ï * Vente* IIs Vente. Prod, total..
i re Fem. 4 Perd, à 6 f; (S à 1 f. 30 r.
2« ■ ■ ■ «— I H 3°
3 e ------- --- 3° 30
Ou bien ,
l " Fem. 5 J iS
2.' — 1 2-3 3 S
3 e — " 1 2? 33
Ou bien ,
i ie Fem. 6 4 4 °
3 e ■— 2
22 40
28 40
Ou bien $
i rc Fem. 7 3 43
2 e — 4 21 43
3 e— 3 27 43
Ou bien ,
ï« Fem. 8 2 3 °
2e ■■ ■— y 20 3 °
3 e — — 4 26 s g
Ou bien ,
Ve Fem. 9 1 33
2 ' ------- 6 19 33
3 ' ------- S 33
Ou bien ,
ire Fem. 10 0 60
2 e ■ — 7 18 6O
3e ------- 6 24 .6O
Si l ’ on fuppofe les deux prix être 7 & 2 , on
aura encore les trois folutions fuivantes :
Ve Vente. IIe Vente. Prod, total.
if« Fem. 8 Perd, à 7 f. 2 à 2 f. 60 f.
2 e — 2 . 23 60
V --------- 30 60
Ou bien ,
ire Fem. 9 1 ü
y i — j
22 m
m <3
Ou bien ,
i«Fem. 10 0 70
2e — — 4 11 70
3 e - 2 28 ■ 70
Il feroit inutile d’efiayer 8 8 c 3 , 8 c tout autre
nombre : on n'en pourroit tirer aucune folution,
par les raifons qu'on verra plus bas.
Remarques.
On lit dans la fécondé partie de Y Arithmétique
universelle de M. de Lagny, page 4 5 6 , que cette
queftion n'a que fîx folutions > en quoi cet auteur
s’eft trompé * car nous venons d’en indiquer 10.
Nous croyons devoir enfeigner ici la méthode
que Ton a employée , efpérant que cela fera plaifir
à ceux qui apprennent l’algèbre.
J'appelle u le prix auquel les trois femmes ont
vendu la première fois , oc p celui auquel elles ont
vendu la fécondé.
Que x foit le nombre des perdrix vendue par
la première femme au prix u ; conféquemment le-
nombre de celles vendues au prix p fera 10— *:
l'argent retiré de la première vente fera xu3 celui
de la fécondé fera iop—px , 8 c la fomme totale
xu-^iop— px.
Que 1 foit le nombre des perdrix vendues par
la fécondé femme à la première vente, on aura u[
pour l'argent retiré à la première vente,& 25/5—
j pour l'argent retiré à la fécondé ; en tout ,
lip
De même, nommant y le nombre de perdrix
vendues la première fois par la troifïème femme,
on aura uy pour l'argent retiré à la première vente,
$op—py pour celui retiré à la féconde ; enfin,
pour le total des deux ventes , ^--+-30— py.
Mais, par la fuppofidon, ces trois fommes doivent
être égales. Ainfi l’ on a xu-+ iop-—px=^u.
-*-i$p—p%, ^=ruy —t- 3op-r-py 3 d’où je tire ces trois
nouvelles équations :
xu— ptc— %11— py^ri^p ,
xu—px=uy— py-y-zop , .
l u—P l~ uy— py-t~5P •
8 c , divifant tout par a—p , on aura ces troi$
autres :
x — J ' + ’S y
ÙHHI& ■
d'où l'on conclut d'abord que u—-p doit être un
divifeur de iy , de 20 & de J > car autretnent
fer°ient p.ss des nombres en*
1 tiers , ce qui eft néceffaire. O j le feul nombre qui
■ ' w m
dîvïfe 3 i'c e quimontra
que les prix (Je* deux vente? ne peuvent e u e que
On voit d'abord que la fuppofttian de J &
ô ne peut lervir , pujfqu il. n y auroi.t eu qu Une
venté.'.
trouveroit x plus grand que 19« ce qui eft im-
poffible. tp
Ôn eflayeroit auffi inutilement pour u 8 c les
valeurs 8 & 3 , car "elles donneroient néce^faire-
ment pour x une valeur plus grande que 10 , ce
qui ne peut être.
Il faut donc ■ effaÿer^la.t fécondé .fuppofition 6
& 1 , favoir, «==6 & p i > ce qui donne pour tes
dfeux dernières équation’s çès deüx-ci -, x==y-*-\ a
Ainfi ,Ton peut affurér que le problème n’a que
les dix folutions ci-deflus.
