & le dernier terme 3 y.
Pour trouver donc la fomme des hu’t premiers
termes, il f aut d’ abord trouver le liuitième terme,
& pour cet effet multiplier la différence commune
, ou par 7 3 ce qui donne 11 f ; l’ ajouter
au premier terme 5 , ce qui donne pour
ce huitième terme 16 -£§ • ajoutez-y encore le premier
terme,. & multipliez la fomme 21 -M par
4 j le produit 8 4 -4ÿ fera la fomme des huit premiers
termes, .ou ce qui eft.dû à l’ouvrier pour 1
la portion d’ouvrage qu’ il a faite.
P r o b l è m e - ï V.
U.i homme doit 1860 livres a un créancier qui veut
oten tm facilita' le moyen de s'acquitter en un an ,
fous les conditions fuyantes , f avoir , de lui payer
le premier mois la fomme de iüO livres 3 & enfuite
chaque mois une fomme dé plus eue le précédent,
j 11 f qu'au douzième qui complette rale paiement. On
demande quelle ejt cette fomme dont le paiement de
chaque mois doit être augmenté. *
Dans ce problème, les paiemens à faire de mois
en mois doivent augmenter en progreflion arithmétique
-, & la fomme des termes , Savoir, ladite
Somme totale due : on connoît aufli leur nombre,
qui eft 12. Mais la différence des termes eft inconnue
5 car c’eft celle dont les paiemens doivent
croître de mois en mois.
Pour la trouver, ôtez d’abord de la fomme totale
le premier paiement multiplié par le nombre
des termes, c’èft-a-dire ici 1200 livres., il reftera
660 } multipliez enfuite le nombre des termes
diminué de l’unité ou 11 , par la moitié du nom-
-bre des termes 'ou 6 , vous aurez le nombre 66,
par" lequel vous diviferez le refte 660 > le quotient
fera 10 , & fera la différence cherchée.
Ainfi le premier paiement étant 100, le fécond
fera n o , le troineme 120 , enfin le dernier 2*0.
§. I I.
Des progreff ons, géométriques- y expofition de leurs
' principales propriétés.
Lorfqu’ on a une fuite de termes dont chacun
eft le produit du précédent par un même nombre 3
o u , ce qui eft la même,.choie, dont chacun eÜ
au précédent dans le r#ême rapport, ils forment
ce qu’on appelle une progreflion géométrique \
ainfi i , 2 , 4 , 8 , 16 , & c . forment une progrefi
fion géométrique ; car le fécond eft le double du
premier, le troisième le double <a|u fécond, & ainfi
de fuite. Les termes 1 , 3 , 9 , 2 7 , 8 1 , & c . forment
aufli une progreflion géométrique, chaque
terme étant triple de celui qui le précède.
I. La principale propriété dé la progreflion
géométrique eft que, fi l’on prend de fuite trois
ternies quelconques, comme 3 3 9 ,2 7 , le produit
81 des extrêmes eft égal au quarré du terme
moyen 9 ; de même , fi l’on en prend quatre" de
fuite , comme 3 , 9 , 27,-81 ,■ le produit des extrêmes
243. eft égal- au produit des deux moyens
9 & 27.
Enfin, fi l’ on prend un nombre quelconque de
fuite, comme 2 , 4 , 8 , 16 , 3 2 , 64 , le produit
des extrêmes 2 & 64 eft égal au produit des deux
qui en font également éloignés, favoir4 & 32 ,
ou bien 8 & 16. Si le nombre des termes étoit
impair, ii eft évident qu’il y auroit un terme unique
également éloigné des deux extrêmes , &
alors le quarré de ce terme feroit égal au produit
des extrêmes, ou dre deux autres quelconques,
également éloignés d’eux <m dir moyen.
IL U y a entre la progreflion géométrique &
la progreflion arithmétique, une- analogie qui doit
être remarquée ici eonfifte en ce que ce
qui convient à la deniièrken employant l’addition
Bc la fcuftræiâion:, convient à l’autre en y Employant
la fealtipiication & la divifion. Lôrfque
dans la dernière on prend la moitié ou le tiers-,
dans la première on emploie l’extra&ion de la
racine quarrée ou cubique , &c.
Ainfi, pour trouver un nombre moyen arithmétique
entre deux autres, par. exemple 12 ,
on ajoute les deux extrêmes donnés, & l’ on prend
la moitié 7 £ de la fomme 15 , qui eft le nombre
cherché ; mais pour trouver un moyen géométrique'entre
deux nombres , on multiplie les extrêmes
donnés , & l’ on tire la racine quarrée du produit.
Soient, par exemple , ces nombres f , 12 ;
leur produit eft 36, dont la racine quarree 6 eft
le nombre cherché.
