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qu’ il remplira & fera fon petit jan ? ( fig* 4> 2*
Amufemens d‘arithmétique.
Il eft facile de voir que je remplirai par toutes
les combinaifons de des dans lefquelles il y aura
un cinq j ou un deux 3 ou un quatre , ou dans lefquelles
les dés feront enfemble cinq, quatre ou
deux. O r j des 36 combinaifons que peuvent former
deux dés j il y en a d’abord onze où il y a au
moins un cinq : il y en a pareillement onze où il
y a au moins un quatre ; mais les combinaifons
quatre-cinq &: cinq-quatre ayant déjà été employées
parmi les précédentes , nous n’en compterons
que neuf. On compte aufïi onze combinaifons
de dés où il fe trouve au moins un 2 5 mais ,
comme les combinaifons de deux-cinq & cinq-deux,
deux-quatre & quatre-deux ont déjà été employées
, on n’en doit compter que fept. On a
enfin les coups ambefas , un & trois , trois &: un,
qui font favorables pour remplir. Ainfi, fur les
trente-fix combinaifons des deux dés, il en a
trente avec lefquelles on remplira.Par conféquént
il y a 5 contre 1 à parier que , dans pareille pofi-
tion de dames , on fera fon petit jan.
Si l’on fuppofoit que la dame qui eft quatrième
fur la première flèche fût fur la troifième , alors il
feroit aifé de voir qu’ il n’y auroit abfolument que
jfonnez pour ne pas remplir > ainfi l’on pourroit
parier 35 contre 1 qu’on feroit fon petit jan.
Nous nous bornons à cette efquiffe de l’utilité
de la do&rine des combinaifons dans le jeu de
triélrac. Il y a d’autres queftions plus difficiles fur
ce jeu^que M. de Montmort a examinées dans fon
jEjfai d‘analyfe fur les jeux de hafard. Mais nous
invitons le leéteur à recourir à cet ouvrage.
P R o b 1 .1 m e X .
%Jn charlatan tenoit dans une foire te jeu. fuivant :
il avoit 6 dés dont chacun ri étoit marqué que fur
une face , 6?c. Vun de Vas 3 Vautre de deux ,
jufqu 'au fixiéme qui Vétoit de fix : on lui donnoit
une fomme quelconque 3 & il offrait de rembaurfer
xerit fais la mije , (i A en jettant ces 6 dés A on '
amenait en vingt fois tes Jix faces marquées. \
Lorfqu'on avait perdu , i l offroit la revanche fous \
tette condition 3 qu'on mît une nouvelle fomme
égale a ta première ; & i l s’engageait a rendre le
tout 3 fi on amenoït trois coups de fuite toutes
faces blanches. On demande quel étoit le fort des
joueurs ?
Ceux qui ne connoiffent point la route qu’il
faut tenir pour réfoudre les problèmes de cette nature
y font fujets à faire fur cette efpèce de dés un
raifonnement fort erroné > car 3 remarquant qu’il
y a cinq fois autant de faces blanches que de faces
marquées , ils en concluent qu’il y a y à parier
contre 1 , qu’en les jettant on n’amenera aucun
À R I
point. Ils font néanmoins dans l’erreur j & il y a
au contraire près de 2 contre 1 à parier qu’on nV
menera pas tout blanc : ce qu’on démontre ainfi.
Prenons un feul dé 3 il eft évident qu’ il y a c
contre 1 à. parier qu’on amènera blanc. Mais fi
nous y joignons un fécond dé 3 il eft aifé de voir
que la face marquée du premier peut fe combiner
avec chacune des faces blanches du fécond 3 & la
face marquée du fécond avec chacune des blanches
du premier 3 enfin la face marquée de l’une
avec la face marquée de l’ autre. Conféquemmer.t,
fur les 36 combinaifons des faces de ces deux désj
il y en a 11 où il y a au moins une face marquée.
Or nous avons déjà remarqué que ce nombre n
eft la différence du quarré au nombre 6 des faces
d’ un dé 3 avec le quarré de ce même nombre diminué
de l’unité3 ou de 5.
