Pour en avoir la foüdité , il faut multiplier
une de leurs furfaces par le tiers de la hauteur des
pyramides , dont on a fuppofé ci-deffus qu'ils
etoient formés-} & multiplier de nouveau ce produit
par le nombre de leurs côtés.
Nota. Si on veut exécuter en bois ces fortes
de corps réguliers, de manière qu'ils foient com-
pofés de l'affemblage de leurs pyramides , il faut ,
en les taillant , leur donner pour hauteur la moitié
dfe l'épaiffeur de ces corps prife du centre d'une
de fes furfaces au centre de celle qui lui eft
diamétralement oppofée 3 ce qui demande beaucoup
d'exa&itude & de précifion.
Trouver la fuperficie d'une fphère dont on connoit
le diamètre.
•La fuperficie d'une fphère de fixponces étant
égale à celle de-quatre cercles qui auroient ce
même diamètre & le rapport du cercle au quarré
qui y eft circonfcrit étant comme 11 eft à 14 , on
la trouvera en faifant cette analogie :
Comme la furface 14 d'un quarré
efi a la furface I I du cercle qui y eft infcrit y ~
ainfi 144 pouces quarrés 3 montant de la furface
des quatre cercles.
eft à III | qu'en contient en fuperficie la fphère
fuppofée de 6 pouces de diamètre.
Pour trouver la foüdité d'une fphère , on peut
la concevoir comme étant compofée d'une infinité
de petites pyramides dont les bafes étant
hexagones couvrent toute fa furface 3 & dont
tous les fommets fe joignent à fon centre j d'ou
il fuit qu'en multipüant la fuperficie d'une fphère
par le tiers de la longueur de fon rayon 3 on aura
fa foüdité.
La furface d'une fphère eft égale a la fuperficie convexe
du cylindre qui lui eft circonfcrit.
On a vu précédemment que la furface d'un
cercle eft égale à celle d'un triangle qui a pour
bafe la circonférence de ce cercle , & pour hauteur
fon rayon 5 qu'un parallélogramme de même
bafe & de même hauteur qu'un-triangle , lui eft
double en fuperficie ; il fuit de là que le_ parallélogramme
formé par le développement-de ,1a
furface convexe d'un cylindre circonfcrit autour
d'une fphère étant égal à quatre de ces triangles
3 eft égal auffi à la fuperficie de , cette
fphère.
Déterminer quelle eft lafôlidité a*un cyàndre.
Soit un cylindre qui ait 6 pouces de diamètre
pour bafe & 8 pôUêè's de'hauteur 3 oh conhoîtrà
en cette forte fa foüdité. Multipliez, par lui-même
fon diamètre qui donnera $6 pouces quarrés pour
la furface du qcarré dans lequel fa bafe peut être
infcrite 5 multipliez.de nouveau cette bafe 36 par
la hauteur 8 du cylindre, le produit 288 pouces
cubiques fera celui de la foüdité d'un prifme,
dont la bafe quarrée auroit pour côtés 6 pouces,
& pour hauteur 8 pouces > faites enfuite cette
analogie :
Comme 14 , furface d'un quarré-quelconque 3
eft a 11 3 furface du cercle qui y eft infcrit ;
ainfi 288 pouces cubes 3 fôlidité du prifme ,
efi a 116 f , fôlidité du cylindre fuppofé.
Nota. -On entend par. fôlidité la grandeur de
l'efpace contenue dans les corps, fans avoir égard
en aucune façon à la différence de pefanteur qui
fe trouve entre ceux qui font de différente nature.
Déterminer la fôlidité d un cône , dont on connoit la
bafe & la hauteur.
La fôlidité d'un cône eft à un cyündre de même
bafe & de même hauteur , comme 1 eft à $'5 d'où
il fuit qu'ayant reconnu cette bafe , il faut la multiplier
par le tiers de la hauteur du cône 5 foit
donc fa bafe de 1 9 pouces cubes, & fa hauteur
18 polices, multipüant 12 par 6 , on aura 72 pouces
cubes pour fa fôlidité.
Nota. La même règle ci-deffus fert pour con-
noître le rapport de la foüdité d une pyramide
à un prifme de même bafe & de même.hauteur.
Transformer la fôlidité d'un cylindre donne 3 en celle
d'un cône dont la hauteur eft déterminée.
Soit ÀBCD , ( fig. 7 , pi. 3-) le cyündre donné,
qu'on veut transformer en un cône, dont la hauteur
déterminée eft la ligne AB {fig. 8. ) tirez à
fon extrémité B la perpendiculaire BC , égalé au
rayon du cercle qui fert de bafe au cylindre AB
CD } prenez fur la ligne AB {fig- 8. ) le point D
diftant de celui B du triple de la hauteur du cylindre
donné 5 mefurez les lignes B À , BD ic BC, &
faites cette analogie :
Comme la ligne B A , hauteur déterminée du cône
eft a celle B C , rayon du cercle qui fert de bafe ait
cylindre donné y- ;
ainfi la ligne BD , triple- de la hauteur, du cylindre
donné . :■ • ■
, eft a la ligne B E , rayon du cercle, qui, doit former
la bafe du cône que l ’on cherché. -, .
Changer la fôlidité d'ün cône donné en celle d un
cylindre , - dont le diamètre de la- bafe eft déterminé.
