^ Voici en peu de mots-la manière de décrire
géométriquement dans le cercle les cinq polygo-^
nés primitifs qu’ on peut y infcrire avec la règle
& le compas. •
Soit le cercle ABDE , ( fig..2 , même pl. 6 . )
partagé en quatre parties égales par les deux diamètres
perpendiculaires AB , DE j foit partagé le
rayon CD en deux également en F , & foit tirée
OG parallèle à AB ; la ligne EG fera le côté du
triangle inferit , ainfî que GO & OE. •
La ligne EB fera, comme tout b monde fait, le
cote du quarré.
Si 1 on fait EH égale au rayon, on fçait aufli
que ce fera le côté de Thexagone.
_ Partagez en deux également au point I le rayon
CA^ 8 c tirèz E l5 faites IK égale à I C , & la corde
E L égalé au reliant'EK : ce fera le côté du décagone
; Sc en prenant l’arc LM égal à l'arc EL , on
aura EM pour le côté du pentagone.
Divifez enfin en deux.-également en N Parc
OM j qui eft la différence de Parc du pentagone
avec celui du triangle , 8 c tirez la droite ON j ce
fera le côté du pentédécagone-ou du polygone de
iy Côtes.
L eçtagone eft fufceptible d’une conftruélion
non-geometrique mais approximée, qui eft aflfez
heureufe , & qui mérite par cette raifon d’être
connue : la voici. Pour infcrire dans un cercle
donné un eptagone, décrivez d’abord un triangle
équilatéral, ou du moins déterminez-en un côté.*
la moitié de ce côté fera à très-peu de çhofe près
^ePtaSone infcriptible. On trouve en
effet., par le calcul, le côté du triangle, le rayon
étant 1 unité, égal à o , 86602, dont la moitié eft
de 0,43301, & le côté de Peptagone eft 0,433875
■ ce qui ne diffère de la moitié du côté du triangle
que de moins qu’ un 1000e. Toutes les fois donc
qu un millième du rayon du cercle donné fera
une quantité infenfible , la conftruélion ci-deffus
différera'infenfiblement de la vérité.
Il feroit a fouhaiter qu’on trouvât, pour tous
fês autres polygones, des conftrudions àufli fîm-
ples & aulfi approchantes de la vérité. Cela n’eft
pas impoffible.
Cônnoijfant le coté d’un polygone d’un nombre de
côtés donné, trouver le centre du cercté qui lui eft
circonfcriptible.
Ce problème eft en auelque forte l’ inverfe du
précédent, 86 eft facile a réfoudre pour les mêmes
polygones. yol
Nous paffons fous fîlence le triangle, le quarré
& l’hexagone , parce que les premiers élémens de
géométrie fuffifent pour favoir comment trouver
le centre d’ un triangle équilatétal, d’un quarre?
8 c que le côté de l'hexagone eft égal au rayon même
du cercle qui lui eft circonfcriptible;
Ainfî nous commencerons par le pentagone. Soit
donc A B , ( fig. 3 , même pl. 6 .) le cô té du pentagone
cherché. A l’ extrémité de A B é lev ez la perpendiculaire
A C , égale à i A B 5 puis tirez B C ,
dont vous ôte rez C £ = A C ; faites enfuite BF^:
B E i après c e la , du centre A au rayon A F , décr
ive z un arc de c e ce rc le , & du point B enBA,un
autre arc qui coupera le premier en G : h ligne
BG fera la pofîtion du fécond cô té du ■ pentagone
, & les deux perpendiculaires fur les milieux
de ces c ô t é s , donneront par leur interfe&ion la
pofîtion du centre h .
Pourl'oilogone. Soit A B , (fig. 4 , pl. 6 , ibïd.)
le cô té donné. D é c r iv e z fur ce tte ligne un demi-
c e r c le , & é le v e z le ra y o n 'C G perpendiculaire &
indéfiniment prolongé 5 tirez le cô té du quarré
BG , & faites C F égale à la moitié de BG 5 tirez
la perpendiculaire F E au diamètre 5 8 c par le point
E , où elle coupera le d em i-ce rc le , tirez A E ,
qui rencontrera C G prolongée en D : ce point D
fera le centre du cercle cherché.
Pour U décagone i. A B , (fig. 3 , pl. 6 , ibid. )
étant le cô té d o n n é , c h e r ch e z , comme fi vous
a v ie z à conftruire un pentagone , la ’ligne BF,
8 c , des points A & B avec le-rayon A F , décrivez
le triangle ifofeele AAB : le point h fera le centre
du décagone.
Pour le dodécagone & les polygones quelconques,
\ Soit la ligne A B , (fig. y , pl. 6 .) donnée pour le
cô té du polygone. A v e c un rayon quelconque
C D d é crivez un c e r c le , dans leque l,vous décrire
z le dodécagone ou le polygone demandé : fup-
poions que DE-en foit le c ô t é 5 prolongez DE en
F , ( fi A B excède D E ) enforte que D F foit égale
à A B , tire z G E 8 c fa parallèle FG : le, point où
ce tte dernière rencontrera le diamètre DH prolon
g é , fera évidemment le c e r c le , auquel le polygone
cherché eft infcriptible.
# Qu oiqu e nous ayons donné des méthodes particulières
pour le pentagone, l’ o&ogone & le décagone
, il eft fuffifamment clair que ce dernier
moyen leur eft également applicable.
