par A , B , C fig. i pL 8 , & que leurs rayons
foient A<z, B£,Cc > que A foit le plus grand , B
le moyen , 8 c C le plus petit. Sur lé rayon A a
prenez ad égale à Ce , ou au rayon du plus petit
cerclé , 8 c du centre A au rayon Ad décrivez un
nouveau cercle. Sur le rayon Bb prenez le égalés
à Ce 3 8 c du'centre B au rayon Be décrivez un autre
cercles enfuite 3 par la propofition précédente,
tracez par le centre de G un cercle qui touche les
deux nouveaux cercles ci-deffiis ; que fon centre
foit E & fon rayon EG s diminuez ce rayon du
rayon C e , & du même centre E décrivez un nouveau
cercle: il eft évident qu'il touchera les trois
premiers cercles donnés.
Car puifque le cercle décrit du centre A au rayon
Ad eft en dedans du cercle propofé A , de la quantité
ad ou Ce , il eft évident que fi Ton diminue
le rayon E G de cette même quantité, le cercle
décrit de ce nouveau rayon touchera , 'au lieu du
cercle intérieur au rayon Ad 3 le cercle propofé
dont Aa eft le rayon.
Il eft également facile de voir que ce même
cercle décrit du rayon EG moins Ce 3 touchera
extérieurement le cercle au rayon Bb. Enfin il
touchera extérieurement le.cercle au rayon Ce .*
donc il les touchera extérieurement tous trois.
C e problème a eu de la célébrité parmi les anciens
, & ne laiffe pas d'avoir en effet un certain
degré de difficulté. Il terminoit un traité d'Apollonius
3 intitulé de contaftibus 3 qui ne nous eft pas
parvenu, mais que M. Vie te , célèbre géomètre de
fa fin du feizieme fiècle,a rétabli, 8 c que l’ontrou-
v e dans fes oeuvres imprimées en latin, à Leyde.
en 1646, in-fol. Il l'a intitulé : Apollonius Gallus
feu exfufcitata Apollonii Ferg&i de Taftionibus géométrie.
M. Newton a donné une belle* & tout-à-fait
ingénieufe folution de ce problème ; mais celle
de V iete nous a paru préférable pour ce lieu c i ,
.étant fondée fur une géométrie plus élémentaire.
Je crois pouvoir ajouter que ce petit morceau de
géométrie de Viete eft un des plus élégans morceaux
de géométrie traitée à la. manière des anciens.
X^e dodécagone inferit au cercle eft les £ du quarrê du
diamètre , ou égal au quarré du côté du triangle inferit.
C e théorème qui eft affez curieux , a été remarqué
pour la première fois par Snellius, géomètre
Hollandois.
Soit A C le rayond'un cercle où foit inferit le
côté AB de l'hexagone { fig. $3pl. 8 ) que AD,DB ,
foient les côtés du dodécagone régulier : d'où il
fuit que, tirant le rayon DC , il coupera en deux
également 8 c perpendiculairement le côté AB. Or
il eft aifé de voir que- l’aire du dodécagone eft
égale à douze fois l’un des triangles ÀDC ou DCB
Mais le triangle D C eft égal au produit du rayon
par la moitié de AF ou par le quart du rayon '
c'eft-à-dire égal à un quart du quarré du rayon •
donc les douze feront égaux à trois fois le quarré
du rayon, ou aux trois quarts du quarré du diamètre.
D ’un autre p art, le côté du triangle équilatère
inferit au cercle , le diamètre étant l'unité , eft
égal à f : conféquemment fon quarré eft égal *
£ du quarré du diamètre, ou au dodécagone.
Il n’y a parmi les polygones inferits , que le
uarré 8 c le dodécagone qui aient cette propriété
'avoir un rapport numérique avec le quarré du
diamètre , car le quarré inferit en eft précifëment
la moitié ; mais parmi les polygones réguliers cir-
confcrits , il n’ y a que le quarré lui-même.
ô n pourroit au refte inferire. dans un cercle
donné , des polygones irréguliers, 8 c même une
infinité , qui feroient commenfurables avec le
quarré du rayon.
Soient par exemple, un cercle d’ un diamètre
égal à 1 , 8 c que les quatre côtés du quadrilatère
inferit foient A 3 A • fa furface fera rationelle,.
8 c égale aux du quarré du diamètre.
Le diamètre A B d’un demi-cercle ACB ( fig. 4,
pl. 8 , ) étant divifé en deux parties quelconques
AD , DB , fur ces parties , comme diamètres,,
foient décrits deux demi-cercles AED , DFB. Ou
demande un cercle égal au reftant du premier demi*,
cercle.
Elevez au point D la perpendiculaire DC a
AB , jufqu’à la rencontre du demi-cercle ACB;
que D C foit le diamètre d’ un cercle : cefera celui
que l'on cherche.
On en tire la démonftration , de cette propofition
fi connue du 2e. Livre'des éléments d’Eu-
clide , fçavoir , que le quarré de AB eft égal aux
quarrés de AD 8 c de DB , plus deux Fois le rectangle
de AD parDB; re&angle auquel eft égal par
la propriété du cercle , le quarré de DC. Aces
quarrés fubftituez des demi-cercles qui font dans
le même rapport , 8 c la propofition fera démontrée.
JJn quarré étant donné , en recouper les angles de
manière qu’il foit transformé en un oftogone régulier.