....P r: o b l e ,m e X I I I .
, Or nous avons ic i ,trpi;sipcqnnue,s,,§e fe^ujçi^ent
deux équations, j c'eft pourquoi une:<âe. cesdncp.n-
nues,ioit- être prife à.vplonté,-Çhoififionsy
fùppofons-la d'aoci-d- === ©.-■ ., -
En combien de maniérés peut-on payer 6 oLfousi en'
employant,toutes les monnoies d'ufages comme ecu
’ .de, y livres, pièces de 24 , de il.y de 6 , .de-Z fous
.& dé,\ 8 deniers 3 fous , pièces de 1 liards & lïards ?
Gela donnera , 8 c ï?bn aurai la première
folution,: ou î’ôtfvôit que la première femme
a vefidu la: première fois 4 perdrix à 6 feus
pièce , •'8é'cohféqtienliliien1t ^.la- feÇohde fois -a
1. fou j&ëéë î^tandis1 que M;fécondé -femme ëri a
vendu une lai première Fois^a6 fëûs;pièée;y & ‘ lésr
24 autrèsà J'fôu! pièce j & la-troifièMe'aùfa Vendu’
toutes“ les -fiefines an fécond pqix e'fiès? durdnt
alors toutes fo-piècës. '
I; Je'crois qu'il feroit fort difficile de réfoudre ce
problème ., autrement que par une forte’ d'énumération
; mais , comme elle eft immenfe , il y a
un ordre à fuivre, fans lequel on ne s’en démêle-
rqit jamais;: :C'éft caquetions avons:tâché de faire.
Néanmoins, compiec»le détail de .cette méthode^
nous ;mehèroit beaucoup trop lo in , nous nous
bornerons: à en. donner les réfultats principaux,
Nous av 0 ns dqnc trouvé que ,
Si ï'on faity— 1 , on aura la féconde folution. /
..Si l'on fait y ^ 2 , on aura la-troifième. k,
En f^ifanty ^ \ , pn auraj laquatrièmép^
Ep faifant y~ \ , on aura la cinquième,
En faifantyzzy , on aura la fixième.. ^
En faifant y— 6 , on aura la feptieuier ,
i On ne npeuü pas: Euppofer y plus grand-quel 6 $
car , fi on le fuppofoit, on auroit x— 10 y ce qui
eft impoffible., puifque. la première femme n’a que
10 perdrix à vendre. :
Il faut donc paffer .a la fuppofition fuivante ,
favoir, de ocp~zi 5 ce quidonne deux équar
tions , x—y-\-% , p=Zy-j-2.
Si donc l’ on fait ici d'abord y ^ o , on aura xZZ$
Sf { ~ 2 , ce qui donne la huitième folution.
En faifant y i i ; i , on aura la.neuvième.
En faifant ym 2 ,. on. aura la dixième*i
Mais on ne peut faire y plus grand 5 car on
Amufemens des Sciences.
. ' ïV. 'Ori,peut payer 6 6 .fous , en monnoies d’at-
g èn f, de ï 31 maniérés différentes. ^
£?. -.On peut payer A fous, en monnoies de cuivre,
feulement de i j y façons; 12 fous, de 12925
18 fous, de y 104; 24 fou s , de 14147 façons;
30 fous , de 31841 ; 36 fous, de 62400 ; 42 fous ,
de pi 1.182 ; 48 fous , de 183999 ; 54 fous , de
287.777 > enfin 60 fous , de 430264.
1 i ° . En combifiant les monnoies de cuivré avec
; celles.' d’argent , j’a i , trouvé que cette même
fomirié de 6o‘ fous peut être payée de 1383622
( maniérés.
Çonféquemment, en ajoutant ces trois fommes
» fàvoir l'3 , 430264 & 1383622, on aura
1813899 façons de payer une fomme de-60 fous.
^ Il paroîtra fans doute étonnant qu’avec huit
monnoies feulement il y ait autant de manières
de payer une fi modique fomme ; mais , quoique
je nepuiffe abfolument affurer n’avoir pas commis
quelque erreur dans mon calcul, parce que j’en ai
perdu tout l ’échaffaudage , & que je n’ ai' ni le
courage ni le loifir de le refaire, je fuis affuré que
ce nombre n’eft guères inférieur.