que. .ces bandes foient réparées par un intervalle
'convenable pour les mieux diftinguer ; enfin , que
tous les quarrés du même ordre, dans chacune
de ces bandes, foient tellement efpacés qu'ils fe
répondent perpendiculairement les uns aux -autres
; vous pourrez, par le moyen de cette machine
, faire les diverfes opérations d'arithmétique.
On s’eft borné ici à repréfenter une addition
de quatre nombres, & leur fomme , fui-
vantles deux manières. ( Ibid, fig. 2, nQ. 2 ,
Cette machine ingénieufe ne fervoît pas feulement
à Saunderfon pour les opérations de l'arithmétique
; il s'en fervoit aufli à repréfenter des
figures de géométrie , en plaçant fes épingles,
& tendant des filets de l’une à l'autre. Mais eh
voilà affez fur ce fujet. Ceux à qui ceci ne fuf-
firoit pas , n'ont qu’à confulter l’algèbre de Saun-
derfon, traduite par M. de Joncourt en 1756,
8c qui f© débite chez Jombert ; où la traduction
des élémens abrégés de \V o lf, où cette
arithmétique palpable eft expliquée au long , &
peut-être pas plus clairement qu’ici.
Multiplier 11 U n ƒ. i l den. par t i l . 11 f . 11 d.
' J’ai vu propofer ce problème par un arithméticien
juré. C é to it l'épreuve à laquelle il mettoit
la capacité d’un jeune homme qu’on lui annon-
çoit comme poffédant bien l’arithmétique. Il «voit
raifon, quoiquè peut-être il n’en fentît pas la
difficulté : car ce problème, indépendamment de
l’embarras qui réfulte de' la multiplication de
•quantités de diverfes efpèces , 8c de leur réduction,
eft propre à éprouver l’intelligence d’ un
arithméticien.
On eût pu en effet peut-être embarraffer, par
une queftion fort fimple, celui qui propofoit cette
opération : c’eût été en demandant quelle nature
de produit étoit celle de livres, fous &
deniers , multipliés par des livre s, fous 8c deniers.
Nous favons que. celui d’une toife par
une toife eft repréfenté par une toife quarrée, parce
qu’on eft convenu en géométrie d’appeller
toife quarrée, la furface quarrée ayant une toife
de hauteur fur une toife de bafej 8c 6 toifes
par 4 donnent 24 toifes quarrées, parce que la
furface re&angle ayant fix toifes fur quatre, contient
24 toifes quarréesj comme le produit de
4 par 6 contient 24 unités. Mais qui dira ce
ue c’eft que le produit d’un fou par un fou ,
’ un fou par une liv re , &c?
La queftion confidérée fous cet afpedt eft donc
abfurde ; ce que ne fent pas le vulgaire des arithméticiens.
On peut néanmoins la confidérer fous divers
points de vue qui la rendent fufceptible de folution.
Le premier eft de faire attention que I*
livre contient 20 fous ou 240 deniers ; enforte
qu’on peut réduire le problème à celui-ci en nombres
abitraits :j multiplier 11 plus ~ plus par
n plus ~ plus alors le produit fera 154
plus T|. plus plus
La fécondé manière d’envifager k queftion eft
celle-ci. Tout produit eft le quatrième terme d’une
proportion dont le premier terme eft l’unité, &
dont. les deux quantités à multiplier font; les
deuxième 8c troilième termes. Ainii il n’eft quei-
tion que de fixer le genre d’unité qui doit être
le premier terme de la proportion.
On peut dire, par exemple,, fi une livre employée
dans telle entreprife a produit 11 l . n f.
11 deniers., combien produiront 11 1 . u .fi n
deniers. Alors le produit fera le même que ci-
defius, favoir 134 I* 9 f. 3 d. de denier^
Mais cette^ même unité pourroit être 1 fou :
car qui empêcheroit de former cette queftion:
Si unf. a produit 1 1 1 . i l f. n-deniers, combien
doivent produire u 1. 11 f. n deniers? Alors
le produit fera 2689. 1- ƒ f. 4 d. & & de den.
Enfin cette unité pourroit être 1 denier > &
le produit feroit alors £2271 1. 4 f. 1 denier.
• De quelques propriétés des nombres.
Il ne fera pas ici queftion de propriétés des
nombres qui occupèrent tant les anciens , 8c dans
lefquelles, ils trouvoient tant de vertus myfté-
rieufes. Pour peu qu’on foit doué d’un eiprit
dégage de crédulité , on ne peut s'empêcher de
rire en voyant le bon chanoine de Cézène, Pierre
Bungo, raffembler dans un volume in-40, intitulé
de Myfteriis Numerorum , toutes les fottifes
que Nicomaque, Ptolémée, Porphyre, 8c divers
autres anciens, avoient puérilement débitées fur
les nombres. Comment a-t-il pu entrer dan^des
efprits raifonpables, d'attribuer une énergie, phy-
fique à des êtres purement métaphyfiques ? Car
les nombres ne font que pures appréhenfions de
l'efprit conféquemment ils ne ^auraient ayoir
aucune influence dans la nature.
Il ne peut donc y avoir que des bonnes-femmes
ou des fots qui puiffent croire aux vertus des
nombres. Si, de treize perfonnes aflifes à la même
table, on a vu fréquemment en périr une dans
l'année , il a encore bien plus de probabilité qu’il
en » périra une, fi l'on eft vingt-quatre.
I.
Le nombre 9 a ceçte propriété , que les chiffres
compoferit fes multiples, ajoutés eiifemble,
font toujours aufli un multiple de 9 5 enforte que
les additionnant, 8c rejettant 9 toutes les fois
que la fomme furpaffe ce nombre, le refte eft
toujours zéro. Cela fe remarque facilement dans
les multiples de 9 , comme 1 8 , 2 7 , 3é , & c . 8cc.
