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moins, pour en juger avec équité, avoir égard à
quelques confidérations'particulières'. Il eft certain
que fi toute la lotérie étoit pleine à chaque tirage,
le gain feroit sûr, & fi conhdërable, qu il mérite-
rcit l'animadverfion du gouvernement ; car il y
auroit de gain , toute diftribution des lots fa ite ,
plus de la moitié de la mife des joueurs. Mais il
s'en faut bien qu'il en foit ainfi, & même il feroit
impraticable d'attendre que cette loterie fût pleine
pour la tirer. On la tire donc à'des époques fixes ,
telle qu'elle fe trouve. Or il peut arriver qu on ait
mis confidérablement fur un terne , ou même- fur
piufieürs. tandis qu'à peine on aura mis fur les
autres. Si donc ces premiers vendent à fortir , la •
fomme à payer feroit immenfe. Car fuppofons Un
feul terne chargé de iyo livres quiêft là fomme à
laquelle on a fixé en France la mife fur ce hafard,
& que ce terne forte , il en coûteroit à la lotérie
780000 livres ; & comme il en fort dix à chaque
extraélion ,' fi chacun étoit chargé d'une pareille
fomme, ilfaudroit pour payer les joueurscelle, de
7800000 livres?:- -’
On voit par-là q ue , quoique les entrepreneurs
de la loterie aient un grand avantage , cependant
ce jeu eft fort dangeréux pour eux : il ne fau t,
après dix ans de bonheur, qu’un revers malheureux
pour les ruiner, ou pour leur enlever, tout le gain
qu'ils aurpient fa it, & beaucoup a u - d e là & c ’eft
en compenfation de ce danger, qu il paroît équitable
de leur accorder un avantage. On n’entreprendra
pas de le déterminer, car-,cette détermination
eft impoffible 5 mais il eft aife de voir que
quoique, mathématiquement parlant, ce foit,1a ,
même chofe de jouer un million contre cent mille !
livres, que 1000 livres contre 100 livres, ce n'eft !
point la même chofè moralement parlant ; la .pettp
de la première fomme entraînant la ruine abfolue '■
de celui qui la fa it, & cette dernière .étant pour:
ainfi dire fans conféqueuce , du moins pour, ceux ;
qui jouiffent d’une fortune médiocre. O r . i l , eft:
certain que le public ne joue contre lesqntpeprg-,
neurs de la loterie dont il s'agit que des fommes
limitées, & ordinairement affez petites, au lieu
qu'ils jouent une fomme pour ainfi dire illimitée.
Au relie, ces hafards malheureux dont:noiis par--
Ions, quoique fort éloignés, ne le font.pas.tellement
qu'ils n'arrivent quelquefois : auffi p y a-t-il
en Italie aucune de ces loteries qui n'ait'été dé-
banquée,
P R O E L Ê M E ' V .
Pierre a un certain nombre de cartes, dont aucune,
n’eft répétée : i l les tire fucccjftvcment en appellent
, fuivant l'ordre des cartes , as., deux ,
trois, &c. jufqu'au roi qui eft la dernière ; & il.
parte qu’il arrivera %au .moins une fo is, qu en tirant,
une carte, i lia nommera. On .demande quille, eft
la probabilité qu’i l a en fa faveur ? .
On appelle ce je» le Jeu de Treize, parce qu’ on
A R I
12 joué• ordinairement ou avec un .livret de- treria
cartes y ou qu-après treize cartes paffées on recommence
par un ou as.
Il feroit trop long'd’entrer ici. dans le détail do
l'analyfe de ce jeu :: il nous fufhra, de dire que
M. de Montmort trouve que fi Pierre ne tient que
deux cartes, la probabilité qu'il a de gagner -eft i ;
que s'il y en a trois , elle eft § 5 que s''il y -.en a I
quatre, elle eft f ; enfin que s'il y en a treize, elle I
eft i f | j § f § j | : enfort© que, pour jouer ai jeu égal , I
Pierre doit parier mi-peu moins .de n contre 6 .
P r . o b L - ê m È V I.
