G * E O
cercle où eft ^nCçnptible la face de l’ eôiaedre, eft
OI64.
Enfin un calcul femblable montrera que celui du
cercle de la face de l’icofaedre eft 6070.
L e rayon du cercle circonfcriptible autour du
quarré dont le côté eft ïo o co , e ft, comme l'on
f à & i t f ' j o y i > ce qui donnera pour le rayon de la
face de l'exaedre, 8164.
Enfin, le côté d’un pentagone étant 10000,
•n a pour le rayon du cércle circonfcriptiblv ,
•506} ce qui donne pour le rayon de la face du
dodécaèdre, 6070.
y. Trouver l ’ouverture de campas dont d o it être décrit
f i r la fphère le cercle capable ae recevoir la fa c e
du corps rcg.lier.
Cela eftencoçé faciles car, E F , ( f i g . 7 , p i . 6 .
A m . fm e n s de Gèerm'trit.'\ étant le rayon du petit
©?rç!e de la fphere capable de recevoir cette face,
i l eft évident que Fï> eft Vouverture du compas
propre à décrire ce cercle fur la furface de 1a
%^ere. Or FE eft le finns de l’angle F C D , qui
fera coiTféquemmcnt donne, Se FD eft le double
«u finris de 1* moitié <te ce premier angle; ainfi
Y on trouvera F D , en cherchant d’abord dans les
tablés l ’angle FCD^fe partageant par la moitié,
cherchant le finus de cette moitié, & doublant
cé finus.
C e procédé donnera la valeur de FD ; pour le
cas dit tétraèdre , 117425 pourceur de l'.xaedre
&: de Folh ed re , 5^92 5 pour ceux du dodécaèdre
Joe de 1 icofaedre , 6408.
‘ 4. Trouver Vangle fo rm é p a r tes fa c e s des corps
réguliers.
Tracez un cercle auffi grand que vous pourrez,
« déterminez dans ce cercle le côté du corps ré-
ÇÿlUt dimsndé | abaiffez. tniiiîte du centre Ta péril
■ ndiculaiie fur ce côté : ce fera le diamètre d’un
jecond cerçh que vous décrirez. Je fuppofe que
■ «e diamètre fort AB. i Jîg. S . p i . 6 . ) n
Décrivez après cela, fur le côté du corps régulier
trouvé , le polygone convenable , ou du
irio ns cherchez Je centre do cercle eirconfcrip-
fcWe à ce polygone „ & de ce centre , abaiffez fur
* cote trouvé une perpendiculaire j faites dans le
fécond cercle ci-delfus, les Bgnes A D ,. A C
égales à cette perpendiculaire : vousaurez l’anzle i
D A C égal à l ’angle cherché.
On trouve »u re lie , par le calcul, que cet '
anele e lf pour le tétraèdre , de 70“ ^ l ' y pour I
*exa: dre , de q r ; f ce qu’on favoit déjà, c ir les
fcces du cube font perpendiculaires les unes fur |
les aunes) pour l ’oftadr«., de 105« 28'j pour le {
G E O
d o d é c a è d r e , d e n é » 34’ ; p o u r l 'i c o f a e d r s , &
>3« ................ .
Réunifions toutes ces dimenlïons dans une table
oiVhous fuppofons le rayon de la fphère de ioooô
parties.
j 'V 0 M S
ietGorp régic
k f s
Faç-i
Rayent Difian. J 4nel s 1
utsc m . i n
Tétraèdre
Exaedre
Débit: dre
Dodocaedre.
Icolaedre
. 6 3 2 9
11546
• W
10514
^ 1 0 11741
01^4 9192
8164 9192
( 0 7 0 6408
6 0 70 64c 8
7 ° “ j z l
9c0
109“ i t |
1 1 6 ° 34'
138°
II eft maintenant facile de tracer, de l’unt ou
d e l autre manière, uu corps régulitt quelconqus
demandé.
