13® A R I
■ vous aurez pour triangle cherché 3 , 1 2 , 13 ,
où la propriété demandée fe vérifie encore.
C e s d e u x t r ia n g le s fo n t le s feu ls , en n om b re s
e n t ie r s , fu f c e p t ib ïe s d e c e t t e p r o p r ié té j mais on
je n t ro u v e r a un e in f in ité d 'a u t r e s e n c om b r e s rom p
u s , pa r l e m o y e n de s q u a r té s 9 , 16 , & c ;
te ls fo n t c e u x - c i : \° | | f f o u
e n m o in d r e s te rm e s 3 , - 1 - , ’
S i v o u s v o u l e z q u e l'a ir e du t r ia n g le c h e r c h é
f o i t fe u lem e n t e n ra ifo n d o n n é e a v e c l e c o n t o u r ,
p a r e x em p le , l e s —3 prenè^ pour nombres générateurs
un "quarre , & ce même quarté augmenté de
v former, comme 'ci-dejfus , par leur moyen 3 un
triangle retiarigle : c e t r ia n g le jouir-a d e la p ro p
r ié t é d em an d é e .. T e l s fo n t , e n n om b r e s e n t
i e r s , le s d e u x t r ian g le s 8 , 1 5 , 1 7 & . 7 , *24,
2.3 y 8c u n e in f in i té d 'a u tr e s en fra c t io n s .
Quelques P roulé mes curieux fu r les nombres
quarrés & cubes*
P B O B L E M E I .
JJn nombre quarré étant donné, le divifer en deux
autres, quarrés
O n t ro u v e r a , d e la m an iè re fu iv a n te , u n e in f
in ité d e fo lu tio n s d e c e p ro b lèm e . S o i t , par
e x em p l e , l e q u a r r é 1 6 , d o n t la ra c in e ê f t 4 ,
à d iv i fe r e n d e u x au tre s n om b r e s q u a r ré s , qu i
n e p e u v e n t ê t r e q u e d e s t ra & io n s , com m e i l
é f t a i lé d e v o i r . .
P r e n e z .deux n om b r e s q u e lc o n q u e s , com m e 3
& 2 j m u lt ip lie z - le s e n f em b le j par le u r p ro d
u i t , m u lt ip lie z e n c o r e l e d o u b le d e la ra c in e
4 d u qu a r re p ro p o fé : c e p r o d u i t , q u i fe r a ic i
4 8 , fe ra l e d é n om in a te u r a u n e f r a c t io n , d o n t l e
n um é ra teu r fe t ro u v e r a e n pren an t la fom m e 13
d e s q ua rrés des n om b r e s c i-d e ffu s : c e t t e f r a c t
io n fe ra le c ô t é d u p r em ie r qu a r ré c h e r c h é ,
q u i fe ra c o n féq u em m e n t
P o u r a v o ir l e fé co n d ^ on m u lt ip lie ra l e q u a r r é
d o n n é p a r le d én om in a teu r c i -d e f î iis , 169$ & , du
p ro d u it q u i eft 2 7 0 4 , o n ô te r a l e n um é ra teu r
2 30 4 : le r e f te ( q u i fera to u jo u r s un q u a r ré ) fe ra
4 0 0 , d o n t la r a c in e 20 é ta n t p r ife p o u r numér
a t e u r , 8c 13 p o u r d én om in a teu r , d o n n e ra la
f r a & io n | | p o u r l é c ô t é d u fé c o n d q u a r r é .
A in f i , le s d e u x c ô t é s d e s -quarrés ch e r c h é s f e r
o n t fl-, & | f , d o n t le s q u a r ré s & f f | , f o n t
e f fe c t iv em e n t en fem b le J e -nombre .quarré 1 6. j
S i o n e u t pris p o u r n om b re s p r im itifs 2 8c 1 ,
o n a u ro it e u le s ra c in e s }f- 8c -b-, d o n t le s q ua rrés
fo n t 8c c e q u i f a i t o u 1 6 .
Les nombres 4 & 3 auroient donné les racines
| f & | f , dont les quarrés -y6- ^ , 8c H f font
encore p ou. x6.
Ainfi, l'on voit qu'en variant ces fuppôfitions
des deux premiers nombres arbitraires, on variera
auffi à l'infini fes folutions.
