-dente, éîle's réîolve'nt le problème j & les quatre
cercles décrits lur les diamètres N O , OM , OS ,
Ô T , feront égaux au cercle ADBÈ.
La ligne FG peut feulement toucher le cercle ;
dans lequel cas , tout autre point que le point de
conta61 réfoudra également le problème.
Mais fi FG coupoit le cercle, comme on le voit
dans la fig. 10 3 pl. 7 , il ne faudra prendre le point
L que dans la partie de la ligne IK qui eft hors
du Cercle , comme on le voit dans cette même
figure.
Cette folution vaut mieux que celle que donne
M. Ozanam , qui eft fujette à un tâtonnement dé-
-ieétueux ; car il ordonnepde prendre fur ac{fig, y)
une portion moindre que le rayon , & de la porter
comme de C en q3 enfuite de tirer les lignes çM,
MR', puis de porter le reftant de a c de C en
mais il faut qûe le point r tombe au-delà de R ,
fans quoi les deux demi-cordes ne fe couperont pas.
I l y a enfin, fui van t la grandeur de a c relativement
au rayon, une Certaine grandeur qu’il ne faut pas
.excéder, 8c queM. Ozanam,ne détermine point,
t e qui rend fa folution vicieufe^
De la trifeclion & multifecvion de Vangle,,
C e problème eft célèbre par les efforts infructueux
faits dans tous les, temps pour le. réfoudre
géométriquement, à l’aide de la règle 8c du compas
, Sr par les paralogifmes & fauffes conftruc-
tions données par de prétendus géomètres. Mais
il eft aujourd’hui démontré que fa folution dépend
düune géométrie fupérieure .àla géométrie.élémentaire
8c qu’aucune conftruétion où l’on n’emploiera
que la règle & le compas, ou le cercle 8c
la ligne droite, ne fauroit le réfoudre, fi ce n’eft
dans un petit nombre de cas, comme ceux où
î ’arc quimefure l’angle propofé eft le cercle entier, :
ou fa moitié, ou fori quart, ou fa cinquième partie.
11 n’y a plus 5 en conféquence, que des igriorans
qui cherchent aujourd’hui la folution générale de
'c e problème par la géométrie ordinaire.
Mais quoique l’on ne puifle, par la règle & le
compas feuls , réfoudre ce problème fans tâtonnement
, il y a néanmoins’quelques conftruélions
méchaniques ou de tâtonnement qui méritentd’être
connues, à caufe de leur fimplicité : les voici.
Soit l’angle A B C , {fig. 7 > pi. 7 ) qu’on pro-
pofe de partager en trois parties égales. Du point
A , abailfez fur l’ autre coté de l’ anglé la perpendiculaire
A C , 8c , par le même point A , tirez à
BC la parallèle AEindéfinie; enfuite, du point B,
menez à A E une ligne B E , telle que fa partie FEy
interceptée entre les lignes A C 8c A E , foit égale
à deux fois la ligne AB ; ce qui peut fe faire par
un tâtonnement fort fimple, & très-facile à exécuter
: vous aurez l’angle FBC égal au tiers de
ABC.
| En effet y divifez F E en deux également en D ;
8c tirez AL) ; le triangle F A E étant re é km g le , D
fera le centre du cercle paffant par lès points F
A , E : conféquemment D A , D E , D F , feront
égales entr’elks 8c à la ligne AB : donc le triangle
A D E fera ifocele, 8c les angles D A E , D E A , feront
égaux; l’angle A D F extérieur1, qui eft égal
aux deux intérieurs D A E , D E A , fera donc double
de chacun. O r , le triangle B A D é ta n t ifocele
, l’angle A B D eft égal à A D B : donc l’angle
A E D , ou fon égal F B C , eft la moitié d é l’angle
A B D : conféquemment l’angle A B C eft divifé
par B E , de manière que l ’angle E B C en eft le
tiers.
Autre maniéré. Soit l’angle ACB , {fig. 6 , pl.
7 . ) du fommet duquel on décrira un c e rc le ; on
prolongera enfuite le rayon BG indéfiniment en
E ; puis on tirera la ligne A E , de manière que la
partie D E , interceptée,entre BE 8c la circonférence
de ce cercle, foit égale au rayon BC;
par le centre C , tirez CH parallèle à AE : l’angle
B C H fera le tiers de l’angle donné BCA.