Première manière. Qu’on a it, par exemple, une
fphère dont on veut former un dodécaèdre. Décrivez
un cercle dont le diamètre foie égal à celui
de la fphère, & déterminez-y le côté du dodécaèdre
, ou le côté du pentagone qui eft une de
fes faces > le rayon du cercle circonfcrît à ce pentagone
, & l’ouverture du. compas propre à le décrire
fur la Shè re . Cela.eft tacite, pa* tes déterminations
géométriques ci-deflu>. -
O u bien ,, fuppofànt le rayon de la fphere pro-
pofée de ioooo parties, prenez , fur une échei
le , 6a o 8 de ces partie s , qui feront l'ouverture
du compas avec lequel vous décrirez ftir la fur-
face de la fphere un cercle , fur la circonférence
u.. que F vous déterminerez les cinq angles
du pentagone inf riptible 5 de deux points voi-
fins , avec la mén e ouverture de compas que ci-
deffus, décrivez deux a n , dont l'imeruétioi
fera le pôle d'un nouveau c rde égft au premier $
faites-en ainfi de deux en deux points 5 Se vous
aurez les cinq pôles des cinq faces qui s'appuient
fur la première * Vous dctezinihrrez de même
facilement fes autres pôles, dont 1e dernier, fi
F opération eft exalte , doit être diamétralement
eçpofé au premier. Enfin , d e ces douze potes,
décrivez deux cercles égaux , qui fe trouveront
tous coupés eo cinq parties égalés; ils détermineront
douz ferments de la fphere , qui ,a
étant abattus , laifi< ront à découvert, tes, douze
faces du dodécaèdre cherché*
Seconde manière.. Pour opérer de c e r e fécondé
manière , il faut commencer à d é o u v r ir dans
le bloc profiofe une face plane, fur laquelle on
décrira le polygone qui convient an corps rééulief
demandé y-©n abattra-'nftiin, fijf chaque côté de
c e polygone un nouveau plan, incliné fuivant
l’angle detLiminé dans la table ci*-defiüs , ou qui
aura été tracé par le moyen de la» ce ft^-éhon
géométrique qu’on a auffi donnée plus haut : «h
G E O
aura autant de faces planes, fur lefquelles on
décrira de nouveaux polygones, qui auront avec
Je premier un côté -commun, Failànt la même
chofe fur ces polygones , vous arriverez enfin
au dernier , qui doit être parfaitement égal au
premier, fi l’on a opéré avec exactitude.
Obfervons néanmoins que la première méthode
eft celle qui conduira plus furement à la parfaite
exactitude.
f, Former le s mêmes corps avec du carton.
Si l’on vouloit former ces corps avec du carton
ou du papier fo r t , il faudroit s’y prendre de la
manière fuivante, qui eft la plus commode.
Tracez d’abord fur le carton toutes les faces
du corps demandé ( fig. 9 , pl. 6 , ) fçavoir ,
les quatre triangles pour le tétraèdre , les fix
uarrés du cube , les huit triangles équilatéraux
e FoCtaedre, les douze pentagones du dodécaèdre
, fig. 5 , & 6 y p l . 3 ) les douze triangles
équilatéraux enfin : vous en découperez enfuite
les bords ; après quoi il fera aife de plier les
feceî dans leurs cotés communs, de manière
quelles fe réunifient toutes : puis , en collant
8yc du papier fin les côtés qui fe touchent
fan* fe tenir, vous aurez un corps régulier exécuté.
Les anciens géomètres avoient entafie beaucoup
d‘. fpéculations géométriques fur ces corps :
tés derniers livres des éléments d’Euclide n'ont
prefqueque cet objet. Un commentateur moderne
C 'uclide fM . de Foix Candalle) â même encore
enchéri fur ces fpéculations , en inferivant ces
Corps les uns dans les autres, & en les comparant
fo^s divt rs afpeéts ; mais tout cela n’eft plus regardé
aujourd'hui que comme de vaines recherches.