Mais peut-on également divifer un cube donné
en deux autres cubes ? Nous répondrons, fur la
parole d’un grand analyfte, favoir M. de Fermât,
que cela n'eft pas poffible. I l ne l'eft pas non plus
de.divifer aucune puiflance au-deffus du quarré,
en deux parties qui foient des puifiances de même
efpècej par exemple, un quarré-quarré, èn deux
quarrés-quarrés.
P R* 0 B L E M E I i f
Divifer un nombre qui ejl la fomme de deux quarrês3
en deux autres quarrés.
Soit propofé le nombre 13 , qui eft compofé
des deux quarrés 9 8e 4 : on demande de le'divifer
en deux autres quarrés. .
Prenez deux nombres quelconques, par exemple
, 4 8c 3 , multipliez par le premier. 4, le double
6 de la racine 3 d'un des quarrés ci-deffus,
8c par le fécond 3 , le double de la racine 2 de
l'autie quarré ,.lès produits feront 24 8c 12. O’tez-
les l'un de l'autre , la différence 12 fera le numérateur
d’une fraCtion , dont le dénominateur
fera 15 , la fomme des 'quarrés des nombres choi-
fis. Cette fra&'ion fera donc :,.multipliez-la par
chacun 'des nombres pris à volonté * vous aurez
d'un côté f | , & de l’autre | f . Le plus grand de
ces nombres étant ôté de la racine du plus
grand quarré contenu en 13 , favoir 3 , le
reftant fera f-f ; 8c l'autre étant ajouté au- côté
du plus petit quarré 2 , donnera Les deux
fraCtions f f 8c , feront les côtés des deux
quarrés’ Cherchés f f | & 1|§§f’, qui enfemble font
13 , comme il eft aifé de s'en affurer.
D’autres fuppofitions de nombres auraient
donné d'autres quarrés ■> mais nous laiffons au
leCteur le plaifir de s'exercer en les cherchant.
Pour qu'un • nombre foit divifible d*une infinité
de manières en deux quarrés, il faut qu'il
foit ou quarré, ou compofé de deux quarrés:
tels font, par ordre, les nombres 1 , 2 , 4 , y ,
8 , 9 , iq , 1 3 , 16 , 17 , 2 5 ,2 6 , 293,32, 34,
36, 37, 8cc. Nous ne connoiffons pas., ni ne
croyons poffible de trouver le. moyen de divifer
en deux quarrés, un nombre qui n’eftpas quarré,
ou la fomme de deux quarrés ; 8c nous croyons
qu'on peut avancer comme une, règle que tout
nombre entier, qui n'eft pas quarré ou compofé
de deux quarrés en nombres entiers, ne fçatsrok |
être diviiê d’aucune manière en deux quarrés.
C'elt ce dont il- feroit curieux de trouver une
démonftration.
Mais tout nombre eft divifible d’une infinité
de manières, au moins en quatre quarrés, car
il n'en eft point qui ne foit ou quarré , ou h
fomme de deux , ou-trois, ou quatre quarrés.
Bachet de Méziriac avoit avancé cette propofi-
tion, de la vérité de laquelle il s'étoit allure autant
qu'on le peut faire , en effiiyant tous les
nombres depuis 1 jufqii'à 323. M. de, Fermât
ajoute qu'il peut démontrer t cette propriété générale
8 c cmrieufe des nombres, favoir, que
m Tout nombre eft ou triangulaire, ou eom-
p-ofé de deux ou trois nombres triangulaires ffl
» Tout nombre eft ou quarré , ou compofé
de deux, ou trois, ou quatre nombres quarrés *>.
Tout nombre eft ou pentagone, ou compofé
de deux, ou trois, ou quatre, ou cinq pentagones}
8 c ainfi de fuite; *CLa
démonftration de cette propriété des nombres,
fi elfe eft réelle, feroit vraiment curieufe.
P R O B L E M E I I I .
Trouver quatre cubes , dont deux, pris enfemble,
foient égaux a la fomme des deux autres.