, Pour le démontrer, tirez le rayon C D ; cela
fait, il eft aifé de voir que Tangle H C A eft égal
( à caufe des parallèles).à C A D o u C D A ,. O r ce
dernier'eft égal aux angles D C E , D E C , ou double
de l’ un d’eux, puifque CD & D E font égales
par la conftruétion : de plus l’ angle H C B eft égal
à DCE- ou D E C : conféquemment l’angle ACM
eft double de H C B , 8c A C B triple de H C B .
La duplication du cube.
Il eft aifé de doubler une furface reéli ligne ou
courbe quelconque, comme un cercle, un quatre,
un triangle, 8cc.; c’eft-à-dire, étant donnée une
de ces figurés, il. eft aifé d’en conftruire une fem-
blable qui en fait le double,ou un multiple quelconque
, ou dans une raifon donnée telle qu’on le
voudra : il n’eft queftion pour cela, que de trouver
la moyenne proportionnelle géométrique entre un
des cotés de la figure donnée 3 8c la ligne qui eft
à ce coté dans la raifort demandée : cette moyenne
fera le côté homologue à celui de la figure donnée.
Ainfi, pour décrire un cercle doublé d’un autre,
. f l faut prendre une moyene proportionnelle entre
. le diamètre du premier 8c le double-de ce diame- '
tre 5 ce fera celui du cercle double , ?çc. Il en eft
de même de toute autre raifon . Tout cela 'apparient
à la géométrie la plus élémentaire.
Mais, conftruire une figure folide d o u b le , ou
. en raifon donnée d’une autre femblable, eft un
problème bien plus difficile, 8c qui ne p e u t être
réfolu par le moyen du cercle 8c de la lig n e -d ro ite ,
ou de la regie 8c du compas, à moins qu^onm’emploie
un tâtonnement que la géométrie réprouve.*
c’eft ce qui eft aujourd’hui démontré 5 mais la de:
tnonfttation n’eft pas fufceptible. d’êtré fentie 4 e
tout le monde.
On fait une" hiftoire affez comique fur l’origine
de ce problème : on dit que la pefte régnant à
Athènes, 8c y faifant beaucoup de ravage, on
envoya à Delphes eonfulter Apollon, qui promit
de faire ceffer le fléaii, quand on lui auroit fait un
autel double de celui qu’ il avoit. Auffi-tôt des entrepreneurs
furent envoyés pour doubler l’autel.
Ils crurentm’avoir qu’à doubler toutes fes dimen-
fions pour remplir la demande de l’oracle , 8c parla
le firent oétuple ; mais le dieu, plus géomètre,
ne le vouloit que double. La pefte ne cefla point.
On envoya de nouveaux députés , qui reçurent
pour réponfe, que l’autel.étoit plus que double.
Il fallut alors tecourir aux géomètres, qui s’éver-
tuerént à chercher la folution dü problème. Il y
5 apparence que le dieu fe contenta d’une approximation
ou d’une folution méçhaniqué. Les peuples
d’Athènes auroient été à plaindre , s’il avoit
été plus exigeant.
Il n’étoit rien moins que néceffaire d’immifcer
une divinité dans cette affaire. Quoi de plus naturel
aux géomètres, que de chercher à doubler un
folide, 8c le cube en particulier, après avoir trouvé
la maniéré de doubler le quarré 8c les autres fur-
faces quelconques ? C ’eft là la marche de l ’efprit
humain dans la géométrie.
Les géomètres apperçurent bientôt que, tout
comme la duplication d’une furface quelconque fe
réduit à trouver une moyenne géométrique qntre
deux lignes, dont l’une eft double de l’autre, de
même la duplication du cube, ou d’ un folide quelconque,
fe réduit à trouver la première des deux
moyennes proportionnelles continues entre ces
mêmes lignes. On doit cette remarque à Hippocrate
de C hio, qui, de marchand de vin ruiné par
un naufrage, ou par les commis des aides d’atnè-
nes, devint géomètre. Depuis ce temps y tous les
efforts des géomètres fe font réduits à trouver
deux moyennes proportionnelles géométriques, 8c
continues entre deux lignes données ; 8c ces deux
problèmes , favoir , celui de la duplication du
cube, ou , plus généralement, de la conftruébion
d’utf cube en raifon donnée avec un centre, 8c
celui des deux moyennes proportionnelles continues,
font devenues fynonymes.