Terminons ce t article des polygones par deux
tables utiles 5 l’ u n e , qui donne les côtés dés polyg
o n e s , l e rayon du cercle' étant ’d o n n é , Tautre,
qui préfente la longueur du ra y on ,-le'cô té même
au polygone étant connu. S o it donc le rayon du
ce rcle exprimé par 100000, le cô té du triangle-
in ferit fe ra , à une unité p rè s , d e . . . . . 1732057
celui du quarré ............. .... . .. . t . . . . . 141421,
/ du pentagone................ . . . . .. 117557»
de rh e x a g o n e ......... ... . |poooo,
de. Feptagone . . . . . . . . . . . ....’ 8 6 7 7 7 ,
■ de l’ o d o g o n e . . . . . . / . . . . 7 6 5 5 6 3
de l ’ennëagone. . . . . , 68404^
du décagone......... .... • •
de l’endecagone. . . . .
du dodécagone. . . . . .
du trédécagone........... . . . . . . . 47844,
du 14-gone..................
du quindécagone......... ............1 4
Au contraire , que le côté du polygone foit
100000 , le rayon du cercle fera-,
dans le cas du triangle. . v • ............ 5773J.
dans celui du quarré -----. . . . .70710,
du pentagone . . . . - ............ S jo é j,
dans le cas de l’hexagone. . . . . . . . . . ICOOQO,
de l’eptagone,. . . . . . . . . . im $ ÿ ,
de l’oétogone . . . . . . . . . . 1306J7,
de l ’ennéagone , . . . . . . . . I46196,
du décagone . . . . .■ ......... .. 1,61804,
dé l’endécagone .- *7747° .
du dodécagone. . .............. 193188,
du trédécagone.. .............. 2090Î2,
du 14-gqne^,-v>-,. • ............114704-
du quindécagone. ................ 240488.
Former les différens corps réguliers.
Il y a long-temps qu’on a démontré en géométrie
, qu’il ne peut y avoir que cinq corps terminés
par .desr figures régulières , toutes égales
entre elles, & formant enfemble des angles'égaux.
Ce font 5
Le tétraèdre, qui eft formé par quatre triangles
équilatéraux 5
* Le cube ou exaedre, formé de fix quarrés
égaux 5
L’o&aedre, formé de huit triangles équilatéraux
égaux 5
Le dodécaèdre , formé de douze pentagones
égaux 5
L’icofaedre enfin , qui eft formé de vingt triangles
équilatéraux.
On peut fe prendre de deux manières pour forcer
un de ces corps réguliers quelconques. La
première eft de former d’abord une fphere, 8 c
d’en retrancher les parties excédentes , enforte
que le reftant forme le corps régulier cherché :
1 autre, dont le procédé reffemble à celui qui eft
ufîté dans la coupe ■ des pierres 3 confifte à tracer
d abord, fur un plan fait au hafard, une des
laces du corps qu’ôn veut former 5 enfuite à
adapter fous aeslangles déterminés les faces adjacentes.
.
Pour réfoudre donc lë problème dont il s’ agit,
nous refoudrons d’abord les queftions fui-
vantes., •
2 • diamètre d’une fphère étant donné ,
trouver les côtés des faces de chacun des corps
ïegukers.
i ° . Trouver les diamètres des petits cercles de
cette fphère, où font infcriptibles les faces de
chacun de ces corps.
30. Déterminer l’ouverture de compas dont
chacun de ces cercles peuvent être décrits fur la
furface de la même fphère,
4 0. Déterminer les angles que font entr’elles
les faces contiguës dans leur commune interfec-
tion.,
1. Une fphere étant donnée , trouver les côtés des
faces de chacun des cinq corps réguliers.
Soit A B G , ( fig. 6 , pi. 6. Amufemeqs de Géométrie.
) la moitié du grand cercle de la fphère
donnée, & A C un de fes diamètres. Divifez-le
en trois parties égales, & que AI en foit les deux
tiers 5 que IE foit perpendiculaire à ce diamètre,
& coupe le cercle en E : la ligne AE fera le côté
d’ une des faces du tétraèdre, & l’on aura pour
celui du cube ou de î’exaedre la ligne EC., t.
Tirez enfuite par le centre F le rayon FB, perpendiculaire
à A C , qui coupe !e cercle en B, 8 c
menez la ligne AB 5 ce fera le côté de Toétaèdre
inferit dans la même fphère.
Le côté du dodécaèdre Te trouvera, en partageant
E C , celui de L’exaedre, en moyenne &
extrême raifon, & en prenant pour le côté du
dodécaèdre le grand fegment CK.
Enfin foit tirée à l’extrémité A du diamètre la
perpendiculaire A G , égale,à A C , & menez du
centré F la ligne F G , qui coupera le cercle en H 5
la ligne AH fera le côté de l’ icofaedre.
Le rayon de la fphère étant 10006, on trouve,
par le calcul, le côté du tétraèdre égal à 16329;
celui de l’exaedre ou du cube, égal à 11 y46 ; celui
de l’oélaedre, 141425 du dodécaèdre, 771365 de
l’icofaedre ^ io y i4 .
2. Trouver le rayon du petit cercle de la fphere ,
auquel la face du corps régulier propofé eft in f
criptible.
On a déjà enfeigné la manière de trouver le
rayon du cercle circonfcriptible au triangle, au
quarré 8 c au pentagone, qui font les feules faces
des corps réguliers : ainfî le problème eft réfolu
par-là.
Pour les exprimer en nombres , on fait que le
çôté du triangle équilatéral étant 10000, le rayon
du cercle circonfcriptible eft y773 ainfî le côté
du.tétraèdre étant 16329, il n’y aura qu’à faire
comme 10600 eft à 3773 , ainfî 16329 à une qua*
trième proportionnelle, qui fera 9426.
On trouvera df même, que le rayon du petit
■ B b b b z