fixîème de jou r , l'autre en quatre heures, & le T
rroifièraeLen une demi-journée. O« demande com- j
bien «de temps il faudra pour le remplir, lorfqu’ ils
verferont tous trois de l’eau ?
( C e problème eft de la même nature que celui
du lion de bronze, que nous avons réfolu précédemment,
8 c qui eft aufiî tiré de 1’ Anthologie grec- ■
que. En fuppofant le jour' divifé en 12 heures ,
on trouvera que les trois Amours rempliront le
btûin en ~ , ou un peu plus d’ une heure.
P r o b l è m e V I I.
t a fîmme de 500 livres ayant été partagée entre
quatre perfonnes 3 i l fe trouve que les deux premières
enfemble ont eu 285 livres , la fécondé &
la troifième 220 livres 3, enfin la troifième & la ■
quatrième 215 livres ; de plus 3 le rapport de la
part de la première a celle de la dernière efi de 4
4 3. Qn demande combien chacune a eu ?
' La folution de ce problème eft des plus faciles.
La première a eu 160 livres, la fécondé 125 , la
troifième 9 5, 8c la quatrième 120.
Il faut remarquer que , fans la dernière condition
, ou une quatrième quelconque, le problème
. feroit indéterminé, c’eft à-dire qu’ on pourroit y
fatisfaire d’une infinité dé manières : c’eft cette
dernière condition qui limite la folution à une
feule.
P r o b l ê m s V I I I .
Un ouvrier fe loue a ces conditions 3 qu'on lui donnera
30 fous par jour lorfqu il travaillera 3 mais
, que chaque jour au i l chommera i l rendra 1 y fous.
Après quarante jours 3 fon décompte monte a .
31 livres. On demande combien de jours i l a
travaillé 3 combien i l en a chommé ?
Réponfe. Il a travaillé vingt - huit jours des
quarante, & il en a chommé douze.
P r o b l ê m e IX.
Une lettre de .change de 2000 livres a été payée en
éctis de trois livres 3 & en piafires dont la valeur
efi de cinq livres j & i l y avoit prècifément quatre
cent cinquante pièces de monnoie. Combien y en
avoit-il de chaque efpèce ?
Réponfe. Il y avoir cent vingt-cinq écus de
trois livre s, 8c trois cens vingt-cinq piastres de
çinq livres.
P R O B L E M E X.
Un homme a perdu fa bourfe , & ne fait pas pré*
cifément le compte de l'argent qu'il y avoit : il
fe rappelle feulement quen le comptant deux a
deux pièces 3 ou trois a trois 3 oü cinq a cinq y
i l refioit toujours un ; npais 3 en les comptant
fept a fept 3 il ne refioit rien.
On voit.aifément q u e , pour réfoudre ce problème
, il eft queftion de trouver- un nombre qui,
divifé par 7 , ne laiffe aucun refte , 8c étant divifé
par 2 , par 3 , par y , laiffe toujours 1. Plufieurs
méthodes plus ou moins favantes peuvent y conduire
5 mais voici la plus fimple.
Puifque, le nombre des pièces étant compté fept
à fept il ne refte rien, ce nombre eft évidemment
quelque multiple de 7 5 8c puifqu’en les comptant
deux à deux il refte 1 , ce nombre eft un rpultiple
impair : il eft donc quelqu’un des nombres de h
fu i t e 7 ,2 1 , 3 5 ,4 9 , 6 3 ,7 7 , 9 1 , 1 0 5 ,8cc.
De plus, ce nombre d o it, étant divifé par 5;
biffer l’unité : or , dans la fuite desjnombres ci-
deffus, je trouve que 7 , 49 , 91 , qui croiffent
arithmétiquement, 8c dont la différence, eft 42,
ont la propriété demandée. Je trouve de plus,
que le nombre 91 étant divifé par y , il refte 1:
d’où je conclus que le premier nombre qui fatis-
fait à la queftion eft 9 1 , car il eft multiple de 7 $
8c étant divifé par 2 , par 3 8c par y , il refte tou-
jours un.
Je dis que 91 eft le premier nombre qui fatisfait
à la queftion > car il y en a plufieurs autres, qu’on
trouvera par le moyen fulvant : continuez la pro*
grefïion ci-deffus en cette forte, 7 , 4 9 ,9 1 ,15 3 ,
■ 1 7 5 ,2 1 7 ,2 5 9 , 301, jufqu’ à ce que vous trou-
; viez un autre terme divifible par y ,. en biffant
: l’unité > ce terme fera 307 , qui fatisfera encore
; à la queftion. Or fa différence avec 91 eft 210,
d’où je conclus que , formant cette progreffioni
9 1 , 301, y n , 7 2 1 ,9 3 1 , 1 1 4 1 , 8cc.
tous ces nombres rempliffent également les coït*
ditions du problème.
‘ Il feroit donc incertain quelle fomme étoitdans
la bourfe perdue , à moins que fon maître ne fçut
' à-peu-près quelle fomme il y avoir. Ainfî, s'il
; difoit favoir qu’il y avoit environ yoo pièces,
on lui répondroit que le nombre des pièces étoit
de y 11.