Voici différentes manières de réfoudre ce problème,
les unes qui exigént un.tâtonnement, les
autres qui emploient un inftrument autre que Ta
réglé 8c lé compas.
*• Soient les deux.lignes A B , A C , {fig. 1 1 ,
PL 7* ) entre lefquelles il s’agit de trouver deux
Moyennes proportionnelles continues. Formez-en
kre&angle B A D C , 8c prolongez indéfiniment les
Cotes A B , A C ; tirez; lès deux diagonales du rec-
raogle qui fe coupent en È : vous aurez la folution
du problème *. fi , tirant par l’angle D la ligne
FD G , terminée entre les côtés de l’angle droit
F AG , les points G 8c F font également éloigné«
du point E. ;Car alors les lignes A B , C G , B F ô
A C , feront en proportion continue.
Ou bien. Tracez du centre E un arc de cerdô
tel que F IG , qui foit tel ‘qu’en tirant F G , cette
ligne paflfe par l’angle D ; vous aurez encore lu
folution du problème.
Où bien encore, Circonfcrivez au re&angle B A
C D , un cercle ; enfuite, par l’angle D , tirez la
ligne F G , de forte que les fegmens F D , G H ,
foient égaux : vous aurez encore les lignes CG ,
B F , moyennes proportionnelles continues entre
A B , A C .
2. Autre Solution. Faites un angle droit avec
les deux lignes A B , BC données y. {fig. 8, pl. 7. )
8c ayant indéfiniment prolongé BC 8c A B , du
point B comme centré, décrivez le demi-cercle
DEA ; tirez auffi la ligne A C , 8c, fur la prolongation,
trouvez un point G , tel que*, tirant la
ligne DGH I, les fegmens G H , H I , foient égaux
entr’eux : la ligne BH fera la première des deux
moyennes.
3. Soit C A , { f ig . 13 , m êm e p l . 7. ) la premier©
des données ; du point C décrivez un cercle avec
le rayon CB ^ égal à la moitié de C A ; prenez dans
ce cercle la corde BD égale à la fécondé dés
données , que. vous prolongerez indéfiniment j
tirez la. ligne ADE indéfinie ; enfin, du point C ,
tirez la ligne C E F , de manière que la partie EF>
interceptée dans l ’angle E D F , foit égale à CB :
alors la ligne DF fera la première des moyennes
proportionnelles cherchées, 8c CE fera la fécondé.
Cette cônftruétion eft de Newton.
C o n firu S t io n s g éom é tr iq u e s f o r t a p p ro ch ée s d 'u n qu ar ré
: é g a l a u n cer c le , o u d ’u n e l ig n e d r o it e é g a le a la c i r c
o n fé r e n c e .c ir c u la ir e .
1. Soit le cercle B A D C , { f i g . 15 3 p l . 7. Amu-
f e jn e n s d e -G é om é tr ie . ) dont A C .eft un diamètre,
8c AB un quart de cercle; que A E , E D , D C ,
foiedt des cordes égales au rayon, 8c que du point
B on tire aux points E , D , lès lignes BE , BD ,
qui couperont le diamètre en F 8c G : la fomme
des ligties BF, FG y fera égale au quart de cercle,
à une y000e prèÿ. ’ '
2. Soit le cercle djont le diamètre eft A D , {fig.
9 ,* pl. 7. ) le centre C , 8c CB le rayon perpendiculaire
à ce diamètre. Soir prife dans la prolongation
de AD , la ligne DE égale au rayon ; foit
enfuite tirée BE* à laquelle on fera , dans la prolongation
de A E , la ligne EF égale ; enfin ajoute«
à ,cette ligne fa cinquième partie YG ; la ligne AG
féra, à moins d’une 17066e près, égale à la cio*
conférence du cercle décrit du rayon C A .
C c c c 2