Les- quarrés pairement pairs font ceux doptla I
racine partagée par la moitié eft paire > tels font J
les quarrés de 4 , 8 , 11 j & c . Les împairement
pairs font ceux dont la racine, partagée par la moi- |
tié , donne un nombre impair 5 comme ceux de 6 $
1 0 , 14 3
Les anciens ne nous ont tranfmis aucune règle
générale 3 mais feulement quelques-exemples de
quarrés pairs rangés magiquement, comme Ceux,
Se 16 , de 36 | de 64 cafés. Voici ce.qpa.kf
dernes qui s3 y font exercés; ont trouyé de mieux Vl
Commençons par les quarrés pairement pairs.
On peut d’abord s’affurer facilement que l’on ne
fauroit remplir magiquement le quarré de la racine
1 : le premier qu’on puifle ainfi ranger magiquement
,é f t celui de 16 cafés. -Il y a.une règle
générale ôc fort fimple pour y parvenir. ; :
Soit donc le quarré A B CD Y q ifil faut remplir
magiquement des 16 premiers nombres natUrels :
on remplira d’abord les diagonales > & 3 p^our cet
effet j on commencera à compter les nombres; naturels
par ordre , 1 3 1 » 3 » 4 » & c * |É| .
la première bande horizontale de gauche a droite
; puis on paffera à la
fécondé bande , & lorf-
qu’on tombera fur les cafés
appartenantes' aux diagonales
,. on y infcrira les
nombres comptés en tombant
fur elles : vous aurez
d’abord par ce moyen la
* (bfpoÊtion ci-contre.
Les diagonales ainfi remplies , afin de remplir
les cafés qui ont refté vuides , il faut recommènçer.
à eompter les mêmes nombres , en partant de
l’angle D , & de droite à gauche , fur ca(fs
de. la bande inférieure C DA & enfuite fur celle
qui la fuit en montant j & quand vops rençqn-
trere?: des cafés vuides ,
vousles remplirez du nombre
quileur compëte:vous
aurez de cette manière le
quarré if? rempli magiquement,
comme on le
voit ic i , & la fomme èp
chaque bande & de chaque
diagonale fera 54.
j ! V ' l4 1 4
I 6 : 7 | 9 -
I 8 10 » 1 *
1 w . 5
Méthode pour ies quarrés impairtment pairs.
Nous allons prendre pour exemple le quarré de la
.racine 6 ^ Nous commencerons
■ 'j 4 I -
■ 4 ? 6 7] — . — - f l
4 ; 2 |
— —— --- i
5 .4 1 >f i | — —— <— h — j
4 3 ■6 ,
’ * S — — —
— 3 , 4-, I 2 9
8
à le remplir,
des fix premiers-
»nombres de'’la pro-r
i greflion arithméti-
Sque, 1 , 2 , 3 , & c j
jee qui donnera le
‘prèmier quarré pri-
jmitif ci-joint.
; 6
On for«
niera le fécond,
en le '
rempli fiant Y 1
dans le ifens
vertical <&r
fuivant - le
mémo prin- •
çipe , des
multiples dè .
la râcihé, én
commençant
par zéro, Lavoir
: 6 „ 63
i l , ; 18, 24,
On ajôutera enfuite lés cafes fembîables des
deux quarrés > ce qui- en donnera un• tr<?ifième L»
qui n’ aura plus béfôiâ qüé dé quelques corrections
pour être magique. Ce troifièm.e quarré eft çelui
ci-défîbus.
A
I *
. .. . .
44 6 | Z4
i . '0• 5«' : 0 O 50 J 0
Ï2 Î8 i l 12 18 j 12
P . 1 2 18 18 ; u i iS..
3“ ■ Æli l i ° 3° 0/50
.6 44 6 ' 6 24 j <3
4 9 12 27 28 ■ '7 A 6
2: ■ 31 P 3 , 5
m 44 i f ,16 f i l H-
43- 18 1 1 22 43 20
34 34 35 6 WÈ
11 :;3p ; ’Y 16 8
Pour ç e n f e ce dernier quarréjiqagique » il faut ,
en laiflant lés angles fixes., traufpofer les autres
nombres Je la bande horizontale fupérieure , 8e
de la première;, verticale à gauche. Cette tranj.-
polition confifte à renverfer tout le reliant de la
bande , en écrivant 7 , 2 8 , 27 , '4 » au lieu de
12 , 2 7 , & c y & dans la verticale , 3 1 , 2 3 , 17
& 2 de haut e n bas, au lieu de 2 , 7 , &c.