Suppofons préfentement que l’homme à qui
. appartient b bourfe eût dit que , comptant fi*
argent deux a deux pièces , il refioit l'unité > Wl
f ies cbmptant trois 'a trois, il « refioit i(ux ; que
{ comptées quatre à quatre, U refioit trois ; que camp-,
I tics cinq l cinq -, i l refioit quatre ; que comptées f,x
L fix , il en refioit cinq-, enfin, que les comptantfept
Il eft évident que ce nombre eft., comme ei-
deffus-, un multiple impair de 7 , & conféquem-
ment un de ceux de la fuite 7 , 2 1 , 3 y , 4 9 , 63 ,
L , j „ j a i o t , & c : O r , dans cette fuite, les nom-
bres 3 5 & 77 fatisfont à la condition d’avoir 2
pour refte, quand on les divifé par 3 : leur différence
eft d’ailleurs 42. C ’eft pourquoi je. forme
j cette nouvelle , progreftioh arithmétique , dont la
différence eft 4 2 , favoir :
3 J , 7 7 , 119, 16 1, 2 0 3 , 24j i 287 ; Sec.
J’ v cherche deux nombres q u i, divifés par 4 , . j
iaiffent 3 pour refte, & je trouvé ^üe ce font 35,
1 1 9 ,2 0 3 , 287. C ’ eft pourquoi je forme cette
nouvelle progreflion, où la différence des termes
eft 84 :
j JJ, 119,203 ,.287, 3 71, 45J.3 p S i - f o i > & c *
,Je cherche ènebr-è ici deux termes qui, divifés-
par y , -Iaiffent un refte "égal à 4 ; 8c j’apperçois
bientôt que ces deux nombres font 119 & 339’,’.
dont la différence eft 420. Ainft la fuite des termes
répondant, à toutes les conditions du pro-
[blcme, hors une, eft
1 :9 , M H 1579, M H H Ë f f l i 2 6 3 9 ,8cc.
Or la dernière condition du problème eft que, le
nombre trouvé étant divifé par 6 3 il refte y. Cette
propriété convient à 119 , 959., 1799/ 8cc. en
ajoutant toujours 840 : conféquemment lé nombre
cherché eft un de ceux.de cette progreffion. C ’eft
pourquoi, auffi-tôt qu’on faura dans quelles limites
à-peu-près il eft contenu , on fera en état de le
déterminer. <■
Si donc le maître de la bourfe perdue dit qu’ il
y avoit environ cent pièces, le nombre cherché
fera 1195's’il difoit qu’ il y en avoit à-peu-près
mille, ce feroit 9 5 9 ,8cc.
Remarque.
Ce problème feroit réfolu imparfaitement par
la méthode qu’enfeigne M. Ôzânam 5 car , ayant
trouvé le plus petit nombre 1 19 , qui fatisfait aux
conditions du problème , il fe borneroit à dire
que, pour.avoir les autres nombres qui y fatis-
î iont, il faut multiplier de fuite les nombres 2 ,
!.. 3 * 4 3 5 , 6 3 7 3 -& ajouter leur produit 5040 au
premier nombre trouvé 1 1 9 , 8c qu’on aura parla
le nombre y 159, qui remplit aufli les conditions
propofées. Or il-eft aifé de voir qu’il y a plufieurs
autres nombres entre 119 8 c y 1 y9 -qui rempli|feat
ces conditions, favoir, 959, 1799^ .2639, 3479,
4 3 19 * ' §&
P r o b l è m e XI .
Une certaine fomme d‘argent, placée a uti certain
intérêt 3 s'efi accrue en huit mois jufqu a. z6 i 6 .
livres 13 fous 4 deniers.3 & en deux ans & demi
elle a. monté h. 3937 livres lofbus. On demande ..
quel était le capital originaire , & a quel intérêt
il a été placé ?
Nous nous bornerons encore ici , pour exciter
. b fag#citddes jeunes algébriftes, à indiquer b f o lution.
Ils trouveront- , en employant l’ana-lyfe
convenable, que le capital placé étoft de 3j c o
livres, & que l’intérêt etoit de cinq pour cent.
P r o b l è m e X I I .
Une femme a vendu i© perdrix au marché , unt:
fécondé en a vendu 2y , & une troifième en 0.
vendu 30, & toutes au même prix. Au fonir du
marché elles fe quefiionnent fur l'argent qu elles en
rapportent 3 & i l fe trouve que chacune rapporte La
même fomme. On demande a quel prix & commette
elles ont vendu ?
Il eft évident qu’afin que 1a chofe foit pofÏÏble,
il faut que ces.femmes vendent au moins à deux
différentes fois 8 c à différens prix , quoiqu’ à ch a.-,
que fois elles vendent toutes enfemble au même
prix y car , fi celle qui avoit le moins de perdrix
en a vendu un très-petit nombre au prix le plus
bas , 8f qu’elle ait vendu le furplus au plus haut
prix , tandis que celle qui en avoit le plus grand
nombre en avoit vendu 1a plus grande partie ».«l
plus bas prix, 8 c n’a pu en vendre qu’un petit
nombre au plus haut, il eft clair qu’elles auront pu
faire des fommes égales.
Il s’agit donc de divifer chacun des nombres,
10 ,2 5 , 30/ e n deux parties telles , que multipliant
1a première partie de chacune par le premier
prix, & b fécondé par le fécond , la fomme des
deux produits foit par-tout b même.
C e problème eft indéterminé, ' & fufceptible de
dix folutions différentes. Il eft d’abord nécefiaire
que la différence des prix de la première . & de la
fécondé vente foit un diviféurexaél des différences
i y , 2 0 , y , des trois, nombres donnés': or le
moindre divifeur de ces trois nombres eft y ; c’eft
pourquoi les prix doivent être 6 8 c .1, ou 7 & 2 3
ou 8. 8 c 3 , & c.
En fuppofant les deux prix être 6 8 c 1 , oiv
trouve fept folutions différentes, cerame on k
j voit dans la table fuivanie