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P r o b l è m e X I I I .
A R I
P r o b l è m e X I V .
il 64
Vlufeurs nombres- pris fuivant leur fuite naturelle
“ étant dijpofés en rond , deviner celui que quelqu'un
aura penfé»
On fe fervira commodément des dix premières
cartes d'un jeu entier pour exécuter ce. problème :
on les difpofera en rond , comme vous voyez les
dix premiers nombres dans la figure. L'as fera re-
préfenté par la lettre A jointe à i , & le dix fera
xepréfenté par la lettre K jointe à io.
i A E y
io K F 6
I H G
9 8 7
Ayant fait toucher un nombre, ou une carte
telle que voudra celui qui en aura penfé une ,
ajoutez au nombre de cette carte touchée le nombre
des cartes qu'on aura choifies, comme 10,
dans cet exemple : puis faites compter la fomme
que vous aurez à celui qui a penfé la carte, par un
ordre contraire à la fuite naturelle des nombres,
en commençant par la carte qu'il aura touchée,
& en attribuant a cette carte le nombre de celle
qu'il aura penfée 5 car , en comptant de la forte, il
finira à compter cette fomme fur le nombre ou fur
la carte qu'il aura penfée,& vous fera par confé-
quent connoître cette carte.
Comme , fi l'on a penfé 3 marqué par la lettre C ,
& qu’on ait touché 6 marqué par 1^ lettre F , ajoutez
10 à ce nombre '6, vous aurez la fomme 16 :
puis faites compter (1) cette fomme 16 depuis le
nombre touché F , vers E , D , C , B , A , & ainfi
de fuite par un ordre rétrograde , enforte que l'on
commence à compter le nombre penfé 3 fur F , 4
fur E , 5 fur D , 6 fur C , & ainfi de fuite jufqu'à
16 ; ce nombre 16 fe terminera en C , & fera connoître
qu'on a penfé 3 qui répond à C.
I. On peut prendre un plus grand ou un plus
petit nombre de cartes , félon qu'on le jugera a
propos. S'il y avoit 15 ou 8 cartes,- il faudroit
ajouter 15 ou 8 au nombre de la carte touchée.
IL Pour mieux couvrir l’a r tifice ,il faut ren-
verfer les cartes, enforte que les points foient
cachés j & bien retenir la fuite naturelle des cartes,-
& en quel endroit eft le premier nombre ou l'as,
afin de favoir le nombre de la carte touchée ,
pour trouver celui jufqu’ou il faut faire compter.
(1) Ôbfervcz qu’on ne doit pas compter cette
fomme tout haut,mais en foi-même, & feulement
par penfée.
Deux perfonnes conviennent de prendre alternativeJ
ment des nombres moindres quun nombre donné11 I
par exemple 11 , & de les ajouter enfemble jufqua. I
ce que l'un des deux puijfe atteindre par exemple I
IOO.J comment doit-oif faire pour y arriver in- I
failliblemeht le premier ?
L'artifice de ce problème confifte à s'emparer I
tout de fuite de certains nombres que nous allons I
faire connoître. Retranchez pour cet effet 1 13
par exemple , de 100 qu’il eft queftion d’ atteindre, I
une fo is , deux fois , trois fois, & autant de fois I
que cela fe peut 5 il reftera 89, 78 , 6 7 , y é , 4^, I
34, 23 , 12 & 1 , qu'il faut retenir 5 car celui qui, I
en ajoutant fon nombre moindre que n a la I
fomme des précédens , comptera un de ces nom-
bres avant fon adverfaire , gagnera infaillible- I
ment, & fans que l'autre puiffe l'en empêcher.
On trouvera encore plus facilement ces nom- I
bres en divifant 100 par 1 1 , & prenant le refte 1,
auquel on ajoutera continuellement 11 pour avoir I
3 4 * & c -
Suppofons, par exemple , que le premier qui I
fçait le jeu prenne r ; il eft évident que fon adver- I
faire devant compter moins que 1 1 , pourra tout I
au plus, en ajoutant fon nombre , 10 pais*exem- I
pie , atteindre 11 : le premier prendra encore 1 ,
ce qui fera 12 : que le fécond prenne 8, cela fera I
20 : le premier prendra 3 , & aura 23 : & ainfi fuc- I
ceffivement, il atteindra le premier à 34 , 45, 56 , I
67 , 78 , 89. Arrivé là , le fécond ne pourra pas
l ’empêcher d’atteindre 100 le premier ; car, quel- I
que nombre que prenne le fécond , il ne pourra I
atteindre qu'à 99 : le premier pourra donc dire, I
& 1 font 100. Si le fécond ne prenoit que 1 en I
fus de 89, cela feroit 90, & fon adverfaire pren-
droit 10, qui avec 90 font ico .
Il eft clair que de deux perfonnes qui jouent I
à ce je u , fi toutes deux le fçavent, la première I
doit néceftâirement gagner. .