Vous échangerez
aufti les
nombres des
deux cafés du
milieu de la
deuxieme horizontale
d’en
haut & 'de la
plus baffe, de
la deuxieme
verticale à
gauche & de
la derniere à
droite : epfin
vous échan
29 r 7 28 9 12 l 6
34 31 3 4 36 5
23 18 ■y ! l 6 !9 20
14 44 2.1 22 >3 7
2 I 54 33 6 3 5 -
II 4f 10 47 1 ? 8
VUUS c o n c lu - 111 1 "T . -
gerez les nombres des cafés A &c B , ainli que
ceux de C & D ; vous aurez votre quarré corrigé
, & difpofé- magiquement,
Des quarrés magiques par enceintes.
Vo ic i une nouvelle difficulté que les arithméticiens
modernes ont ajoutée a laqueftion des quarrés
magiques. Il syagit non-feulement de ranger
une progreffion de nombre magiquement dans un
quarré / mais on demande encore que ce quarré ,
en le dépouillant tout à l’entour d’une bande x ou
de deux , ou de trois, & c . refte magique j ou au
contraire, ce qui eft l’ inverfe, un quarré étant
magique , il faut lui ajouter une enceinte d’une
ou plufîeurs bandes, telles qu’il foit encore difpofé
magiquement.
S o it , pour donner un exemple de cette conf-
truÇtion , le quarré de la racine 6 à difpofer magiquement
, en le rempliflant des nombres naturels
depuis | jüfqu’ à 36. Le premier quarré magique
pair poflible étant celui de 4 de côté , nous commencerons
par le difpofer magiquement, en le
rempliflant des termes moyens de la progreffion ,
au nombre de 16 , en réfervant les 10 premiers &
les iô derniers pour l’enceinte. Nous prendrons
donc pour le quarré intérieur , les nombres 11 ,
12 , &c. jufqu’à 16 inclufivement, & nous leur
donnerons une difpofition magique quelconque : il
nous réfhra les nombres 1 , &c. jufqu a 10 5
& 27 jufqu’ à 36 3 pour l’enceinte.
Pour difpofer ces nombres dans l’enceinte, on
Q U A 8 4 1
I 3 S 34 y .30 p
33 II ay 44 H 4
28 22 16 17 19 9
8 18 20 21 iy 49
10 43 t3 12 2 6 47
SSBS- ------
31 1 5 3a
L L L L
ieiit d’ a-
)ôrd placer
aux quatre
angles les
nombres 1,
63 3 1 ,3 6 ,
enforte que
diagonale-
mentils faf-
fent trente-
fept. Chaîne
bande
îevantfaire
1 1 , il faudra
donc ■ i --------------- r .
dans la première bande quatre nombres , tel*
•qu’ils faffent cent-quatre } &r, comme leur corn«
iplément i 47 doivent fe trouver dans la plus
!bafle, où il a déjà 67 , il faudra qu ils faflent
ènfemble 44 : or il y a plufîeurs combinaifons de
ces nombres qnatre à quatre, qui peuvent taire
104, & leurs compléments 44 j mais il faut qu eit
même tems quatre des reftants puifient faire 7 9 .»
pour remplir la première bande verticale , tandis
que leurs compléments feront 69 pour compléter
la dernière. Cette double condition limite la
première combinaifon à 35 , $ 4 , 3 S
placera dans la première bande félon 1 ordre qu on
voudra , pourvu qu’on mette au - defious de
chacun , dans la dernière bande , leurs compléments
5 & les quatre nombres qui doivent remplir
la première bande verticale feront 33
10, 8 , qu’on y pourra arranger comme l’on voudra
, pourvu qu’on oppofe à chacun fon complément
dans la café cofrefpondante de 1 autre coté.
D ’une autre èfphe de quarré magique à compartiments.
Il eft queftion ici d'un autre artiîce dont la
plupart des quarrés magiques-font fufceptiDles i
c eft d'être non- feulement magiques dans leur totalité
mais encore d'être tels que , les olvirant
dans lés quarrés dans lefquels ils/ont refolubles |
ces parties du premier quarré foient elles-memes
magiques. Le quarré de 8 de cote f ft;par exemple,
forme de quatre quarrés , ayant 4 pour racine :
on oeut demander que nomfeulement le quatre 64
foit difpofé magiquement , mais encore chacun
de ceux de 16 ; 8c même que ces derniers , arrangés
comme l'on voudra , compofent tou]ours un
quarré magique.
La chofe eft facile , 8 c même / e ft le moyen
le plus (impie de tous | de conftmire les quartes"
pairement pairs, comme on va le voir.
Pour conftruire de cette manière le quarré 64*
prenez les 8 premiers nombres de la progreffion
naturelle vde. i à 6 4 , & les 8 derniers; arrangez-
les magiquement dansun quarré de lé cales , tai-
! tes-en autant des 8 termes qui fuivent les 8 pr«T
1 O o 0 0 0
Amufemens dis Sciences.