Files furent iuggérées aux anctens, par la per-
llnfion où ils étoient que ces corps avoient des
propriétés myftérieuf s , de la découverte desquelles
dépendoit l’explication des phénomènes
le ; plus cachés de la nature. Ils comparoient avec
ces corps les éléments , les orbes céleftes , que
fais-je encore ? Mais depuis que la faine phyfique
a pris le defius, l’énergie prétendue de«- nombres ,
& celle des corps réguliers dans la nature, ont
été reléguées parmi 1; s v riions creufe s <fe F enfance
«e la philofopnie &r duplatonifme. N ous pafferons,
par ces raifons, fous filence ces fpéculations,* Se
Jous nous bornerons à un problème afiez curieux
fur le cube ou l’exaedre.
ïtrctr un. cube d’une ouverture y par laque lie peut p afi r
un a^tre cube égal au fumier.
*1 Ton conçoit un cube élevé fur bit de fès
jes ï jfe f° rte que la diagonale pafiari par c e t
foir perpendiculaire au plan qu’ il téuche
* ^4e i de chacun des angles qui font en Fait j
6 E O s6S
on conçoive une perpendiculaire abaifiee fur ce
plan , la projelfion qui en réfultera fera un exa-
gone régulier, dont chaque coté & chaque rayon
fe trouvera ainfi.
Sur une ligne verticale AB { fig . 10 , p l. é Am u -
fem ens de Géométrie ) égale à la diagonale du cube ,
ou dont le quarré foit triple de celui du cu b e ,
foit décrit un demi-cercle , dans lequel foit faite
A C égale au côté du cube , & AD égale à la
diagonale d’une de fes faces ; & , du point C ']
foit abaifiee fur l’horizontale tangente du cercle
en B , la perpendiculaire C E , qui. paftera par
le point D : vous aurez BE pour le côté & le
rayon de 1 hexagone cherché at>cd, ( fig. 11 , p l . 6
ibid.
Cela étant, qu’on décrive fur cette projeltion
hexagonale, & autour du même centre, le quarré
ui eft la projeûion du cube propofé mis fur une
e fes baies , enforte que fes côtés foient l’un parallèle
& l’autre perpendiculaire au diamètre ac 5
on peut démontrer que ce quarré fera contenu
dans l’hexagone, douanière a ne toucher par les
angles"- aucun des j&rés : donc on peut percer
dans le cube , & dans le fens parallèle à une de
fes diagonales , un trou quarré égal à: une des
bafes du cube , & cela fans folution de continuité
d’aucun côté ; & par conféquent on pourra
faire palfer .dans ce cube un autre cube égal y
pourvu qu’il fe meuve dans le fens de là diagonale
du premier.
D ’un tra it de com p as , b fans en changer f ouverture
n i varier le centrer décrire une o vale.
Cette efpèce de problème rc'eft qu’une furprife,
car on ne fpécifie point fôr quel genre de furface
on doit tracer la courbe cherchée. Celui à qui
l’rni propofe le problème longe a une furface plane,
& le juge impoiiible , comme il Feft en effet j tandis
qu’il eft queftion d’une furface courbe, fur te»
quelle i l eft aifé à exécuter. •
En effe t, qu’on étende fur une furface cylindrique
une feuille de papier , Se qu'appuyant
fur fui point quelconque le compas, oatracr fur
r e f ît furface une efpèce de cercle ; qu'on déploie
enfuite en plan cette feuille : il eft A id ent qu'on
aura une figure alongée, dont le plus court diamètre
fera dans le fensqui répondoit à celui de Faxe du.
cylindre.
Mais ©n1 fe tromperoit, lî l’ion prenoit cette
courbe pour te vraie ovale , fi connue des géo^
métrés^ r
V o ic i la- description de cette demière.-
& écrire V o vale ett V ê ll iy j i géométrique*-
L’ovale géotoétrh ïte eft* une courbe qui a-detnr
axes inégaux Se qui « fur foa. grand «&e .den$-