On démontre aujourd’h u i, par les principes
de la méchanique j
io. Qu’une corde de groffeur uniforme ,
reliant tendue par le même poids , 8c étant allongée
ou raccourcie , la viteffe des vibrations
qu’elle fera dans ces deux états , fera en raifon
inverfe des longueurs. Si donc on réduit cette
corde à la moitié de fa longueur, fes vibrations
auront une vitelfe double , & elle fera deux
vibrations pendant que l’autre en aura fait une :
réduifez-la aux deux .tiers 3 elle fera trois vibrations
quand la première en eût achevé deux.
Ainfî 3 toutes les fois que deux cordes feront
dans le même tems, l’une deux vibrations , l’autre
u n e , elles rendront des fons qui feront à l’octave
: ils feront à la quinte , lorfque trois vibrations
de l ’une s’achèveront en même-tems que
deux de l’autre, &c.
2°. La viteffe des vibrations que fait une corde
de longueur déterminée, & tendue de différens
poid s , eft comme la racine quarrée des poids
qui la tendent : ainfî des poids quadruples produiront
une viteffe double, 8c conféquemment,
dans le même tems, un nombre double de vibrations
j un poids noncuple produira des vibrations
triples en viteffe, ou un nombre triple dans le
meme temps.
3°. Si deux cordes différent à-îa-fols de longueur
& de mafïë , & font en outre tendues par
des poids différens, les viteffes des vibrations
u’elles feront,.feront comme tes racines quarrées
es poids tendans, divifés par les longueurs 8c
les maffes , ou les poids des cordes : ainfî, que
la corde A , tendue par un poids de 6 livres,
pèfe 6 grains, & ait un pied ae longueur, tandis
que la corde B , tendue par un poids de io 1 ., pèfe
5 grains , & à nn demi-pied de longueur } la vi-
reffe des vibrations de là première fera à celle
des vibrations de la féconde, comme la racine
quarrée de 6 X 6 X i * à celle de y X io X \ 3
c eft-à-dire , comme là racine quarrée de 36 ou 6,
à celle -de 25 ou à 5 : ainfî la première fera 6 vibrations,
quand' la fécondé en fera y.
De ces découvertes combinées, i l refaite que
Y acuité ou la gravité des- fons , eft uniquement
l ’effet de la plus ou moins grande fréquence des
vibrations de la corde qui les produit 5 c a r ,
puifque d’un côté on fçai-t jpar l’expérience,,
u’une corde raccourcie, 8c éprouvant le même
egré de tenfton , rend un ton plus élevé , &
que d’un autre on fçait 3 par l ’expérience &
parla théorie, qu’elle fait des vibrations d’autant
plus fréquentes qu’elle eft plus courte, il eft
évident que ce nfeft que cette plus grande fréquence
de vibrations qui peut produire l’effet de
hauffer le ton.
B réfulte auffr de-Ià, qu’ un nombre double de
vibrations, produit l’oêtave du ton que donné
le nombre fîmple 5 qu’un nombre triple produit
l ’oétave de la quinte j un nombre quadruple, la
* double oêtave j le nombre quintuple, la tierce
majeure au deffus de la double oêtave, 8cc : 8c
fi nous defcendons- à des rapports moins fîmples ,
trois vibrations contre deux, produiront l’accord
de quinte 5 quatre contre trois , celui de quarte,
&c.
On peut donc indifféremment exprimer les rapports
des tons, foit par les longueurs des cordés
également tendues qui les produifent, foit par le
rapport des nombres de vibrations que forment
ces cordes : ainfî, le fon principal étant défigné
par 1 , l’on exprime mathématiquement l’oétave
lupérieure par ^ ou par 2 , la quinte par f ou
par la tierce majeure par ^ ou | , 8cc. Dan«
le premier cas, ce font les longueurs refpeêlives
des cordes.} dans le fécond ± ce font les nombres
refpeêlifs de vibrations. Les réfultats feront les
mêmes „en s’aftreignant dans le calcul au même
fyftême de dénominations
Déterminer le nombre des vibrations que fait une
- corde de longueur & de grofleur données 3 & tendue
par un poids donné } ou bien j quel efl le
nombre de vibrations qui forme un ton afligné ?
