multipliez-les enfemble,& doublez le produit : ce
double , qui eft ici 4 , fera un des côtés du triangle,
Faites enfui te les quarrés des deux nombres
générateurs, qui feront, dans l'exemple aCtuel, 4
& 1. Leur différence donnera le fécond coté 3 du
triangle , &, leur fomme 5 feraThypothénufe.
Ainfi le triangle dont les nombres générateurs font
1 2 , eft 3 ,4 , 5.
Si Ton avoit pris pour nombres générateurs 2
& 5 , on aüroit'trouvé 5 , 12'8e r 3 5 les nombres
1 & 3 euffent donné 6 , 8 & 10.
Autre manière. Prenez une progreffion de nombres
entiers & fractionnaires , comme 1 f , 2 §•,
3 7 , 4 |v> & c , dont la propriété eft celle-ci :
i°L e s nombres entiers ont pour différence T unité,
& font ceux dë la fuite naturelle. 2°. Les numéra^-
teurs des fraCtfons jointes aux entiers, font auffi
les nombres naturels* j-c . Les dénominateurs de
ces mêmes fractions font les nombres impairs 5 ,
5 , 7 , &rc. Expofons maintenantTufage de cette
progreffion.
Prenez un terme quelconque , par exemple ,
3 y , & réduifez-le en forme de fraCtion , en
multipliant l’entier 3 par. 7 , & ajoutant au produit
21 le numérateur 3 > vous aurez l’exprefîion
fous la forme fractionnaire Les nombres 7 &
24 feront les côtés d’un triangle reCtangle, dont
l ’hypothénufe fe trouvera en ajoutant 49 & 576 ;
ce qui donne 625, dont la racine quarrée 25 eft
rhypothénufe cherchée. Ainfi le triangle donné
par ce terme de la progreffion génératrice, eft
7 / M * 25 -
Le premier terme 1 \ donne le triangle rec-
tangle 3 , 4 , 3 ;
,Le deuxième 2 - f, donne 5 , 1 2 , 13 ;
Letroifième 4^, donne 9 , 40, 4 1 , tous triangles
de rapports Différents entre les côtés , & qui
ont tous cette propriété,. que le plus grand côté
$£ Fhypothénufe ne different que de l’unité.
Voici une autre progreffion de même nature
que la précédente , favoir, 1 | , 2 «5 y 3 ü > 4
& c . Le premier terme donne le triangle rectangle
8 , 15 , 175 le deuxième produit 12 , 35,
37 5 du troifième dérive le triangle rÔy 6 3 ,6 5 ,
& c . Ils fo n t , comme l’ on voit aùffi, tous de
proportions différentes , & ont la propriété particulière
, que leur plus grand côté & rhypothénufe
ne different jamais que de 2.
P R O B L E M E I L
Trouver tant quon voudra de triangles rettangles
en nombres , dont les côtés ne différent que de
t unité.
Pour réfoudre ce problème, il faut chercher
des nombres tels, que le double de leur quarré,
plus ou moins l’unité, faffe encore un nombre
quarré : tels font les nombres 1 , 2 , y, 1 2 ,2 9 ,
70, & c , car deux fois le quarré- de 1 font 2,
q u i, diminué de l’unité, laiffe 1 qui eftun nombre
quarré. De même le double du quarré de
2 eft 8 , à quoi ajoutant 1 , la fournie .9. efi un
nombre quarré > & c . .
. Cela étant trouvé, prenez deux de ces nombres
quelconques qui fe : fuivent immédiatement,
comme 1 & 2 , ou 2 & 5 , ou 12 &: 29 , pour
nombres générateurs} les triangles rectangles qui
en naîtront auront la propriété que leurs deux
côtés ne différeront..que de l’unité. V.oiei une
table de ces triangles, avec leurs nombre«» générateurs.
No mb. gertér. Côtés. Hypotk,
I 2 3 4 ' S
2 S 20 .21, 29
5 " 12 119 120 169
12’ 29 696; 697 - f ■ 9%
29 V 7 ° , : W 9 406© J7 4 1
7 ° fl 169 2366O 23661 - 3-3461
Mais fi l’on vouloit trouver une fuite de triangles
tels , que dans chacun Vhypotkénufe ne furpaffât
un des côtés que de l ’unité, on y parvienclroit plus
facilement : il fuffiroit de prendre pour nombres
générateurs du triangle cherché , deux nombres
quelconques qui fe furpafTafrent l’un l’autre de
l’unité. Voici une table femblable à :1a précédente,
des fix premiers triangles VéCtangles que
donnent les premiers nombres de la progrefîion
naturelle.
Nomb. génér. Côtés. Hypotk,
I 2 . 3. 4 5
2 '3 5 12 ‘ 1
3 4 : 7 24
4 5 9 40 ' 4 i
m 6 11 60 - - ’ 61
6 H 13 84 ■ 8y.
Si -l’on prenoit pour nombres générateurs les
côtés refpeCtifs de-la fuite des triangles-précédé
nts , on auroit une nouvelle fuite de- triangles
reCtangles, dont l’hypothénufe feroit toujours
un nombre quarré, comme on le voit dans
la table fuivante. \
Nomb. génér. Côtés. Hypoth. Racines*
.3 4 7 ' H H S
. S 12 i i ? ■ 120 169: 13
7 24 336 , w 623 zs
9 40 720 1319 1681 1 4 1
11 6© - 3320 3479 •3321 61
13 84 2184 6887 7 1 2 -5 -■ 83
On peut remarquer i c i , que les racines des
hypothénufes
hvpoth&ufes font toujours le plus grand des
nombres, générateurs, augmenté de 1 unité.
