IS H I
faute. Ceux à qui convient-véritablement cette
propriété^fcnt-matqués- d'une étoile. ,
4 k
28.
* ;4 9 é. ! la'co -a ; ' 1
■ *||8i>8. !
ji 308165 ,
Î2096Î28.
** 8589869056.
.* 137438691328.
2 199O 2 2 2O 6 9 76.
331843678945-28. J
5 629499361644096. ; ,
<>007199187632128. *
144115187807420416. •
* 23058430081399521-28.: £,
36893408143124135^936.
Ainfi Ton voit que^de 1 à 10 L il try a qu’ un
nombre 'parfait , un depuis 10-jùfqu à 100 ? un
depuis IOQ; jufqu’ài .1000, dm depuis idoO^juf-
qu à ioûoo: mais on fe tromperoit.fi on en con-
cluoit qu’ il y en a pareillement un depuis dix
mille iufqu’à cent mille , un depuis cenf’ rnilîe
jufqu’ a un million , & c . ; Tcar depuis dix. mille
jufqu’ à huit cents millions il ne s’en trouve plus
qu’un. La rareté des nombres parfaits , dit un auteur
, eft un fymbole de celle de la perfection.
Tous -les nombres parfaits font terminés par 6
©u 28 , mais non alternativement.
X I I. I
II y a des nombres qu’on nomme amiables en-
tr’eux, à caufe d’une propriété qui leur donne une
forte d’ affinité. Elle confute en'ce que lés parties
aliquotes de l’un font enfémble «gales à l’autre ,->&
que celles- de celui-ci forment à leur tour une
fomme égale au prèmier : tels font’ les nômbrek
220 & 284 j car le premier 220' 3 eft égal à là
fomme des parties aliquotes de 284, fçavoir, 1 3 i 3
4 , 7 1 , 142 ; & réciproquement 284 eft égal à la
fomme des parties aliquotes 1 , i 3 4 , y 3 103 n ,
10 3 2 2 , 44, 3 5 , n o au premier 220.
On trouvera des nombres amiables par la méthode
fuivante. E criv ez, comme on le voit ci-
après y les termes de la progreffion géométrique
double y en commençant par 2 ; triplez chacun de
ces termes , & .placez ces nombres triples chacun
fous celui dont il eft formé ; ces mêmes nombres
diminués de l’unité , 5 3 1 1 3 2 3 , Sec. Se placés
chacun au deffus de fon çorrefpondant de là progreffion
géométrique , formeront fine troifième
fuite au deiïus de cette dernière. fEnfin on ràwra
les nombres de la fuite inférieure* 71 y 287', & c .
IA R I
'en multipliant chacun des termes de la fuite 6;
12,, 24 , & c . par fon précédent, diminuant le
produit de l’ unité.
II 23 4-7 ü 191 m
4 8 16 P BBÜn é .
12 Æ 48 96 384.
7 1 .287 4667 18431 175717-
Prenez àpré fent un nombre de laj fuite inférieure,
par exemple 7 1 , dont le nombre corref-
pondànt dans la fuite Supérieure , fçavoir 1 1 ,
& celui qui précédé ce dernier, fçavojir $-3 font,
ainfi que 7 1 , dps nombres premiers ; multipliez 5
p.ar 1 1 , & i e produit 55-par 4 , terme icorrefpon-
dant de la" fuite géométrique, vous aurez 210
pour l’un des nombres cherchés : le fécond fe trouvera
en multipliant le nombre 71 par le même
nombre 4 / ce qui donnera .284.-
Pareiîlement avec 1 1 5 1 , 47 Se 23 , qui font
4 es. nombres premiers, on trouvéroit deux autres
nombres amiables, 17296 & 18416} mais 4607
n’en donneroit pas, parce que, des deux autres
nombres’ correspondants 47 & 95 , celui-ci 95
n’eft pas; premier. Il en eft de même «du nombre
18431, parce que le nombre 95 fe trouve parmi
les corrêfpÔhdans ; mais le fuivant 75727 donne,
avec 385 & i'9-i -, deux nouveaux nombres amia-
blcs, 9365584 & 94570)6.
On voit palr-îà que fi les nombres parfaits font
-rares I, les. çoüples -des nombres amiables le font
bien idavantage , ce dont il eft aif refte bien aifé
d’appercevpir la taifon.
X I I I .
Si on prend la fuité des quarrés des nombres naturels,
fçavoir, i f, ,4 , 9 , 16,. 25, 363 4 9 Sec.
qu’on prenne la différence de chacun avec le Suivant,
Se enfui té les différences de ces différences,
ces dernières feront égales à 2 , ainfi qu’ on-le
voit par l’exemple ci-deffous.
1 4 9 16 25 . 3 6 . 45>
1 ^ .D , i j f . 3 : 5 7 9 II 13
2c,i V i f . - " 2 2 ’2 X 2
Ainfi l’on voit que. les nombres quarrés font
formés par l’addition continuelle des nombres impairs
1 , 3 , 5 , Sec. qui fe furpaffent de 2.
: Dans la fuite des cubes des nombres naturels,
fçavoir r , 8,-27, &c. ce ne font plus les fécondés
différences qui font égales, mais feulement les
trôifièmes, qui font toujours 6. L’exemple ci'
deffous le mes fous les yeux.
A R I
Cubes* 1 8 27 6 4 . 125
7 ' 9 .; 37 61
* . D ï f 12 r8 24 3° .
3«. V i f ‘ è 6 ' 6
S’il eft queftion de la fuite des quatrièmes puiffances
ou quarré-quarrés des nombres naturels,
ce feront les quatrièmes différences feulement qui
120.