Soit le quarré donné ABCD. {fig. y pl. 8 ) Prenez
fur les deux côtés D C , D A , qui fe rencontrent en
D deux fegments quelconques égaux , D I , DK »
& tirez la diagonale IK ; faites enfuite DL égale
à deux fois D K , plus une fois la diagonale IK, &
tirez LT ; enfin , par le point C , menez GM
parallele à LI : cette ligne recoupera fur le çôté
*ju quarré une quantité DM telle que, lui faifant
DN égale , la ligne NM fera le côte de l'odtogone
cherché.
prenant donc AE , A F , B G , BH , 'C N , C O ,
fcc. égales à DM 5 8 c .tirant E F , G H , O N , on
aura l’odtogone demandé. ,
JJn triangle ABC étant donné, (fig. 7 , pl. 8 , ) lui
inferiré un re B angle , tel que FH ou G I , égal d
un quarré donné.
Faites d’abord fur la bafe BC le re&angle BD
égal au quarré donné , 8 c que E foit le point où
AC eft coupe par le côté de ce re étang le parai^
lèle à CB ; hir A C décrivez un demi-cercle j 8 c ,
ayant élevé la perpendiculaire EL jufqu’ à la rencontre
de fa circonférence , tirez CL : fur KC
égale à la moitié de A C décrivez auffi un demi-
cercle , dans lequel vous prendrez CM égale à
CL ; faites enfin KF égale à KM , ainfi que
KG : vous aurez les points F 8 c G , defquels
menant les parallèles à la bafe jufqu’ à la rencontre
de AB , 8 c de ces points de rencontre les perpendiculaires
à la bafe , on aura Tes-redlangles
FH, GI , égaux entr’eux , ainfi qu’au rectangle
DB qui étoit egal -au quarré donné : donc 3 &c. m m ■ I • - ;
Vans un angle BAC ( fig. 8 , pl. 8 , ) pan un point,
donné D , tirer- une ligne H I , telle que le triangle
IHA foit égal d un quarré donné.
-i Par le point donné D , tirez la parallèle LE
à un des côtés A C de l’angle propofé , & faites
Jerhombe LEGA égal au quarré donné'j puis,
fur la ligne -DE décrivez un demi-cercle , dans
lequel vous ferez DF égal à: D L , & vous tirerez
EF ; enfin prenez - GH égale à EF , 8 c par le
P°int H tirez HDI : ce fera la ligne cherchée.
De la lunulle d’Hippocrate de Chio.
Quoique la quadrature du cercle foit probablement
impoflible , on n’a pas laiffe' de trouver
des portions de cercle qu’ on démontre égales à
des. efpaces reélilignes. Le plus ancien exemple
de portion circulaire ainfi quarrable, eft celui dés
tonulles d’Hippocrate de Chio : en voici la conf-
ffuftion.
r j® K-tnangle reétangle A B C , ( fig-. 9 , pl. 8 )
ABr hyP°tdnufe duquel foit décrit le demi-cercle
r y 3 É p paffera par l’angle droit B ; fur les'
cotes A B , BC , foient auffi décrits des demi-
HA 6Sr ^GS e*Paces en forme de croi fiant, AEB
gj « M feront enfemble égaux au trian-
Car il eft aifé de voir que le demi-cercle fur
la bafe A C eft égal à la fonime des demi-cercles
AEB , BDC : donc , fi l’on retranche de paft 8 c
d’autre' les fegmènts ÀH B , B G C , il reftera d’ un
côté le triangle ABC , 8 c de l’autre les deux
efpaces en croiffant A E BH , BD C G , 8 c ces ref-
tants feront égaux : donc, 8cc.
Si les côtés ab , bc , font égaux comme, dans
la {fig- 6 , pl. 8 , ) les deux lunulles feront évidemment
égales , & feront chacune à la moitié
du triangle abc 3 c’eft-à-dire au triangle bea ou
bfc.
Ceci donne une conftru&ion plus fimple de la
lunulle d’Hippocrate. Que ABC {fig. 10 ,
pl. 8 , ) foit un demi-cêrcle fur le diamet-re A C ,
8 c A F C le triangle ifocele redtangie. Sur cettô
bafe A C , d u pgint F comme centre, foit décrit
par A & C l’arc de cercle ADC : la lunulle ABCD
fera égale au- triangle CAF.
En effet, puifque le quarré de FC eft double
du quarré de E C , le cerclé décrit du rayon FC
fera double du cercle décrit du rayon E C : conféquemment
un quart du premier , ou le quart de
cercle F ADC , fera égal à la moitié du fécond 3
ou au demi-cercle ABC. Otant donc le fegment
commun ADCA , les reftants, fçavoir, d’un côté
lé triangle A F C , 8 c de l’autre la lunulle A B CD A ,
feront égaux.
C ’eft ici le lieu de faire connoître diverfes remarques
curieufés, ajoutées par les géomètres
modernes à la découverte d’Hippocrate.
1. Si du centre F on mène une droite quelconque
FE , { fig'. i l , pl. 8 j ) qui rettanche une
portion de la lunulle A EG A , cette portion fera
encore quarrable, & égale au triangle redtiligne
AHE redlangle en H.
Car il eft facile de démontrer que le fegment
AE fera égal au demi-fegment AGH.
1. Si du point E on abaiffe fur A C la perpendiculaire
E l , & qu’ on tire FI 8 c FE y la même
portion de lunulle A EG A fera égale au triangle
AFI.
' Car on démontre aifément que ce triangle AFI
eft égale au triangle AHE.
3. On peut donc divifer la lunulle en raifqn donnée
, par une ligne tirée du centre F : il n’y a
qu’à partager le d’iamecre A C de manière que AI
fo it' a CI dans cette raifon , élever la perperdi-
cuîaire EL A C , 8 c mener la ligne FE : les deux
fegments de laJunulle A G E , GEC , feront dans
la raifon de AI à IC.
Toutes ces chofes ont été remarquées pour
la premiere fois par un prélat géomètre , M.
Àrtus de Lionne, évêqué de G ap , dans fon livre,
intitulé Curviliheorum amoenior contemplatio, in-
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