, Joignons un troifième d é , nous trouverons, par
une femblable analyfe , que 3 fur les-216! éombi-
naifons des faces de trois dés, il y en a 91 où il y
a au moins une face marquée j & ce- nombre 91
eft la différence du cu.be de 6 ovl 216 , avec le
cube de 5 ou 12 j . E t ainfi de fuite pour les cas plus
compofes. D’o u l’ on conclut que, fur les 46656
combinaifons des faces des 6 des en queftion, il y
en a 31031 où il y a au moins une face marquée ,
& 15625 où toutes les faces font blanches. Cofir
féquemment il y a près de deux contre un à parier
qu’on amènera au moins quelque point 5 tandis
que, fuivant le raifonnement ci-deffus, on trou-
voit qu’ il y avoit 5 contre 1 à parier pour le cas
contraire.
Cet exemple eft un de ceux qui peuvent fervir a
montrer combien , dans ces matières , on doit fé
défier de ces demi-lueurs qui fe prefentent du premier
abord. Je puis ajouter que l’ expérience eft
conforme au raifonnement ; car m’étant amufé,
un foir de défoeuvrement, à voir jouer à la ferme,
& ayant compté pendant plufieurs heures tous
les coups marqués de quelque point, tous les
choux-blancs, ( on appelle ainfi dans ce jeu les
coups où il n’y a aucune face marquée)., je trouvai
le nombre de ces derniers beaucoup moindre
que celui des p r em ie r s& dans un rapport qui ne
s’éloignoit guère de celui de un à deux. Mais revenons
à notre charlatan.
Il eft clair que, fur 16546656 combinaifons des
faces des 6 dés dont il eft queftion, il n’y en a
qu’une qui donne toutes les faces marquées en
aeffus j ainfi la probabilité de les amener en un
coup eft exprimée par 5. 8e, comme, on avoit
20 coups à jouer pour les amener, la probabilité
d’y réuflîr étoit de ce qui fe réduit à un peu
plus qu’une 2332e. Ainfi, pour jouer au pair,
l’homme en queftion auroit dû rembourfer 2332
fois la mife.Or il n offroit «que ioojbis cette mife j
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tonfëquetnmei't i l »’offroit qu envirbn ^ .v in g ti
è m e partie de ce qu'il auroit dû offrir pour
jouer i jeu égal. & il jouoit cbnfequemment avec
La revanchequ il offroit étoit une autre fuper-
cherie, pour le fuccès de laquelle il profitent habilement
de la propenfion où eft tout hommequi
11'a pas fuffifamment examiné la matière R de faire
le mauvais raifolihêment dont nous avons; parle
ci-deffus; & l'ond èvoit d'autant moins faire difficulté
d'accepter cette revanche, qu'il femble qu'il
y ait J contre t ' à parier quon amènera chou-
blanc chaqûe.coup, tandis qu’au contraire il y a
2 contre î à parier qu’on ne l'amènera pas. Or la
probabilité de ne pas amener chou-blanc en un
coup, étant à celle-de,l’amener comme 2 à i , il
fuit de-là que la probabilité de ne pas l'amener trois
fois de fuite, eft à celle, de l'amener, comme 8. eft
à i. Ainfi notre’ charlatan adroit.dû mettre 7
colitre’ i pour ’jbiiér a jèu égal:' cOÙféquemment il
donnoit la revanche d'un jeu où il avoit un avantage
à e ^ 'c b û t r e ü n 1, a un autre où1 il en avoit
encore un de 7 contre 1.*
P R O B L ï M E X" J.
En-combien de coups peut-bft parier au pair,, ape6
6 dés marqués far toutes leurs faces, quon amènera
1 . 1 . 5145b » “6 f ;t
Nous venons de voir qu’ il y auroit 46655 à
parier contre un qu’on n’ameneroit pas ces 6points
avec des dés marqués feulement fur une de leurs
faces: mais le cas eft bien différent avec 6 dés
marqués fur toutes leurs facësj & pour le faire
fentir, il fuffit de faire obferver què le point 1 ,
par exemple, peut être également amené par
chacun des dés, & ainfi de même le 2 , le 3 , & c j
ce qui rend le hafard des 6 points 1 , 2 , 3 , 4 ,
Src. incomparablement plus facile.