Cette obfervation eft utile pour reconnoitre
fi -un nombre eft divifible par 9 : car toutes les
fo is que les chiffres qui l’expriment, étant ajoutés
enfemble, font 9 ou un de fes multiples, on
peut être affuré que le nombre eft divifible par
9 , 8c conféquemment par 3.
Mais cette propriété eft-elle unique ou particulière
au nombre 9? Non. Le nombre 3 a une
propriété tout-à-fâit fepablable. Qu'on, ajoute les
chiffres qui expriment un multiple quelconque
de 3 , on verra que leur fomme eft pareillement
' toujours multiple de 3 ; & quand le nombre pjo-
pofé ne fera pas un pareil multiple , ce qu’ ôn
trouvera en fus de ce multiple en additionnant
les chiffres, fera aufli ce dont le nombre y>ro^
pôle eût dû être diminué ,, pour être divifible
par trois fans refte*
On peut employer cette remarque pour reconnoitre,
pour ainfi dire, au premier coup-d’oeil,
fi une fomme propofée eft payable en écus., fans,
refte : car fi cette fomme eft "telle , que les chiffrés
quiT’expriment, ajoutés :enfemblé, faûent 3
ou uff multiple de 3,, elle fera payable fans refte
en .ecus., favoir de fix livres fi elle eft paire., 8 c
de. trois livrés fi elle eft impairé,. Si les. nombres
qui expriment la fomme en queftion, forment par .
leur addition un nombre qui excède 3 ou un
multiple d e 3 , ce dont il excédera ce multiple,
fera le nombre des livres en fus , qu’il faudra
ajouter, aux.écus. Par exemple, foit propofée la
fomme de 1343 l i v r e s l a . fomme des chiffres
1 , 3 , 4 , 3 faifant 11 , ce qui furpaffe de 2 le
plus prochain multiple. de 13 , on pourra affurer
que, pour payer cette fomme , il faudra un certain
nombre d’écus de trois livres & quarante
fous;. par., otant 2 , le refte eft 1341 , qui eft
payable .en ecus. de trois livres, ainfi qu’il eft
aifé de s’ en affurer.
- De même on trouvera que la fomme 13 27 eft
payable en écus de .fix livres, avec vingt fous :
car ces quatre chiffres font 13 , qui excèdent
12 de 1 j o r , ôtant 1 de 1 327, reftent 1326,
nombre qui eft pair, 8 c dont lès chiffres faifant
12, multiple de 3 , indiquent que la fomme eft
payable .en écus. de fix livres. En e f fe t ,/ 1326
livres font 221 écus de fix livres. .
Nous ne devons'pas omettre ici une obfervation
''très-ingénieufe de l’auteur de l’hiftoire de
l'académie dés.’fçiencès (année. 1726 j c’ eft que,
fi nous euflions adopté un fyftême dé numération
différent de celui qui eft en ufage, par exemple
, celui de la progreflion duodécuple, nous
verrions le nombre onze , ou en général l’avant-
dernier de la période, jouir de la même propriété
dont jouit le nombre neuf dans le fyftême
aCtuel de numération. Prenons en; effet un multiple
de onze, comme neuf cents cinquante-fept ;
exprimons-les en chiffres fuivant ce fyftême; ce
fera 7<pj ; or 7 8 c <p font dix-fept, 8 c %font
vingt-deux, qui eft un multiple de onze.
■ Nous n'entreprendrons pas ici de démontrer
comment cette propriété e f t , pour ainfi dire ,
attachée à l’avant-dernier nombre de-la période'
adoptée pour la numération ; cela- nous enga-
gë-roit dans une analyfe un peu trop compliquée.
Nous laiffons le leâeur s’exercer. V i l l e juge z
propos, fur .ee fujet.
I I.
Tout nombre quarré, finit néçeffairement par
un de cës cinq chiffres,: 1 , 4 , ‘ y , 6 3 9; ou par
des zéros, en nombre pair , précédés de l ’un - de
ces chiffres. Cela eft aifé à démontrer,, 8c utile
pour reconnoître quand ‘ un nombre n’eft pas.
quarré. Nous difons pour reconnoître quand un:
nombre n’eft pas quarré ; car , quoiqu’ un nombre
finiffe comme on vient de dire, il n’eft ce-
! pendant pas toujours un quarré parfait 3 mais du
moins, quand il ne finit pas. de cette mapière ,
; on eft sûr qu’il ne l’eft: pas ; ce qui évite des tea-
! tatiyes inutiles
Quant aux nombres cubes, ils peuvent finir
par tous les nombres fans exception ; mais s’ils
fe terminent par des zéros , il faut qu’ils foient
au nombre de, trois , ou f ix , ou neuf, 8cc.
I I I .
Tout nombre quarré ou eft divifible par .trois,1
•ou le devient étant diminué de l’unité. Il .eft facile,
d’en faire l ’épreuve fur tel quarré qu'on voudra.
Ainfi 4 moins 1 , 16 moins 1., z j moins 1,
; 49 moins 1 , 121 moins 1 ', &c. font divifibles
par 3 5 & ainfi des autres : ce qu'on peut démontrer
directement.
Tout quarré eft encore divifible par quatre,
ou le devient étant diminué de l’unité. Il eft
■ également facile de l’éprouver.
Tout quarré eft aufli divifible par cinq, ou
, le devient étant augmenté ou diminué de l’unité;
ce qu’on peut également démontrer, Ainfi-
i 36 7 1 3 49 + 1 j 64 "+■ 1 3 81 — 1 , 8cc, font
I divifibles par y.
T out quarré impair eft un multiple de 8 , aug