Mais f i , pour nombres générateurs N vous preniez
le fécond côté & fhypothénufe de la meme
table, qui ne diffèrent er.treux que de 1 unité,
3 * • Ssi un-t1i»c «-.«r.rnnc'-lPÇ .
Nombr. géntr. , Côtés. IT.péth.
4 J 9 40. Éiï
22 *3 3 12 • 3 I3
24
" -
40
41 ■
ï 12G0
. 3 280 .
1201
3281
Voulez-vous enfin avoir une fuite de triangles
reCtangles, dont un des cô$|s foit conitam-
ment un cube, il n’ y a qu’ à prendre pour générateurs
deux, nombres qui fe fuivent dans la
progreffion des triangulaires , comme 1 , 3 , 6 ,
io y 15 , 2 1 , &c. Nous nous bornons à donner
les quatre premiers de ces triangles.
Nomb. génér. Côtés. Hÿpoth.
I , : 3 6 : 8
3 6 36 27 ' ■ 4 S.
6 10 120 ■ H m
10 l 5 , 300 I2J 326-
V R O B L E M E . I ’1 I.
Trouver trois différents Triangles reel angles , dont
les aires foient égales.
Voici trofs triangles rectangles qui jouiflent de
cette propriété. Le premier eft celui dont les
côtés font , 40, 4 2 ,4 8 5 le fécond a pour côtés,
70 , 2 4 ,7 4 } ceux enfin du troifième fo n t , 1 5 ,
112 & 113.
reétangîes „ en entiers , qui foient égaux entr’ eux ;
mais on peut en trouver tant qu’on voudra én
nombres rompus, par le moyen de là formule
fuivante.
. f Faites , de l’Rypothénufe d’un des triangles
ci-deffus ,. & du- quadruple de fon aire, -un autre
tnangle,reChnglé ,que vous divi ferez par le double
du produit qui viendra, en multipliant l ’hypothé-
nufe du triangle choifi , par la différence_ des
quarrés des deux côtés ; & le triangle qui en
proviendra, fe>ra le triangle prepofé ».
P R O B L E M E I V
Trouver un triangle rechangée , dont les cotes foient
em proportion arithmétique.
Prenez deux nombres générateurs , qui foient
l ’ un à l’autre dans le rapport -d’un à deu>; ; le
triangle reCtangle qui en proviendra, aura fies côtés
en progreffion arithmétique.
Le plus fimple de ces .triangles eft celui-ci 3,
4 , 5 , qui provient des nombres 1 Sc i pris pour
générateurs..Mais il faut obferver que tous les
autre s triangles, qui ent la même propriété , font
femblables à ce premier, & n’en font que des
multiples. Il eft aifé de démontrer de bien des
manières, qu’il ne fçauroit y en avoir d’autre.
Si l’on demandoit un triangle reCtangle en nomb
r e , dont les trois cotés fufient em proportion
géométrique , nous répondrions qu il n y en a
aucun en nombres entiers 5 car les deux nombres
générateurs devroient être dans le rapport
de 1 à ce qui eft Un nombre irrationnel.
P R Q B ' L E M Ë V .
La méthode par laquelle on les a trouvés , .
eft celle-ci,. .
» Si on ajoute, le produit de deux nombres
quelconques à la fomme de leurs quarrés , on
•aura le premier nombre} la différence de leurs
quarrés fera le/ fécond 5 & le double de la
fomme de leur produit & du quarré du plus petit,
fera le troifième ». :
sa Ces. trois nombres' trouvés, formez trois
triangles reCtangles, favoir, l’ un des deux pre- ,
miers, comme générateurs } lé deuxième, des
deux extrêmes} & le troifième , du premier &
de la fomme des deux autres. Ces trois triangles
reClangles feront égaux enty’eux ».
On ne peut; trouver plus de trois triangles
Amufemens des Sciences. -
Trouver un triangle reel angle, dont iaire3 exprimée
en nombre 3 Jo it égale au contoury ou en raifort
donnée avec lui.
Formez, d’ un nombrè- quarré quelconque, ô-
de ce même quarré augmenté-' de 2 , un triangle
reCtangle, dont vous diviferez les côtés par
ce nombre quarré : les quotients donneront les
côtés d’un nouveau triangle reCtangle , dont
l’aire , exprimée numériquement, fera égale au
contour.
Ainfi , en prenant pour nombres générateurs
1 & 3 , vous aurez le triangle 6 , 8 , 10 , dont
les côtés'3 divifés par l’unité , font 6 , 8 , 10 ,
& forment le triangle qui a la propriété demandée
5 car l’aire eft 2 4 , &: le contour eft aufîi 24.
De même, prenant pour générateurs 2 & 6 ,
. R