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du triangle propoféBEICB j & , 8t conMquein-
ment j le reliant de la figure en feriv aufti le tiers >
& les trois lignes EO 3 E I j E B , partant dû point
E , diviferont le triangle propofé en trois parties
4&alesf : , ... ; g&
Oh pourra, par la même méthode, le divifer
en 4 , y ', 6 , & c . parries-égales, par des lignes
partant temt-és d’un point donné-: ce point pour-
toit même être pris au dehors du triangle.
Deux points étant donnés j & une ligne droite qui ne
: paffe „point etj.tr trouver un, cercle qui touche
la ligne droite j & qui pujfe par les deux points
donnés, .
Soit la ligne donnée A B , ( fig. f. y pl: ) 8 c
les points donnes C & D . joignez ces deux points,
& , fur le milieu E de la ligne CD , élevez la perpendiculaire
E F , qui rencontre en F la droite
donnée, & abaiffez la . perpendiculaire EH fur
cette même ; ligne,5. rirez- F C , §ç décrivez du
point E an, rayon ËH un cerclé qui qoupe FC prolongée
en I ; menez IE , & par le point C fa parallèle
CK : le point K fera, le centre KC le
Btyon du cercle cherché.
C a r , fi du point K on abaifïe îa perpendiculaire
KL fur la ligne ÀB „ elle fera égale â K C , qui Left
elle-même à KD. En effet, PE eft à FK comme
EH elV à KL comme El: eft à KÇ; donc EH eft à KL
comme EJ eft a KC ; & conféquemment,El étant
égaleHi. E A y. KL le fera à.KC ’ donc , Szell
eft aifé de voir que fi la ligne donnée pafFoit
par un des points donnés-, le centre du cercle"
cherché feroit dans l’ interfe&ion K de la perpendiculaire
CK fur AB (fig- 6 ) 3 8 c de la perpendiculaire
EK fur la ligne C D , coupée, en deux également*
en È , '.
• On pourroit réfoudre. , dans le. premier cas , le
problème d’une autre maniéré j fayoir , en pro-
fongeant la ligné CD fig. 3 jùfqü’.à fa rencontre
en M , avec AB'j puis prenant une moyenne proportionnelle
entre MC & MD „ & lui- faifant ML
égale , enfin, par les points C , D ,L , traçant un
cercle , il réfoudioitle problème:. Maiscette fo-
lution feroit embarraifante lorfqueje point M fé
trouveroit fort éloigné ,.aü. lieu que cela, eft m-
différ.ent dans; la premier©.
Deux lignes AJB 3 CD , étanp dçunées~,3 ÔJ, up. point E,
entre-deux , tracer un cercle paffiant par ce point &
touchant ces dèuxrlignes
■ Siles deux« 1 fghçs concourent- enfèmbl©, comme1
en F y pli- y , tirez, la ligne FH , qui partage
en dëuxésalénient- l’angîe BFD > o u , fi -elles;
font par-iHèlês-;, celle- q u i, comme FH , eft- également,
éloignée de l ’une & de l ’autre yenfuite .tirez
dû point 7 } la perpendiculaire EGL à
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FH ; faites GL égale à GE : les points L & E fe;
ront tels que y traçant par tes deux points un cercle
qui touche- l’une des lignes données, il touchera
aufti l’autre : ce qui réduit le problème au
précédent.
Diverjes démonflrations de ta quarante -feptihne dit
premier livre d’Euclide , par dé /impies tràr&fpôfi,
tions de parties»
La beauté de cette propofitiort élémentaire, %
la difficulté que-trouvent fouvènt les commençans
à en comprendre la démon finition , a engagé quelques.
géomètres à-, en chercher de plus fimples- r
parmi lefquelles il y en a de fort ingénieufes 3 8s
qui font remarquables en ce que l’ on v o it , pref-
que du premier coupd’oeilj que le quarré de lïy -
poténufe'eft conipofé des mêmes parties que les
quarrés des deux côtés , à cela près quelles font
différemment arrangées. En voici quelques-unes.