Mais, pour analyfer le problème plus exactement,
nous remarquons que pour,amener 1 , 2 ,
avec deux dés , il y a deux manières, favoir, 1
avec le 4é A éc 2 avec le dé B , ou 1 avec le dé B
& 2 avec le dé A . Pour amener 1 , 2 , 3 , avec trois
dés, fur la totalité des combinaifons de faces de
ces trois dés , il y en a fix qui donnent les points
1 , 2 , 3 : car on peut amener i avec le de A , 2
avec B , 3 avec D j ou 1 avec le dé A , 2 avec C ,
& 3 avec B j ou 1 avec le dé B , 2 avec le dé A ,
& 3 avec C j ou 1 avec le dé B , 2 avec le dé C ,
& 3 avec A j ou 1 avec le dé C , 2 avec A , ik 3
avec B; ou enfin 1 avec C , 2 avec B , & 3 avec A.
On voit donc par-là que , pour trouver les man
t e s dont on peut amener 1 , 2 , 3 , avec trois
dés, il faut multiplier les nombres 1 , 2 , 3 . De
même, pour trouver le nombre de manières d’a-
aaener 1 , 2 , 5 , 4 , avec quatre dés, il faudra mul-
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tiplier 1 , 2 , 3 ,4 , enfemble} ce qui donnera 24.
Enfin, pour trouver de combien de manières fix des
peuvent donner 1 , 2 , 3 ,4 , ,5 , 6 , il faudra multiplier
enfemble ces fix nombres , de l’on aura
72°.
Si l’on divîfe donc le nombre 46656, qui eft
celui des combinaifons des faces de fix dés, par
720, on aura 641 pour ce qu’il y aura à parier
contre un qu’ on n’amenera pas ces points en un
coup, & conféquemment on pourra prefque parier
au pair de les amener en foixaete - quatre
coups oc il y aura plus du double à parier contre
un qu’on les amènera en cent trente coups. Enfin i
comme on peut facilement tirer cent trente coups
de dés & plus en un quart-d’heure, on pourra
parier- , avec l’avantage de plus de 2 contre 1 , de
les amener dans.eet intervalle de temps* -
Celui qui faifoit la propofition de parier au pair
d’amener ces points en un quart-d’heure, comme
je l’ai oui dire à .quelques perfonnes qui avoient
parié contre, & qui y avoient perdu leur argent,
faifoit donc lin pari très-avantageux pour lui &
très-délavantageux pour eux. Ne devoit-il pas en
confcience leur rendre leur argent? La reponfe
peut s’en déduire de ce que nous venons de dire.
P r o b l è m e XI I.
Du Jeu des. fept Dés.
«cQuelqu un propofe dé jouer avec 7 des marqués
fur toutes leurs faces, aux conditions^ fui-
vantes : Celui qui tient le dé gagnera autant d’écus
qu’il amènera de 65 mais s’ il n’en amène aucun, il
paiera à celui qui parie contre, autant d’écus qu’il,
y à de dés , c eft-à-dire fept. On demande quel
rapport il y a entre leurs chances 33 ?
Peur ré foudre ce problème, il faut ranalyfe*
avec ordre. Suppolons donc qu’ il n’y eût qu uu
dé 5 il eft évident que , n’y ayant qu’un coup
pour celui qui tient le d é , & cinq contre lui 3 le
rapport des mifes devroit être celui de 1 à 5.
Ainfi, fi le premier donnoit un écu toutes les fois
qu’ il n’ ameneroit pas 6 , & ni en recevoit qu’un
lorfquil l’ameneroit , il joueroit à un jeu très-
inégal.
Suppofons maintenant deux dés. J’obferve que,
dans les 36 combinaifons différentes dont font
fufceptibles les faces de deux dés, il y en a 25 qui >
ne donnent point de 6 , qu’il y en a 10 qui en
donnent un, & une feule qui en donne deux. C e lui
qui tient le dé n’a donc que 11 coups qûi lui
foient favorables, dont 10 lui feront gagner cha.-
cune un é cu , & un lui en fera gagner deux : donc
fa chance pour gagner fera fuivant la règle générale
t§ X 3V , & comme, chacun des 25 Coups qui
ne donnent point de 6 arrivant, il devra payse.-