Pierre & Paul jouent au piquet 4 P terre, efi premier I
en canes 6? n a point d’as } quelle probabilité y I
a-t-il qu’il''lui en rentrera m Un3' vtt'deux , ou I
- trois 3 ourles quatre ? j
-I On trouvé que le fort de. Pierre 3 pour avoir un I
as quelconque , eft . . ' • ' L ü > I
pour en .avoir ..deux . . > 0 *.î' s »
pour en avoir trois . . . - . > I
pour en avoir quatre . . . • . - - • oiÿ- I
D'où il fuit que la-probabilité qu'il en aura quel- I
qu'un dans les cinq cartes qu'il a à prendre , eft I
f l f : enforte..quiil.'.y.^; i parier p H R » 91 I
qu'il rentrera quelque as à Pierre.
Suppoforis aéluéllement que c’eft Paul qui eft I
dernier, en cartes ; on demande ce qu'il y a à pa- I
rier qu'il prendra au moins un as dans fes trois I
cartes/; 1, :
Le fort de Paul , pour prendre un as dans trois I
cartes", eft . . . . {V '-4. > I
pour en prendre deux , il eft . . | Hf| j I
pour en prendre-trois .......—. .....— .... I
par conféquent la probabilité qu'il en prendra ou I
un } ou deux, ou trois indéterminément, eft égale I
‘ùr’-M-: ainfi Paul peut parier but à but avec à van- I
tage qu'il lui en rentrera quelqu’un 5 car le jufte I
rapport des mifes feroit de 29 à 28.
P. R o, b L Ê M E V I I .
Aü jeu- - de Whisk , quelle probabilité y a-t-il que I
" Lés 'quatre hpwieurf ne fe trouveront pas entre I
deux'pafteners quelconques ?
M. ; de, Moivre , . dans fon traité intitulé The I
Doctrine o f Ckqhces:, montre qu'il y a bien près I
de 27 contre 2 à parier> que les-paretners dont l’un I
donne n'ont pas1 les quatre honneurs j
Qu'il y a à parier 23 environ contre 1 , que les I
deux autres parteners ne les ont pas >
: Qu'il yya 8 bien près contre 1 à parier qu'ils n« I
fe trouvent d'aucun côté s
Qu’on
a R 1
Ou’on peut parier fans défavantage 15 environ f
contre 7/que les partenets où eft la mainne'çomp-
teront pàs des honneurs-L
Qu’on peut mettre environ 20 contre 7^ que
les deux autres ne les compteront pas j
Enfin ^ qu’il y à 2; contre t6 à parier qué l’ un
des deux côtés comptera des honneurs^ ou qu’ils;
ne feront pas partagés également. ' V ‘ 1
P r p B L E M E - V I I I.
Sur le T eu des Sauvagès.
Le B. . . . de la Hontan rapporte 3 dans fes
Voyages en Canada que les Indiens jouent au:
jeu fuivant.
Ils ont 8 nôyaùx noirs d'un doté .; Blancs de;
l’autre : oh les jette en l'air : alors-3 s’iHè-trôuv'ej
que lés noirsSoient'impairs le joueur â^gaghé;
Lenjeù convenu 5 & suis fe trouvent ou tous noirs,
ou tous blancS > il gagne le double 5 mais s'ils fe
trouvent répartis en nombres pairs ^ il a perdu fa
•mifèi «’g:
M, ‘ de Montmort 'examine ce jeu 3 \8 è trouve
que celui qui jette lés hoÿaux a un avantage qui.
peut- être évalué 5 & quë 3 pour qùë l e jeu]
fut égal j il faudroit qu'il mît 22 quand (on adver- ï
faire met 21.
P r o b l è m e I X. -
; Sûr le. Jeu de Trictrac.
Le jeu de triélràc eft un de ceux où-l'èfprit de;.'
combinai fon s femanifefte davantage j '& 'o ù il eft]
plus utile de eonnoître 5 à chaque Coup qu' on va ;
jouer^ ce qu'on peut efpérer ou craindre des coups]
.de dés fui vans y foit des liens, foit de ceux de fon;
adver faire, i l faut jouer Les dames de telle manière,
que fi l’on;a en vue, par exemple., de fe mettre en;
•état;de remplir, ou de battre-le coin de fon ad-
:vèrfaire ou telles autres dames qui font expofées;'
il faut, disrije,’ jouer: de manière qu'on fe ménage;
le plus, grand nombre dé coups de dés-favorables.'