Soit A B C , {fig. p , pl. 3. ), Je cône dont on veut
G Ê Ô
changer la fblidité en celle du cyündre ABCD ,
(fig- I0, ) dont Ie diamètre de la bafe donnée eft
C B ; prolongez le rayon du cercle qui forme la
bafe du cône jufqu'en E , en faifânt DE triple
de DC , rayon du cyündre} divifez la hauteur du
cône AD en trois parties égales, & prenez une
de ces parties pour former la hauteur FE du
cylindre propofe.
La foüdité des cônes qui ont une même bafe
étant en raifon de leur hauteur, Sc réciproquement
ceux de même hauteur ayant une foüdité
proportionnée à leur bafe , fert de principe aux,
deux précédens problèmes.
Déterminer la fôlidité d'une fphère donnée.
La foüdité d'une fphère étant à celle du cube
fie fon diamètre, comme 11 eft à 2 j ( 1 ) , il faut
faire cette analogie :
Comme 21 , cube du diamètre d'une fphère quelconque
3
efi a 11 3 fôlidité d'une fphère de même diamètre 3
ainfi 144, cube du diamètre 12 de la fphère donnée 3
eft a 75 , fôlidité de cette même fphère. |
Tous les problèmes dont on a donné ci-deffus
la folution, font d'un ufage fi fenfible dans une
infinité d'opérations journalières, foit pour parvenir
à connoître les différentes dimenfions des
corps, foit pour les. transformer en d'autres de
même furface ou foüdité , qu'on a cru qu'il n’é-
toit pas néceffaire de les indiquer i c i , chacun
pouvant facilement en faire l'application, fuivant
les circonftances où il jugera qu'ils doivent être
employés.
R É C R É A T IO N S G É O M É T R IQ U E S .
Cinq quarrés égaux étant donnés , en former un feul
quarré•
Soient cinq quarrés égaux à celui A B CD ,
11 j pl. 3. ) dont on fe propofe de faire un feul
& même quarré ; partagez le côté A C de ce
quarré en deux parties égales, & tirez la ligne
BE, ce qui donnera le triangle ABE & le tra-
pefe E B D C . Si on difpofe ce trapèle & ce
triangle, enforte qu'on en forme le triangle ABC
{fig. 11.) fon hypoténufe ÀB'fera le côté d'un
quarré égal aux cinq quarrés qui ont été donnes,
cé qu’on fera voir fenfîblemênt en affem-
blant ces dix pièces comme le défigne là fig. 1-3.
RUe Par approximation j la foüdité, ainfi que-la circon-
^»ence d’une fphère., étant géométriquement incom-
menfurableavec fon diamètre.
G Ê O SWt
Pour s'amufer avec ces quarrés, il faut donner
ces dix triangles & trapèfes (2) à une përfonne,
en lui propofant de les arranger de manière à en
former un feul quarré, (fig. 13.) ce qui eft affez
difficile pour ceux qui ne favent pas l'ordre dans
lequel ils doivent être affemblés.
'- g a i c a 3 u u u iv jx c e n c o r e
le trapefe EBCD en deux parties égales par la
ligne ponétuée C F , {fig. n . ) parallèle à EB , .
on aura quinze pièces au lieu de d ix , & il fera
alors beaucoup plus difficile de les affembler pour
en former un feul quarré.
Or géométrique.
Tracez fur un carton le parallélogramme rectangle
ABCD , {fig. 14 3pl. 3 ) dont le côté A C
ait trois pouces de longueur,& celui A B dix pouces
; partagez ces mêmes côtés fuivant cette di-
vifion, & tirez les parallèles défignés fur cette
figure, lefquelles partageront ce reétangle en
trente quarrés égaux.
Conduifez du point A à celui D la diagonale
AD , & coupez ce carton en deux triangles égaux
AD C & DAB} coupez encore ces deux triangles
fuivant les lignes EF & G H , & vous aurez deux
triangles &deux trapèfes} lefqueis étant affemblés,
comme le défigne cette figure 1 4 , formeront trente.
quarrés : prenez les deux trapèfes, & joignez-
les ,- comme l'indique la figure iy 3 même planche
} affemblez de même les deux triangles
fyoye% fig. 18 ) , & vous pourrez compter fur ces
deux nouveaux parallélogrammes trente-deux
quarrés égaux en apparence aux trente quarrés
que contenoit la même furface.
Ayant partagé ce re&angle de carton, comme
il vient d'être d it , on peint dans chacun de ces
quarrés une pièce de mionnoie (3) , en déguifant
un peu celles qui font aux endroits F & H , alors
en affemblant ces quatre cartons, comme' le dé-
fignent les figures neuvième & dixième , on fait
voir que le nombre des pièces qui font peintes fur
ces cartons font au nombre de trente-deux.
Nota. Ce problème , quelque frefle qu'il foit
aux yeux du géomètre éclairé, eft une critique
affez ingénieufe de l’alchimie, & la fatyre la
mieux imaginée contre les fourbes qui fe difent
adeptes.
Confiruire un parallélogramme qu'on puijfe transformer
en deux triangles ou en un hexagone , & les
inferire dans un cercle donné.
Soit le cercle donné ABCDEF , (fig. 15 , pK
[2] On. fait, ces pièces avec du carton.
[3 ] Il faut effacer les diyifions après avoir peint ces
piècesn
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Z z z .2