Si l’on a une progreflion géométrique quelconque
, comme 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , 3 2 , 6 4 , & c . &
u’011 écrive, comme on voit- dans l’exemple ci-
eflous, les termes d’ une progreflion arithmétique
| par ordre au-'deffus de deux de la progreflion gêo-
1 métrique ,
I u';$ 1 2 3_ 4 y 6 7 8 9. 10
1 2 4 8 16 32 64 128 256 f n 1024
[ on remarquera les propriétés fuivantes dans cette
[ .combinaifon :
f i ° . Qu’ on prenne deux termes quelconques de
r la progreflion arithmétique, par exe mple 4 & 64 ,
I & qu’on les multiplié, le produit eft 15 6. Qu’on
I prenne pareillement les -deux termes de la pro-
1 greffion géométrique répondans à 4 & 64 , qui
I font 2 & 6 3 & qu’ on lés ajoute, la fomme 8 ré-
! pondra au produit ci-deflus 256,
29. Prenez dans la progreflion inférieure quatre
s termes en proportion géométrique , par exemple
1 2 , 16, 6 4 , 512 5 les nombres de la progreflion
! fupérieure correfpondans feront.i , 4 , 6 , 9 , qui
| font en proportion arithmétique, car la différence
I de 4 à 1 eft la même que celle de 9 à 6.
3°. Si l’ on prend dans la fuite inférieure un
I nombre quarré , 64 par exemple , & dans la fuite
I fuperieure le terme qui lui répond, favoir 6 ,1a
I moitié de ce dernier , 3 , fe trouvera répondre à
I la raanë quarrée de 64 , favoir 8,
f En prenant dans la fuite inférieure un cub e,
K par exemple 512 , & dans la fupérieure le nombre
I correfpondant .9, il fe tro.uve que le tiers de ce
I dernier, qui eft 3 , eft aufli correfpondant à la ra-
■ cnie cubique 8 du premier,
j Ainfi 1 on voit que ce q u i, dans la progreflion
I géométrique, eft multiplication fceft addition dans
I f ar ithmétique ; ce qui eft divifion dans la pre-
K miere, eft fouftraélion dans la dernière3 c e qui eft
I « extraction de racine quarrée , cubique , &c..
dans la progreflion géométrique, eft fîmple divi-
fion par 2 , par 3 , & c . dans l’arithmétique.
Cette analogie remarquable eft le fondement
de la théorie vulgaire des logarithmes ; & nous a
paru par cette raifon mériter que nous entraflions
ici dans quelques détails à fon fujet.
III. Il eft évident que. toutes les puiflances par
ordre d’un même nombre, forment une progret-
fion géométrique i telle eft la fuivante, qui eft
celie des puiflances du nombre 2 ,
2 4 8 32 64 128 &c.
Il en eft de même des puiflances du nombre 3 *
qui forment la fuite
5 9 i 7 Bi 243 729 & c .
La première de ces fuites a une propriété parti*
culière , favoir , que fi l’on prend les premier,
deuxième, quatrième, huitième, feizième, trente*
deuxième termes,& qu’on y ajoute l’unité, il en
réfultera des nombres premiers'#
IV. On appelle l’expofant d’une progreflion
' géométrique, le nombre qui ré fuite de là divifion
d’un terme quelconque par celui qui le précède ;
ainfi, dans la progreflion géométrique 2 , 8, 32 ,
128, 5 V - , Vexpofant eft 4 j car, en divifant 128
par 32, ou 32 par 8 , ou 0 par 2 , le quotient eft
toujours 4. Ainfi l’expofant joue dans la progref*
fion. géométrique , le même rôle que la différence
dans la progreflion arithmétique, c’eft-à-dire, qu’il
eft toujours confiant.
Pour trouver donc, dans une progreflion géométrique
dont le premier terme & l’expofant font
connus , un ternie quelconque , par exemple , le
huitième , multipliez cet expofant par lui-même
fept fois de fuite , ou autant de fois qu’il y a
d’unités dans fon rang , moins un 3 o u , ce qui eft
la même ch ofe , élev'ez cet expofant 1 k fep-
; tième puiffance j-enfin multipliez le premier terme
par le. produit 5 le nouveau produit fera le huitième
; terme cherché. S o it, par exemple, le premier
terme 3 , & l’expofant de la progreflion 2 5 pour
. avoir le huitième terme , on prendra la feptièroe
puiffance de 2 , qui eft 128 5 multipliez -enfuite
' par 128 le premier terme 3 ; le produit, qui fera
384, donnera le huitième terme cherché de la
progreflion.
Remarquons ici que s*’il eût été qweflion d'uae
progreflion arithmétique dont le premier terme
eût été .donné ainfi que la différence , &: qu’ on eût
voulu avoir le huitième terme , on eût miilt/pUé.
cette différence-par 7 , & on eût ajouté le produit
au premier terme#. On voit par conféquent ic i