’ L’ efpérance enfin qu'on a à chaque coup qu'on va'
jouer, eft toujours fufceptible d’être apprécié^
mathématiquerneht. Parmi les.:exemples nombreux
qu'on eri-pourroit donner , on fe bornera à un'
petit nombre des plus;curieux & des.moins difti-;
‘CilfS> •; if»
«LJRierre & Paul jouent enfemble, au triétrac.1
jPieçre entreprend]de prendre fon grand,coin en
Ceux coups. Combien Paul peut-il parier■> contre j
C e problème eft un des plus faciles qu’on pùifle |
Smufemens des Sciences,
Â1 R I iji
propoiêr fur ce'jéù/ car‘il eft aué ;de remarquer
que l’on ne peut prendre foiï'gi'and coin en deux
coups qu’en amenant ou deux fois de fuite fonqez,
ou deux fois de .'fuite-jïx cinq, ou qüines la première
fois 8e fomiez la fécondé, ou enfin' 1 ^première
fols fonnèz, & la féconde quines* Or la probabilité
’ d'amehet deux fois de fuite fonnèz eft
y—6' j. celle d'amener deux fpis.de fuite ux cinq ou
■ ciuq -& fix, 'êft : car, comme on peut amener
'de deux façdûs ftx cinq àyeç deux dés, la prôb'aBi-
iitë dé râménèr au; premier coup eft ÿ &.confë-
qtiemrneiit Celle de l'amener deux fois .de fuite eft
j f 3 o u h jé " Pareiliement la probabilité d'amener
quines au premier coup &. fonnez.au fe*
' coud,- eft Y19S > & enfin, cèlle d’amener fonnèz ait
premier coup & quines âu fécond, eft encore
D'où il fuit 'qlie la fomme .de toutes cés fraélions
9U , éft M probabilité d’améner une de. ces
quatre combinaifons de coups, ou dé, prendre fou
grand coin en deux coups. Ainfi Piérre né doit
parier, pour, j.oüer au pair, que. 7 contre 1289,*
ou 1 contre 184 f i '
Il faut fuppofer ici que Pierre eft premier et
jouer , ce à quoi M. de Montmort ne paroît pas
avoir fait- attention ; car fi Paul'a voit pris lui-
mêrrte fon coin en deux coups y il eft évident que-
la combinaifdn de deux fois de fuite fonnèz feroit
; inutile , parce due Pierre ne fçauroit prendre fon
grand-coin par deux fois fonnèz , qu’autant-que
Pierre, ne l'aura pas déjà.
Suppofôns donc, pour réfoudre le problème
plus complettement, que Pierre eft fécond à jouer ;
il eft évident qu'il aura égàlementpour lui les ha-
fards ci-deffus, à l ’exception de celui de dèux fois
fonnèz., car ce dernier ne1 lui fervira qu'autant
que Ton adyerfaire n'aura pas déjà pris fon coin.
D'où il fuit que l'avantagé de’ ce hafard pour
Pierre^fera d'autant moindre, qu’il fera, plus probable
que fon adverfaire ait pris ion coin .en deux
coups. Si la probabilité que Paul y réuflîra é to it,
par exemple, f , f., il faudroit multiplier 75^6 >
valeur du hafard d’amener deux fois de fuite fon-
nez, par f ' A i n f i il faudra ici multiplier jz j s
par { y | | , qui eft la probabilité que Paul ne. prendra'pas
fort coin en deux coups, j le produit
TW9~6ï6 y qui eft uU peu moindre que yy1^ , exprime
pour lé fécond en jeu la valeur du hafard
d’amener deux fois fonnèz, pour prendre fon coin.
Ajoutant donc les trois autres hàfards, exprimés»
ar Ti f 6 3 ôn aura , pour l’évaluation de la proba-
ilité que le fécond prendra en deux coups Ton
j ç o in . . .^ g ce qui eft.un
peu moindre que - ■ • ?
«II. Aujeu'de triélrac, l'un des joueurs a fon jeu
difpoîe*dè^çtfe hiapière-: 4 dames fur la première
flèche dont elles partent, 3 fur la fécondé, 2 fur
la troifième, 3 fur la quatrième, i.fur la cinquième ,
& 1 fur la fïxième. Oh demande ce qu’il y a à parie?