On trouve ces nombres 2 , 6 , 24 , 120, & c .
en multipliant de fuite les nombres 1 , 2 , 3M 5 *
6 , &c. Pour la deuxième puiffance, on. multiplie
les deux premiers ; pour la troifième, les trois premiers;
Se ainfi de fuite.-:
X I Y .
La progreffion des cubes 1 ,-8 ,. 2 7 , 64, 125,
8cc, des nombres naturels. 1 , 2 , 3 ,4 , 53 6 , &c.
a cette propriété remarquabl«*, qu’en ajoutant tel
nombre qu’ on voudra de fes termes, en commençant
parle premier, cettefomme. fera toujours un
quarré. Ainfi 1 Se 8 font 9 •’ ajoutez-y encore 27,
vous aurez 56, nombre qiiarre ; Se èh y ajoutant
64, vous aurez 160 Se ainfi de fuite.
X V .
Le nombre .110 a la propriété d’ être égal à la
moitié de la fomme de fes parties aliquotes ou
divifeurs, fçavoir, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6', 8 , 1 0 ,1 2 ;
15 , 20., 2 4 ,3 0 , 40, 60, qui font enfemble 240.
Le nombre 672 eft pareillement la moitié de la
fomme 1344 de fes parties aliquotes. On pourroit
en trouver plufieurs autres qui jouiffent delà même
propriété; on pourroit même en trouver qui ne
feroient que le tiers ou le quart de la fomme dé
leurs parties aliquotes ; enfin qui en fuffent le double
3 le triple, le, quadruple. Voilà de la matièré
aux recherches de ceux qui voudront s’exercer.
Des nombres figurés.
Si Ton a une progreffion arithmétique, la plus
fimple de’ toutes , par exemple , comme celle
des nombres naturels 1 , 2 , 3 ,4 , 5 ,6 , 7 , Sec. &
qu’ on prenne le premier terme, la fomme des deux
premiers, celle des trois premiers, Se ainfi de fuite,
il en réfultera une nouvelle fuite des nombres, 1 ,
3 , 6 , ï o , 1 5 , 2 1 ,2 8 , &e. auxquels on a donné
le nom de triangulaires, parce qu’ ils peuvent tou-t
jours .être rangés en triangle équilatéral, commé
Ton voit (p/. l y'fig* 3. Amufemens d‘arithmétique) .
Les nombres quarrés, comme 1 , 4 , 9 , 1 6 , 25,
36, & ç . naiffent d’une pareille addition des prer
a r i m
miers .termes de la progreffionaridimétique 1 3$ ,
5 , 7 , 9 , 1 1 , & c . dont la différence des termes
eft 2. Ces nombres fe peuvent pareillement ranger
en figures quarrées, ( Voyc^fig. 4 , ibid.)
De pareille fommation des termes de la o rô -
greffion arithmétique, dont là différence eft 3 ,
comme 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , & c . naiffent les nombres
1 , 5 , 12 , 22, & c . qu’on appelle pentàgonès,
parce qu’ ils reprélentent le nombre des points qui
peuvent s’arranger fur les côtés & dans [’intérieur
d’un pentagone régulier, comme on le voit dans
la figure 5 , j 7. 1 , où font trois pentagones dans un
angle commun, repréfentant le nombre des points
qui croît arithmétiquement, & dont le premier a
deux points fur chaque c ô té , le fécond trois, 'le
troifième quatre, ce qui pourroit être:continué.
C ’ eft dans ce fens & de cette manière qu’on
doit concevoir arrangés les nombres figurés.
Il eft prefque inutile de dire que la progref-
fion 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , & ç . dont la différence eft
4 , naiffent, par une pareille fommation, les:nombres
exagones, qui font 1 , 6 , 15 , 28, 45, & c ; &
ainfi de fuite pour les eptagones, 'oétogones, & c .
( Voyeç fig. 6 , ibid. )
Il y a une autre forte de nombres polygones , qui
réfultent du nombre des points qu’on peut ranger
au centre & fur les côtés d’un ou: de plufieufs polygones
femblables, ayant un centre, commun : dis
différent des précédents, car la fuite des triangulaires
de cette efpèce eft 1 , 4 , 1 0 , 1 9 , 31., Sec. ■
qui font formés par l’addition fucceffive.des nombres
1 , 3, 6 , 9 , 12.
Les nombres quarrés centraux font 1 , y , 15 ,
25 , 4 1 , 61 , Sec. formés pareillement par l’addition
fucceffive des nombres. 1 , 4 , 8 , 1 2 , 16 „
;.2Ô,‘ Sec.
Les pentagones centraux fonti , 6 , 1 6 , 3 1, y i ,
76 , & c . formés par l’ addition des nombres 1 , 5 ,
10, iy-,-20, & c .
Mais n.ous n’en dirons pas davantage fur cette
efpèce de-nombres polygones; parce que ce ne font
pas ceux que le mathématiciens entendent communément
par ce nom. Revenons aux nombres
polygones.'ordinaires.
On appelle la racine d’un nombre polygone , 1e
nombre des termes de la progreffion qu’ il a fallu
fommer pour avoir ce nombre. Ainfi la racine du
nombre triangulaire 21 eft 6 parce que ce nombre
réfulte de Taddition fucceffive des fix nombres r ,
2, 3 ,4 , 5, 6. De même 4 eft la racine du nombre
! quarré 16 , eonfidéré comme nombre figuré,parce
que ce nombre réfulte de T addition des. quatre