grés j le triangle équilatéral , dont chaque angle
en contient 60 , & l'hexagone , dont chacun en.
contient. 120.
Faire u:i angle égal a un angle donné.
Soit Tangle ABC , ( fig. 7. PL 1. ) qu’il faut
imiter 5 à telle ouverture de compas que vous
voudrez , & du point B comme centre décrivez
l ’arc DE j décrivez avec la même ouverture , &
de l’extrémité F de la ligne FG Tare IL , prene
la diftance DE & la portez de I en L , tirez la
ligne H G , & Tangle HFG fera égal à Tangle
donné ABC.
Nota. Sur le papier il fuffit de fe fervir du rapporteur.
Les fuperficies des triangles qui ont même bafe &
même hauteur , font égales entr elles.
Soit le triangle A B C , ( fig. 8 , même pl. 1. ) ,
dont la bafe eft fuppofée AB 5 tirez par fon fom-
met la ligne DE parallele d AB 3 & des points D
& E pris à volonté fur cette parallèle, menez les
lignes DA & DB pour former le triangle ABD ,
& celles EA & EB pour former le triangle E AB :
Taire de chacun de ces triangles fera alors égal à
celui du triangle ABC.,
cc II fuit de ce problème j premièrement, qu’on
ne peut élever fur une même bafe un triangle quelconque
3 égal en fuperficie à un triangle donné ,.
fans lui donner une même hauteur 3 deuxièmement ,
qu’en partageant en deux parties égales un des côtés
d’ un triangle, & menant une ligne de ce point
de partage à Tangle oppofé à ce c ô té , cette ligne
partagera ce triangle en deux parties dont les fuperficies
feront égales entr’eljes. .»
La fuperficie de deux triangles faits fur une même bafe
efi proportionnée a leur hauteur réciproque.
Soit la bafe B C , (fig.$3 même-pl. z. ) fur laquelle
font formés lés deux triangles AB.Ç & D B C ,
çont la hauteur DE eft double de celle ÀE il
s’en fuit que la fuperficie du triangle DBC^eft
double de celle du triangle ABC 5 ce qui paroîtra
conforme au precedent problème, fi on confîdère
la ligne DE partagée en deux parties égales au
point A , comme étant la bafe des quatre mandes
D A B , S A C , AEB & A E C. '
f 11 fuit de ce problème que Taire de.s triangles
qui font de même hauteur eft en raifon réciproque
de la grandeur de leur bafe: »
Une ligne étant donnée , y confiruire un triangle
dont la fuperficie foit égale a celle d‘un triangle auffi
donné.
la ligne donnée A B , ( fig. 10 pl. î ) , A,r la-
■* ~ . " . ----- u u l u a u g i c UUUC 13 HI)
perncie foit femblable à celle du triangle DCE •
faites la ligne BC C fig. 11 .) femblable a celle DE
du triangle donné > & à la hauteur CF de ce
triangle menez au-defius de la ligne BC la parallèle
indéfinie DE 5 prenez avec le compas la
longueur de la ligne donnée A B , & la portez
de. B en A , en forte que fon extrémité A touche
cette parallèle 5 tirez,une ligne du point A au
point C , alors le triangle ABC fera égal enfuper-'
fine a celui DCE., & fon côté AB égal à la ligne
donnée ; ces deux triangles ayant, fuivant cette
conftruélion , une même bafe & une même hauteur.
Cî On peut conftruire de la même manière fut
une ligne donnée un triangle dont la. fuperficie
foit double ou moitié, & , d’un triangle donné,
il fuffira de mener un parallèle à la ligne DE à une
diftance doublé ou moitié plus petite que la hauteur
du triangle donné. »
Les triangles équiàngles ont leurs côtés fierhblabiés
réciproquement proportionnels.
Soient les deux triangles équiàngles ABC &
ADE | Çfy, I 2 j pi, 2.) dont les trois angles font
réciproquement égaux ; il fuit que fi la ligne AC
eft double de celle A E , la ligne BC fera auffi
double delà ligne D E , & celle AB double de la
ligne A , ce qu’il eft facile de conçevoir en menant
la ligne DF parallèle à A C , & en remarquant
qu’alors les deux triangles ADE & DBF,
ont leurs côtés réciproquement égaux entr’eux.
Mefurer une difiance acceffible feulement par fes extrê*
mités.
Soit AB (fig. 15 j pl. 1 . ) la largeur d’un étang
qu’on veut connoître & qui V e f t acceffible que
par fes extrémités A & B.5 plantez un piquet à
chacun des endroits A & B , & difpofez-en un
autre C à une diftance quelconque, de manière
que ces trois piquets C A & B fe trouvent dans
une même ligne droite CB 3 élevez au moyen
d un cordeau, & fur le point C la perpendiculaire
indéfinie Ç D , & fur le point A celle AE :
ayant pris enfuite.lè point E à diferétion fur cette
ligne A E , plantez-y un piquet, & cherchez fur.
celle CD un point où vous puiffiez placer un autre
piquet qui fe trouve en ligne droite avec ceux- E
& B 5 mefurez enfuite les diftances C A , DE , &
EB 3 & faites, cette analogie : '
Comme la longueur de la ligne DE , i
efi . a celle F. B ;
aihfi celle de la ligne C A ,
efi a celle de la ligne AB.