On n’a confîdéré jufqu’ic i que les rapports des
nombres de vibrations que font les cordes qui
donnent les différens accords } mais un problème
plus curieux & bien plus difficile, eft celui de
trouver le nombre réel de vibrations que forme
une corde qui donne un certain ton déterminé 3
car il eft aifé de fentir que leur vîteffe ne permet
rien moins que de les compter : la géométrie ,
aidée jle la mécanique „ eft pourtant venue à bout
de cette détermination. Voici la règle.
« Divifez le poids qui tend la corde par ceftii
de la corde même» multipliez le quotient par la
longueur du pendille à fécondés , qui eft à Paris
de 3 pouces 8 lignes § ou de 440 lignes \ , 8c
divifez le produit par la longueur de la corde
depuis le point fixe jufqu’ au chevalet j: tirez la
racine quarrée de ce nouveau quotient ^ 8c mul-
tipliez-la par la raifon de la,- circonférence au
diamètre, ou par la fra&ion : le produit
fera le nombre de vibrations que fera cette corde
dans la durée d’une fécondé-
S a it, par exemple, une corde d’un pied &
d emi, 8c pefant 6 grains, tendue par un poids
de 3 livres ou 2764# grains} le quotient de 27(548
divïfé par 6 , eft 4608 : la longueur du pendule
à fécondés étant de 440 - , le produit de ce nombre
par 4608 eft 2029824, que vous diviferez par
21 <?, nombre de lignes que contient un pied &
demi 3 le quotient eft 9597 f > dont la racine:
quarrée ferà 96 | § | ce nombre, multiplié par
* u , dbnne 504 & ; c'efl le nombre des vibra- 1
lions que fait la corde ci-delïiis dansl‘ efpaced‘une
fécondé.
On peut voir dans les Mémoires de VAcadémie
des Sciences, année 1700 , une manière fort in-
génieufe, que M. Sauveur avoit imaginée pour
trouver ce nombre de vibrations. Il avoit remarqué
que , lorfque deux tuyaux d’orgue fort
b a s , & accordés à des tons fort voifins, jouent
enfemble , on entend une fuite de battemens ou
de ronflemens de fons. Réfléchifïant fur la caufe
de cet e ffet, il reconnut que ces battemens
roviennent de la rencontre périodique des vi-
rations coïncidentes des deux tuyaux } d’où il
conclut que fi , avec un pendule à fécondés,
on mefure le nombre de ces battemens pendant
une fécondé } qu’on connoiffe d’ailleurs , par la
nature de l ’accord des deux tuyaux , le rapport
des vibrations qu’ ils doivent faire pendant le même
temps, on pourra trouver le nombre réel de
vibrations qu’ils font l’un & l’autre.
Soient, par exemple, deux tuyaux accordes
exactement, l’un au mi bémol, & l’autre au m i }
on fait que l’intervalle de ces deux tons étant
lin demi-ton mineur , exprimé par le rapport de
24 à 25 , le tuyau le plus haut fera 25 vibrations
pendant que le plus grave en fera 24 3 en forte
qu’ à chaque vingt-cinquième vibration du premier
, ou vitlgt-quatrième du fécond, il y aura
un battement. Si donc on obferve dix battemens
dans une fécondé, on en devra conclure que 24
vibrations de l’ un & 25 de l’autre fe font dans
un dixième de fécondé, 8c conféquemment que
l’ un fait 240 & l’autre 250 vibrations dans l’ef-
pace d’une fécondé,
M. Sauveur à fait des expériences conféquentes
à cette idée , & dit avoir trouvé qu’un tuyau
d’orgue d’environ y pieds, ouvert, fait 100 vibrations
par fécondé 3 conféquemment un de 40
pieds , qui donne la triple oCtave en-deffous ,
& le plus bas fon perceptible à l’oreille, n’en
feroit que i i j ’ au contraire, le tuyau d’unpouce
moins ^ étant le plus court dont on puiffe dif-
tinguer le fon , le nombre de fes^ vibrations dans
u:ie fécondé fera de (3400. Les limites des vibrations
les plus lentes 8c les plus promptes, qui
faffent des fons appréciables à l’ore ille, font
donc , fiuvant M. Sauveur, 12 -f- & (3400.