Mais fi l'une le fç a it, l’autre n on , celle-ci, I
quoique première, pourra fort bien ne pas gagner ;
car elle croira trouver un grand avantage à prendre I
le plus fort nombre qu'elle puifte prendre, favoir I
10 ; & alors la fécondé , qui fçait la finefte du I
je u , prendra 2 , ce qui avec lo fe ra 1 2 , l’un des I
nombres dont il faut s'emparer. Elle pourra même I
négliger cet- avantage, & ne prendre que 1 pour I
faire 11 ; car da première prendra probablement I
encore 1.0, ce qui fera 21 : la fécondé pourra pren- I
dre 2 , ce qui fera 23. Elle pourra enfin attendre I
encore plus tard pour fe placer à quelqu’un des I
nombres, fuivans, 34,45 , y 6 , & c .
a r 1
Si le premier veut gagner, il ne faut .pas qUe îe
t)îus petit nombre propofé me fur e le plus grand j
Far dans ce cas, le premier nauroit pas une
.réglé infaillible pour gagner. Par exemple, 11 au
lieu de n on avoit pris 10 qu> mefure io o , en
itant 10 de 100 autant de fois qu’on le peut, on
auroitcés nombres, 1 0 ,2 0 , 30, 4 0 , y o , 60,
70 80, 90, dont le premier 10 ne pourront pas
être pris par le premier; ce qui fait qu’étant oblige
de prendre un nombre moindre que 10 , fi le fécond
étoit aufîi fin que lu i, il pôurroit-prendre Je
refte à 10, & ainfi il auroit une règle infaillible
P R O B L EME X „ y .
Sei\e jetons étant difpofês en deux rangs , trouver
celui qui aura été penfe.
Ces feize jetons étant difpofês ën deux rangs
égaux, comme on voit dans la figure, on demandera
à quelqu’un d’en penfer ou choifir mentalement
un, & de remarquer dans quel rang il fe
trouve.
AB C B D E B F H B I
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Suppofons qu’ il foit dans le rang À , on lèvera
tout ce rang dans le meme ordre ou il le trouve,
& on le difpofera en deux rangées, C & D , à
droite & à gauche de la rangée B 5 mais, en les
rangeant, faites enforte que le' premier du rang A
foit le premier du rang Ç , le fécond du rang A
le premier du rang D , lè troifième du rang A le
fécond du rang C , & ainfi de fuite:, cela fait,
demandez de nouveau dans, quelle rangée verticale
C ou D fe trouve le jeton penfé. Nous fup-
poferons que ce foit en C ; vous levérez ce rang
ainfi que le rang D’, en mettant ce dernier derrière
le premier, & fans rien déranger à l’ordre
des jetons ; vous en ferez, deux autres rangées,
comme l’on voit e'n E & F , & vous demanderez
encore dans quelle rangée verticale fe trouve le
r jeton penfé. Suppofons que ce foit en E 5 on
prendra encore cette rangée & la rangée F , comme
, deffus, & on fera de nouveau deux rangées à
droite & à gauche de B. Cette fois le jeton penfé
doit fe trouver le premier d’un des .deux rangs
perpendiculaires H & I. Si donc on demande en
quel rang il fe trouve , on le reconnoîtra auftitôt ;
& comme on fuppofe qu’ils ont chacun quelque
ligne diftinftif, on pourra dire de lès mêlçr les
A R I t C f
uns avec les autres, & on le -reconhoîtra toujours
au figne qu’on aura remarqué.
On voit aifément qu’ au lieu de jetons le jeu
peutfe faire avec feize cartes. Après avoir reconnu
par le moyen ci-deüus celle qui .aura été choifie,
on les fera mêler, ce qui couvrira davantage l’.ar-i
tifice.
Si l’on fuppofoitun plus grand nombre de jetons
( ou de cartes ) difpofês en deux rangées verticales
, le jeton où la carte, penfée ne fe trouvera
pas néceffairementen tête de fort rang à la troifième
tranfpofition : il en faudroit quatre s’il y avoit
:32 jetons ou cartes, cinq s’il y en avoit 64, &c.
pour, pouvoir dire avec affurance que le jeton
pénfé (ou la carte) occupe la première place de
fon rang; car fi ce jeton (ou cette carte) fe trou**
voit au plus bas d é jà rangée perpendiculaire A ,
ce ne feroit qu’après quatre tranfpofitions qu’il
arriveroit à la première place', s’il y en avoit 16
à chaque rangée, ou 32 en tout; & après cinq,
s’il y en avoit 64, ou 32 à chaque rangée, & c :
ce qui eft aifé à démontrer.
P r o b l è m e X V I.
Manière de deviner entre plufteurs cartes celle quott
aura penfée.
Il faut, pour faire ce jeu , que le nombre des
cartes foit. divifible par 3 , & , pour le faire plus
commodément encore, qu’il foit impair.
La première condition au moins étant fuppoféè,
on fera penfer une carte ; puis les tournant du côté
du blanc , on les retournera par ordre, en les dif-
pofant en trois tas , enforte que-la première du
jeu foit la première du premier tas, la deuxième
la première du fécond tas ,1a troifième la première
du troifième tas, -puis la quatrième læ fécondé du
premier tas, & ainfi de fuite. La perfonne qui a
penfé une des cartes doit être attentive à les voir
pafier; & qn lui demandera, les tas étant achevés
, dans lequel fe trouve la carte penfée.. On
relèvera donc les tas en les mettant l’un fur l ’autre
& en obfervant que celui où eft la carte cherchée
doit être toujours au milieu ; après quoi,. retournant
le jeu , on fera de nouveau Sc de la même
manière; trois tas, & l’on demandera encore dans
leq.uelteft.la carte penfée. Ce,tas étant connu , on
le placera , comme ci-deyant, entre les deux autres,,
& l’ on formera trois nouveaux tas ; après
quoi on demandera encore jans,lequel eft la carte
penfée. . Alors on relevera pour-la troifième &' derv
nière fois les tas, en mettant.au milieu celui où
eft la carte ; & , ,en tournant, le jeu du côté , du
blanc, on retournera les cartes jufqu'au nombre
qui eft •deç^.lks du par .exemple tt