Le réfultat- donnera la longueur de la diftance
J.B qu*on veut connoître, les côtés des triangles
CBD & ABE étant réciproquement proportioned
comme il a.été expliqué au précédent problème.
Si la diftance AB qu’on veut connoître n’étoit
tccellible que par fon extrémité A , on mefurera
les deux diftances CD & AE , & on fouftraira
celle AE de celle CD pour avoir la longueur DF 3
on fera enfuite cette analogie.:
Comme la difiance DF
efi à celle C A ou FE ,
ainfi la difiance AE
- eft à la diftance inacceffible AB.
Le réfultat donnera de même la longueur de
la ligne AB.
Mefurer la hauteur d’une tour acceffible a fon pied.
I Soit AB , (fig . 1 4 , pl. 1. ) une tour, ou un
[ objet quelconque dont; on veut connoître la hau-
[ teur 5 conftruifez en bois ou en carton un petit
[ triangle ifocelë re&angle dont les côtés de & ec
I aient fept à huit pouces de longueur 3 tracez vers
[ un des côtés de ce triangle une ligne qui lui foit
[parallèle, & ajuftez vers fon extrémité E un fil de
Ifoie auquel foit fufpendu un petit plomb 5 prenez
Ice triangle & le tenant dans la main, enforte que
Ile fil de foie couvre exactement la ligne que vous
lavez tracée , avancez ou reculez devant cette
[tour jufqu’ àcé que regardant le long de la ligne d e
lia partie là plus élevée A fe trouve dans la même
; direction que cette même ligne 5 mefurez enfuite
lia diftance de d à B ,ajoutêz-y cinq pieds pour
[votre hauteur & la fomme fera la hauteur de cette
[même tour, conformément à ce qui a été expli-
qué ci-devant.
f Nota. On fuppofe ici que celui qui fait cette
lobfervation eft placé dans un endroit qui foit de :
pveau avec le pied delà tour, fans quoi ii faudroit j
Jencore ( fi on fe trouvoit plus haut ou plus bas )
len retrancher ou y ajouter la différence.
[ Mefurer une hauteur par le moyen de fon ombre.
P^ue qu’on veut connoître par le moyen de fon
■ ombre BC dont l’extrémité eft C : ajuftez perpendiculairement
un petit bâton DE fur une petite
K1 anche F 3 placée norifontalement, & faites cette
[analogie :
Les parallélogrammes de mime bafe & de mime hau.-
teur font égaux en fuperficie.
Soitleparallélogramme A B CD ,[ j% . 16. p l.i. j
& celui BCDE qui font de même hauteur & ont
pour pafe la ligne CD 5 il eft évident qu’ils ont
la même fuperficie, puifque les trois triangles
A B C , BCD & BED ont leurs côtés réciproquement
égaux, & que d’un autre côté h fuperficie
de chacun de ces parallélogrammes eft égalé, à
celle de ces deux triangles.
La fuperficie de tout parallélogramme de même bafe &
de même hauteur qu un triangle efi double de celle
du triangle. '
Sojt le parallélogramme ABCD ou celui E FGH,
Pl- ] tirez les deux diagonales BC 8C
• F G , vous partagerez par-là chacun d’eux^en deux
triangles qui ayant -tous les côtés réciproque-
ment égaux, feront auffi égaux en fuperficie :
donc faire d’un parallélogramme eft le double de'
celle du triangle qui a même bafe & même hauteur.
Nota. Cette propofition fert à démontrer le
problème, qui fuit.
La fuperficie d'un quatre confiait fur llhypoténufe
d'un triangle rellàngle efi- égale a celle de ceux
faits fur chacun des deux autres côtés de ce même
triangle.
Soit A B C , {.fig. 1 7 , pl. j . ) le triangle reélangfe
fur les cotes; duquel on a formé'les trois quàrrés
E A , F C , A I ; menez la ligne BL parallèle à AH
& tirez les lignes BH & CD : les angles DAB &
BAH étant droits font égaux, d’où il fuit que fr
on ajoute à chacun d’eux l’angle B A C , les angles
-DAC & BAH feront encore égaux ; mais le côté
AB eft égal au côté D A , & celui A C au côté '
AH i donc les triangles DAC & BAH font égaux
Sp comme fuivant le problème précédent , ces
triangles font moitié, l’un DA C du quarré E A ,
& l'autre ABH du parallélogramme A L , il s’en^
fuit tjue leurs doubles font égaux, & que par
cônféquetit la fuperficie du parallélogramme AL
eft égale a. celle du quarré E A , & comme on peur
démontrer de même que le parallélogramme C L
eft égal au quarré F C ; il eft évident que le quarré
fait fur le plus grand côté f l'hypoténufe ) eft égal
aux deux autres quarrés joints enfemble (;).
Deux quarrés étant donnés, les réduire en un feul.
! C™me l'ombre EG Lu bâton
\ V a fa hauteur DE ;
affila difiance CB de Vextrémité de éombre de
‘ olelifquebfàbafe
w a fa hauteur AB.
Soient ABCD & BEFG, (fig. 18,. pl. 1 . ) les
[i] La découverte de ce fameux problème eft due .il
Pithagoré, qui en rec'onnoiil'ance fit aux dieux uu fa.-
crificc de cent boeufs.