1 .Soit le triangle reélangle ABC (fig. 8 , pl, 5),
fur les deu£ côtés duquel, Â C , CB ., foientconf
truitsles quarrés CG ,. CD ; fur la bafe AB foient
élevées les deux perpendiculaires. A I , BH, la première
terminée à la rencontre- dé- GF prolongée y
l’autre à celle dé E D ; & foit tirée la ligne 1H,
On démontre d’abord aifémentqué AI 8 c BH font
égales à A B , enfo-rte que AIFÏB eft le quarré de la
bafe AB. Car il çft aifé de voir que le triangle
BHD eft égal & femblabie au triangle.BAC ,- ainft
que-le triangle IGA au même triangle BAC ; en*
forte que BH & ÀJ: font chacune égales à AB.
On fait voir aufti facilement, cjhe le petit tria®»
gle KEH eft égal à IFO ; enfin, que le triangle
ÏKL eft égal à AOC~
. Or les..parties comp.ofan.tes dès deux quarrésfonf
le. quadrilatère CBHK., le triangle.BDH , 1e trian--
gle KHE » le quadrilatère GAOF y 8c le triangle
A CQ , qu’on, va, voir être les. mêmes, que celles
qui compofent le quarré ABHI ; car . le quadrilatère
CBHK eft commun : le triangle BHD eft égal
à B C A , 8 c peut être fubftitué-&.tranfpofé. a fa
place. "Concevez pareillement le triangle AÇQ
porté enIKL 5 il.reliera dans le quarré de l’hypo-
ténufe le vuide, IL A ,. & nouç aurons pour le
rémplir le quadrilatère FÔAG , avec le triangle
KEH : que ce triangle KEH. foit porté en OFI ,■
qui lui eft:égal, il complettera le triangle IAG *
qui eft égal &: femblabie à-IAL : d’ou il fuit que
le quarré de l’hypoténufe eft compofê desmêmes
parties; qui compofent les deux quarrés; des côtés«
[ On pourroit conféquemment découper ces par-
rie$: fur du carton j. & en compofer d’abord les
deux, quarrés, .puis un feift j.ce qui feroitune forte
de jeu de combinaifon. .
‘ z. La fécondé maniéré, qui eft- a peu de chofe
près-la même que la précédente, paroîtra peutf
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être sncôrè’plfiS1 clài-rë.. Soient les-deux qimiés^
£D., CF (fii' ' 9 ) i dc& deux côtés , à l ’entour de
J’angle droit du triangle- A C B : ayant prolongé
FAiufquà ce que. AIE égale C B , furie côté FH
formez le quarré FH D G , & fur l’hypoténufe
AB lequan-é.AE y il fera aifé de orouver qpë les
angles Ë , ^ fe ron t'd an s lés côtés, du premier , &
que AH , BD , E G , N F , feront égales, ainffqué
p a , b h ;,d ë , g n . -
• Oc l ’on" voit d’un coup- d'oeil quen tirant la.dîv-
gne Nlpatallèle à- FH y-îès deux quarrés CD y G F ,
font compofés des parties 1 , 2 , 3 , , 4^5 > & \e \
.quarré A E Feft-dés parties 1 , $ , 6 , 7 , 8 . Mais ;
les parties 1 & 5 font communes-, lès parties 6 - 8 z
■ 1 font vifiblèmeno égales'-: il refté.donc que les I
parties 4 & J foient égales à 7 & 8. Or cela eft j
encore-évident; ,’tar-fe- partis1^ eft égale à 9, ; & ■
la parrieS éft égalé'a 5- : conféquemment les- par- ;
ties 4-Hz 5 ou 4 St f Aont égales aux parties: y- & 8 I
ou 7 ik $ } puifque le reÔlanglè FI eft partagé en ;
deux également par'la diagonale :'donc les quarrés
des côtés font compofés des mêmes-par ries que
le quarré de. l’hypoténufe 5. &\,par conféquent,
il y à égalité de part $c d’autre^ ..
3.' En tretenant la même conftruélion, il eft clair
que le quarré FD eftfégal aux quarrés ; des deux
côtés A C , G B , du triangle rectangle A C B , plus
les deux reélangles égaux AB , CG . Or le quarré
AE de l'hypoténufe eft égal au même quarré
moins lesrqùatre trianglts égaux A BH , B £ D ,r
ËGN , NPA, q u i, pris enfemble, font égaux aux
deux, reâangles ci-deftus, ppifqiie chacun .de ces
triangles eft la moitié cfun des reélang'es. Lféxcès
du quarré,.FD fur les deux quarrés des côtés du
triangle reâangie " ACB , eft’ ‘ d'ohe lé même que
fut le quarré d e ,l’hypoténufe f donc ces quarrés
& celui de l’hypotéftufe font- égaux ; car des
quantités qu’une troifîèm© ex-cède également,
lbnt égales entt’elles. ■ -
Si 3 fur chacun des cotés- d3un-triangle- A B C , ( fig.