On les trouvera par la méthode fuivante, qui
eft fort fimple. Prenez deux nombres, tels que
fe double- du cube du plus petit furpaffe le cube
du plus grand} enfuite, du double du plus grand
cube , ôtez le moindre } 8c multipliez ce reftant
auffi-bien que la fomme des cubes, par le
moindre des nombres choifis : fes deux^ produits
feront fes côtés des deux premiers cubes cherchés-.,
Pareillement ôtez fe plus grand des cubes des
nombres choifts du double du moindre y 8 c que
le reftant , ainfi que la fomme des mêmes cu-
be»4 foit multiplié par le plus ’grand des nombres
choms^ : les deux nouveaux produits feront
les deux cotés des deux autres cubes.
Par exemple | qu’on prenne les nombres 4 &
5 , qui ont la condition requife ci-deiTus , on
trouvera pour les Côtes des deux premiers cubes,
744, 730 ,• 8 c pour les deux autres , 943
& MT q u i, étant divifés par 3 , donnent, pour
les deux premiers, 248, 232 3 & pour fes deux
derniers, 3 13 , 3.
Si vous prenez 3 8c 6 , vous aurez 13 -4 8c
1703 pour les- côtés des- deux premiers cub e s ,
îx 2046, 204 pour fes côtés des féconds.
Un nombre compofé cfe deux cubes étant
donné , il eft poffible de trouver deux autres-
cubes, dont la fomme foit égale à celle des deux
premiers. - Vîetefavoit penfé le- contraire ; mais'
M. de Fermât indique le moyen d'y parvenir,
dans fes observations fut les queftions arithmétiques
de Diophante, commentées par M. Bachet
de Méziriac. Il eft vrai que le calcul conduit à
des nombres extrêmement- compliqués , te capables
d'effrayer l'arithméticien le plus intrépide
: on en jugera par l'exemple fuivant. C ’eft
celui ou il eft queftion de divifer la fomme des
deux cubes 8 oc 1 , en deux autres. En fuivant
la méthode indiquée par M. de Fermât, le
P. de- Bill y a trouvé que les côtés des deux
nouveaux cubes étoient les nombres fuivants,
1243617773 3 99005783 6481
60962 5 8 3 3 66 f 3 7297449
& 48726717171433,2336360
609623 8 33 6613 7297449
Il en faut croire le P. de Billy 5 car je ne.fçais
fi jamais il fe trouvera quelqu'un qui ofê examiner
s'il s'eft trompé.
Mais on p eut, fans beaucoup de peine , ré-
foudre cette autre queftion analogue aux précédentes
: trouver trois cubes qui , pris enfemble , foient
égaux h ' uti quatrième. D'après la méthode indï-
quéë dans le livre ci-deffus, on trouvera que les
moindres nombres entiers qui réfol vent la queftion
, font 3 , 4 & 3 ; car leurs cubes ajoutés eiv-
femble font 216, qui eft le cube de 6. 1
.Nous nous femmes bornés à quelques-unes des
queftions dé cette efpèce, qu'on peut multiplier
a l'infini. F.lfes' ont un genre particulier de difficulté
qui les rend ihtéreffantes: Aulû divers ana-
lyftes s'en font fort occupés : tels,-font, parmi
les anciens, Diophante d'Alexandrie, qui avoi.t
écrit treize livres de q>"efriôns arithmétiques, dont
les jfix premiers feulement nous font parvenus ’,
avec un autre fur les nombres polygones. M.
Viete s'exerça- fur ce genre de queftions,, ainfi'
que M. Bachet de Méziri'fe, qùi a.commenté
| ôuvtaèe'dé l'arithméticien Grec. Le. ' çélèbg©
M. de rermat porta plus lôiiïqüê petfeiine avant
lui cette efp’çqe ci'an'aiyfe. îS fr * dè B'illÿ dop.na,
vers le'rffêhfe ' temÿ, des’ preuves de Ta fubtilité
en.ce genre,- par fe» ©u-vraoe intitulé- dhopkantus
redivivus, où , il îaiffoit bien loin derrière lui
fanaîyfte ancien Enfin , M, Çzanam àv’pit donné
des preuves Tune tres-graynde-fo^ce en ep genre,
t^aria fefption de quelques queftions qu’on avoit
j jttgpes inlîÔrubfes-. il avoit écrit fur cette matière 5
- maisfew otFvuagâ^-refté manufefôt, $* eft tombé,
I après fa-mor-t , entré- fes1 m'sins de feu' M. DA-
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