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guefleau. C'eft ce q^ie nous apprend l'hiftorien
de l'académie.
Des progrefjioris arithmétiques & géométriques
y & de quelques problèmes qui en
dépendent.
§ . I.
Expo fît ion des principales propriétés de la progreffon
arithmétique.
Si Ton a une fuite de nombres continuellement
croiflants ou décroissants, tels que la différence
du premier au .fécond foit égale à celle du fe-
cbnd au troifième , du troifième au quatrième,
Sic. & ainfî de fu ite , ces. nombres feront en
progreffion arithmétique.
•Ces fuites de nombres , 1 , 2 , 3 , 4 , y , 6 ,
Sic. OU I j y , 9 , 13, &C-. OU 20 , î8 , lé J 14 ,
1 2 , Sic, ou 1y , 12 , 9 , 3 . , font donc des
progreffions arithmétiques j car, dans la première,
la. différence du; fécond, ter me au fuivant qui le
iurpaffe, eft toujours i j dans la fécondé elle eft
2 : elle eft pareillement toujours 2 dans la troifième
qui va en décroiflant, Si trois dans la quatrième.
Il eftvaifs de voir au__premier coup-d’oe il, que
la progreffion ,âr.ithrnérique croiîfante peut être
continuée, à l'infini ; mais èlle ne peut pas l'être
'de même1, en un certain fens, lorfqu'elle décroît;
car on arrivera toujours néceflairement à un terme
dont la différence .commune étant ôtée , le
reftânt fera zéro ou un nombre négatif. 'Ainfî
la progrèffioa 1 9 , i f , 1 1 , 7 , , 3 , ne fçauroît
aller plus lo in , en nombres pofitifs du moins ;
car on ne peut ôter 4 de 3 ; ou fi on l'ô te , on
a , en langage analytique , — 1 (1). On auroit,
en continuant la fbuftraêtion —— y , — 9 , Sic.
Les principales propriétés des progreffions arithmétiques
fuivent facilement de la définition .que
nous venons d'énoncer & de développer; car on
verra d'abord , en y faifant attention,
i° . Que chaque terme n'eft autre chofe que
le premier, plus ou moins la différence communé, ;
multipliée par le nombre des intervalles entré
ce terme oi le premier. Ainfî, dans la progref- ;
fion 2 , y , 8, iï- , 1 4 , 1 7 , & c .’ dont la diffé-
(1 )'Comme les quantités appélîces négatives ne
font que des quantités réelles, prifes dans un fens contraire
à oéini des quantités appeîlées pofitives, il eft éyi-
dent que , dans la rigueur mathématique & analytique,
la progreffion arithmétique fe continue à l’infini, autant
en décroiflant qu’en croiflant ; mais nous nous
énonçons Ici comme on le fait vulgairement,
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J rence eft 3, il y a entre le fixième terme & le premier,
cinq intervalles ; c'eft pourquoi ce fixième
terme eft égal au premier , .plus le produit 1 y
de la différence commune 3 par y. O r , comme
ce nombre d'intervalles eft toujours moindre de
l 'unité que le nombre dés termes, il fuit qu'on
aura chaque terme dont on connoîtra le rang,
en multipliant la différence commune par le nombre
qui exprime ce rang , diminué de l'unité.
Ainfî le centième terme d'une progreffion croif-
fante fera égal au premier, plus 99- fois la. différence
commune. Si elle eft déçroiffante, ce fera
le premier terme , diminué de ce meme produit.
Pour avoir donc, dans une progreffion arithmétique
dont oh connoît la différence commune,
un terme quelconque dont la place eft connue,
multipliez cette différence par le nombre qui indique
cette place, diminué de l'unité , Si ajoutez
le produit au premier terme fi la progreffion va
en croiffant, 8r ôtez-le fi elle va en décroiflant ;
vous aurèz le terme cherché.
2°. Dans toute progreffion arithmétique , fe
premier' & le dernier termes font une fomme
égale à celle du fécond Si de l'avant-dernier,
à- celle dix troifième Si, de î'antépénultième, Sic.
enfin égale à la Comme des termes moyens -, fi
le nombre des termes eft pair, ou au double du
moyen, fi ce.nombre de termes eft impair.
Cela eft aifé à démontrer d'après ce qu'on vient
de dire : car nommons le premier terme A , &
fuppofons, par exemple, vingt termes-à la pro-
greffion ; lé vingtième^ fi elle eft croiflante 3 fera
donc égal à A plus dix-neüf fois la différence
commune, Si leur Comme fera deux fois le .pre-
i mier terme, plus dix-neuf fois cette différence.
Or lé fécond terme eft égal au premier, plus
la différence commune ; & le dix-neuvième terme,
ou l'avant-dernier dans notre fiippofîtion ,reft égal
au premier plus dix-huit fois ,1a différence. Aufli
la Comme du deuxième Si de l'avant-dernier eft
deux fois le premier terme, plus dix-neuf fois
la différence commune 5 Si ainfî du troifième &
de l'antépénultième.