iq & 14 pl.y , Amufemens- de géométrie ) .
on décritun quarré j que, d’un des anglescomme
B 3 on ahaiffie une perpendiculaire B D , fur le côté
oppoféAC’, qu on tire étifuite les lignes BE , B F 3
de manière que les angles A E B , CFB , foient
égaux a. Vangle B ; enfin , que des points F & E
on tphie lesparallèles E l , FL 3. au.cqL.é- CGdu quarre
j on aura te quarré fur AB égal au rectangle A l ,
- & -le quarréfur B.C égal au^reStangle ,CL : par conféquentla
fidmme-des quarrés fur,A B & BC fera
égalé au qudrré delà bafe 3 moins le refit angle EL
fi l'angle B eft obtus , & plus ce même refit angle f i
l angle B eft'a igji*
DémonftratioiVr* y \
Le triangle AEB eft femblabie au triangle ABC',
ïuifque;!angle A eftcommun , & que-l’angle AE
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B5 eft-égalà l’angle A B C : conféquefriment on a
cette. proportion entre les côtés homologues ;
AG : AB : AB r AE ; d’où il fuit que le re&angle
de A C x A E , ou de A E x A H qui eft le même ,
puifque AH— A C , eft égal au quarré de AE.
7 On prouve, de même que le quarré de BC eft
égal'au rèdangle CL.
Maisil efttaifé de voir que fi l’angle B eft obtuSy
la ligne BE-tombe entre'les points A 8e D , 8 c la
ligne BF-entre Q 8 c D ; que c’ett le contraire s’ il
eft aigu , & que ces deux’ lignes fe confondent
avec la perpendiculaire BD , lorfque l’angle B eft
droit;
Donc, dans le prémier cas , il ëft'évident que
la..fournie dés quarrés des côtés eft moindre due
le quarré de la bafev,'fav,oir de la quantité du rectangle
.EL j
Que , dans le fetond>, p l le- furpaffent de la
quantité du reétangle EL j
Enfin q u e , dans' le cas du triangle rectangle en
C , le reélangle EL devenant'nul, la fomme des
quarrés des- côtés eft égale à- celui de la bafe : ce
qui eft une gêiiéralifation trèsringénieufe du fa^
meux théorème de Pythagore.
Soit un angle quelconque ABC (fig. 11 , pl, ƒ) 4 &
fur le côté AC fdit décrit le pàrahléiogrdmme quelconque
CE 3 & fur le' côte AD le parallélogramme
au/fiquelconque B F y que lés côtés D E 3 K F 3 foient
"préLongés jù fjd à ieur-con'èqfirs■ en H 3 duquel point
foit tirée'la ligne HAL - , & prife LM égale■ d FIA j
qü-‘ôn> finiffie enfin le pnr'dll'élogramme CO 3 fur la
bafe BC &dqns F angle- CLM : ce pdf allélogra-mmt'
fera égal aux deux CE , B F.
Prolongez N C & OB jufqu’a leur rencontre en
R & P ,, avec les côtés KF & DE dès parallèle»?
grammes décrits fur les côtés , & tirez PR.
Cela fa i t , puifque CR & HA font parallèles &
comprifes entre'mêmes parallèles , fav-oir C'A
DH ,. elles'font‘égales: conféquemment CR eft
égalé à: LM : de mérite on prouvera que BP- eft'
! égale, à LM : donc CR & CP font égales , & la
figure GPiPB eft un parallélogramme égal à BN. -
| Maintenant il eû évident que le: parallélogram*'
| me RL ,fu r îa bafe R G , eft égal au parallélogramme
R C A H , comme étant fur même bafe &
entre- mêmes, parallèles;: de mêipe le parallélogramme
A CD E— A C R H , comme étant fur même-
bafe entre mêmes parallèles: donc le parallélogramme
A CD E— RCLG.
- On prouvera de même que lé parallélogramme
BKFAmPGLB- corifequemmént les deux parallélogrammes
CE , BF, font égaux enfemble à BPR
C - , ou foh égalCNOB».