Nous ne prolongerons pas davantage ces détails
: nous paffons *à un phénomène très^-curieux
des cordes mifes en vibration.
Qu’ôn ait une corde fixément attachée par fes
extrémités , 8c qu’ on place au-deftbus un chevalet
qui la divife en parties aliquotes, par exemple
trois d’ un côté 8c une de l’autre, qu’on mette
la plus grande , c’eft-à-dire les | en vibration ,
alors, fi le chevalet intercepte abfolument la
communication de Tune 8c de l’autre partie >
ces \ de la corde fonneront, comme tout le monde
fa it, la quarte de la corde entière : fi ce foac
les * , ce fera la tierce majeure.
Mais que cet arrêt empêche feulement la corde-
de vibrer dans fa totalité, fans intercepter la communication
du mouvement entre les deux parties
} alors la plus grande pe rend plus que le
même fon que rend la petite : les trois quarts de
la corde , q u i, dans le cas précédent, donnoient
la quarte de la toute, n’en donnent plus que
la double oélave , qui eft le fon propre au quart
de la corde. Il en eft de même fi on touche cè
quart} fes vibrations, en fe communiquant aux
trois autres quarts , les feront fonner, mais d&
manière à ne donner que cette double oétave.
On rend de ce phénomène une raifon que l’expérience
Tend fenfible. Lorfque l’arrêt intercepte
abfolument la communication desvibrations entre
les deux parties de la corde , la plus grande portion
fait fes vibrations dans fa totalité 5 & fi elle
eftJes trois quarts de la corde entière , elle fait ,
conformément à la règle générale, 4 vibrations
quand la corde entière en feroit 3 : ainfî le fort
eft à la quarte de celui de la corde totale.
Mais , dans le fécond cas, la grande partie de
la corde fe'j divife en autant de portions qu’elle
contient la plus petite } dans l’exemple propofé „
en trois } 8c chacune de ces portions, ainfî que
la quatrième, font leurs vibrations à part : il s’établit
aux points de divifion , comme B 3 C , D ,
( fig. 3 , pi. 1 , amufemens d‘acouflique ) des points
fixes, entre lefquels les parties de la corde A B ,
B C , C D , D E , vibrent en formant des ventres
alternativement en fens contraire, comme fi ces
_ parties étoient uniques , 8c invariablement fixées
par leurs extrémités.
Cette explication eft un fait que M. Sauveur
a rendu fenfible aux yeux , en préfence de l’A-
. cadémie royale des Sciences. ( Di fl. de VAcad. ,
; année 1700. ) Onplaçoit fur les points C & D ,
1 de petits morceaux de papier pliés ; alors, en
mettant en vibration la petite partie de la corde
A B , les vibrations fe communiquant a la partie
reliante B E , on voyoit avec étonnement les petits
morceaux de papier , portés par les points
C & D , relier immobiles , tandis que ceux
pofés par-tout ailleurs étoient jettes à bas.
Si la partie A B de la corde „ au lieu d’être
précifément une partie aliquote du reliant BE ,
en é t o i t p a r exemple , les 3 alors, toute la
corde AE fe partageront en fept parties, dont
AB en contiendroit deux , & chacune de ces parties
vibreroit à part „ & ne rendroit que le fon
qui convient à ^ de la corde.
Si les parties AB , BE , étoient incommenfu-
rables , elles ne rendraient qu’un fon abfeiumeat
B 2