#
3". Cette dernière propriété fert à démontrer
aifément comme on peut trouver la Comme de
tous les termes d’ iine progreffion arithmétique >
car püïfque le premier Si le dernier termes font
I une même fomme que le deuxième’ Si le pénultième,
le troifième Si l'antépénultième , &e. en-
! fin que les deux moyens, fi le nombre des termes
eft pair 5 II fuit que la progreffion contient
j en total autant .de fois la fomme du premier &
du dernier termes , qu-on peut 'faire de pareils
j couples. Or ce nombre dé couples eft égal à la
I moitié du nombre de termes ; conféquemment fa
j fomme de toute la progreffion eft égale au pro-
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duît de la Comme des premier Si dernier termes
multipliée par la moitié du nombre des
termes, ou , ce qui revient au meme, a la môme
du produit de la Comme des premier & der-
Si le nombre des termes eft impair , par exemple
9, il eft aifé d evoir que le terme moyen
eft la moitié de la fomme des deux qui l'avoi-
finent 3 Si par conféquent de la Comme du premier
Si du dernier. Or la fomme de tous les
termes , de-moyen excepté, eft égale au produit
de la dernière Comme des premier Si dernier par
le nombre des termes diminué de l ’unité , par
exemple par 8 , dans le cas propofé où il y a
neuf termes, conféquemment, en y ajoutant Je
terme moyen qui complettera la Tomme de la
progreffion, Si qui eft égal à la demi-fomme des
premier Si dernier termes , on aura ,. pour la
fomme totale de la progreffion , autant, de fois
la demi-fomme ci-deffus, qu'il y a de termes
dans la progreffion; ce qui eft la même chofe
que le produit de la demi-fomme des premier
Si dernier termes par le#nombre de ces termes,
-ou le produit de cette fomme par la moitié
du nombre -des termes.
Lorfqu’on aui# bien connu les règles précédentes,
il fera aifé de réfoudre des queftions qui
fuivent.
P R O B L E M E I.
I l y a un panier & cent cailloux rangés en ligne
. .droite & a des efpaces égaux d'une toife. On
propofe de les. ramajfèr & les rapporter dans le
panier un a un , en allant dé abord chercher le
■ premier, enfuite le fécond, ,6.’ ,ainfi de fuite juf-
qu au dernier. Combien de toifes doit faire celui
j^ui entreprendra cet ouvrage ?
Il eft bien clair que pour le prëmier caillou
il faut faire deux toifes, une pour aller, & l'autre
pour revenir; que pour le fécond il faut faire
quatre toifes-, deux pour aller , deux pour revenir
; Si ainfî de fuite, en augmentant dé deux
jufqu'au centième, qui exigera deux cents toifes
de chemin, cent pour aller, cent pour revenir.
11 eft d'ailleurs facile d'appercevoir que ces nombres
forment une progreffion arithmétique , dont
le nombre des termes" ëft 100 ; le premier 2 , &
je centième 200. Ainfî la fomme totale fera le
produit de 202 par y o , ou iQioo .toifes; ce qui
fait plus de quatre lieues moyennes de france ,
ou cinq petites lieues.
Il n'eft donc pas étonnant que ceux -qui n'ont
pas de connoiflancës mathématique? ne -fe per-
fuadent pas qu'une pareille entreprife exige tant
de chèmin. On a v u , il y a quelques années ,
au luxembourg, une perfonne parier quelleiro it
de ce palais au château de Meudon toucher la
grille ü'entréë, & reviendroit au* luxembourg,
avant qu'une autre eût ramafle cent pierres ef-
pacées comme ci-deffus, & fous les mêmes conditions.
La dernière ne pouvoit fe le perfuader ,
Si gagea une fomme aflez forte ; mais elle perdit.
Et en effet elle devoit perdre ; car je doute
qu'il y ait du luxembourg à Meudon yoyo toifes,
ce qui en fait pour aller Si revenir 10100. Or
celui qui alloit à Meudon avoit , fur celui qui
ramafloit les pierres, l 'avantage de n'avoir pas
à fe baiflef cent fois de fuite, Si fe relever autant
de fois ; ce qui devoit extrêmement ralentir
fon opération. Aufli la première fut-elle de retour
, à ce qu'on m'a raconté, que l’autre étoit
à peiné à la quatre-vingt-cinquième pierre.
P R O B L E M E I I .
Un propriétaire efi convenu avec un maçon qui, doit
lui creufer un piîits , de lui donner trois livres
pour la première toife de profondeur , cinq pour
la fécondé, fept pour la troifième, & ainfî juf-
qua la vingtième toife inclufivement, oh i l doit
' rencontrer Veau. O.i demande combien il fera du
au maçon quand il aura fini fon ouvrage ?
La réponfe eft facile, au moyen des règles données
plus haut : car la différence des tenues eft
ici 2 , le nombre des termes eft 20 ; conféquemment,
pour avoir la vingtième, terme , il faut
multiplier. 2 par 1 9 , Si ajoutant le produit 38
3 3 , premier terme ; ce qui donnera 4 ; pour le
vingtième terme..
Ajoutez enfuite le premier & dernier termes,
c'eft-à-dire -3 Si 41 , ce qui donne 44 , & multipliez
cette fomme .par 10 , moitié du nombre
des termes ; vous aurez 440 pour la fomme de
tous les termes de la progreffion , Si pour le prix
total de l ’ouvrage.
P r o b l è m e I I I .
Un autre propriétaire étant convenu avec un maçon ,
pour creufer un puits de vingt toifes de profondeur ,
de lui payer une fomme de 400 livres y ce maçon
tombe malade a la huitième toise 3 & ne peut continuer
Vouvrage'. On demande combien i l lui
efi dû .
C e feroit aflurément fe tromper , que de
prétendre qu'il fût dû à cet ouvrier les deux
cinquièmes du prix to ta l, parce que 8 toifes'font
les deux cinquièmes de la profondeur convenue;
car il eft aifé de voir que la peine augmente
I à mefure qu’ on parvient a une plus grande pro-
I fondeur. On fuppofe au re fte , car il feroit diffi