Mais fi quelqu'un parioit d’amener a au premier
coup & d au fécond3 alors le cas feroit bien différent,
& il faudroit faire attention à l'ordre fui^
vaut lequel ces quatre lettres peuvent être prifes
& arrangées enfemble deux a deux : l'on verra
facilement que ces manières font, ab 3 ba3 ac3 ca,
a d d a t bc 3 cb y bd, db 3 cd3 de. Pareillement ces
quatre lettres pourroient fe combiner & s'arranger
trois à trois de ces vingt-quatre façons, abc y acb ,
bac y bca, cab 3 cba3 adb, abd3 dba, dab 3 b ad 3 bda 3
acd, adey dacy de a , cad, cday bed, dbc3 cbd,
bdc, cdb 3 deb ; & l'on ne fauroit en trouver
davantage. C ’eft ce qu'on appelle permutations &
changcmens d’ordre.
P r o b l è m e I.
jEtant donné un nombre quelconque de chofes , déterminer
de combien de maniérés elles fe peuvent combiner
deux a deux , trois à trois , &c. fans égard d Vordre.
La folution de ce problème eft facile en faifant
ufage du triangle arithmétique. Si vous avez huit
chofes à combiner trois à trois, par exemple j prenez
la neuvième bande verticale, ( c eîl-a-dire
toujours celle dont le quantième eft exprime par
un nombre excédant de l'unité celui des chofes a
combiner)j prenez enfuite la quatrième bande
horizontale, ( c'eft-à-dire celle dont le quantième
eft d’une unité plus grand que le nombre des chofes
à prendre enfemble) ; vous trouverez dans la café
commune le nombre de combinaifons cherché : il
eft, dans l'exemple préfent, égal à 56.
Mais l’on peut ne pas avoir fous fa main un
triangle arithmétique, ou bien le nombre des
chofes à combiner peut être trop confidérable
pour fe trouver dans cette table ; v o ic i, dans ce
cas, une autre méthode très-fimple.
Le nombre dés chofes à combiner étant donné,
ainfi que la manière dont elles doivent être prifes,
favoir, ou deux à deux, ou trois à trois, & c .
« i ° . Formez deux progreffions arithmétiques ,
l’une, dont les termes aillent en décroiffant de
l ’unité, à commencer par le nombre donné des
chofes à combiner ; l'autre, celle des nombres
naturels 1 , z , 3 , 4 , & c .»
« 20. Après cela, prenez de chacune autant de
termes qu'il y a de chofes à prendre, enfemble
dans la combinaifon propofée ; »
ce 3P. Multipliez enfemble les termes de la pre-?
mière progreffion, & faites-en autant de ceux de
la féconde $ »
« 4 ° . DiYÎfez enfin le premier produit p a r le
fécond : le quotient fera le nombre des combinai- I
fons demandé. »
Cette règle a été trouvée par une induélion des I
cas les plus fimples aux plus compliqués. Mais il I
feroit trop long d'entrer ici dans ce détail ; on I
peut recourir aux livres qui traitent fpécialement
de ces matières : nous nous bornerons à donner I
quelques exemples de l'application de la méthode. I
§. I.
De combien de manières fe peuvent prendre 90 numéros I
combines deux a deux ? *
Suivant la règle ci-deffus, il faut multiplier 90
par 89 , & divifer le produit 8010 par le produit I
de 1 & 2 , c'eft-à-dire par 1 ; le quotient 4005 I
eft le nombre des combinaifons deux à deux qui I
peuvent réfulter de 90 nombres.
Si l'on demandoit de combien de manières les I
mêmes nombres peuvent être combinés trois à I
trois , la réponfe feroit auffi facile : il n’y auroit I
qu'à multiplier enfemble 9 0 ,8 9 ,8 8 , & divifer I
le produit, qui eft 704880, par celui des trois I
nombres 1 ,2 , 3 ; le quotient 117480 eft le nombre I
cherché.
On trouvera de même que 90 nombres fe peu- I
vent combiner quatre à quatre de 2 5 1 9 0 ma- I
nières, favoir, en divifant le produit ae 90, 89, I
88, 87, par 24, produit de 1 , 2 , 3 ,4 .
Enfin , fi l'on çherchoit quel feroit le nombre I
des combinaifons cinq à cinq dont feroient fufeep- I
tibles les mêmes 90 nombres, on trouveroit, ea E
fuivant la même règle, qu'il y en a 43949268.
§. I I.
Si l’on demandoit combien les fept planètes I
peuvent former entr elles de differentes conjonStions I
deux d deux y il feroit aifé de répondre 21 : car, I
fuivant la règle générale, il faut multiplier 7 par 6, I
ce qui donne 42 , & divifer ce nômbre par le pre- I
duit de 1 .& 2 , c'eft-à-dire par 2 : le quotient eft I
donc 21.
Si l'on vouloit abfoîument favoir quel eft le I
nombre de conjonétions poffibles de ces fept pla- I
netes, deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, I
& c . on en trouveroit 120, en cherchant réparé’- I
ment le nombre des conjon&ions deux à deux, I
celui des conjon&ions trois à trois, & c. & les
additionnant enfemble.
On pourroit encore y parvenir en ajoutant les
fept termes de la progreflion géométrique double,
1 , ix 8 , 16 , 32, 64; ce qui donne 127. Mais
; i e ce nombre on doit ôter y , à caufe que, quand I
; en parle de eonjonâion de planete, il taut evi-
f demmentqu elles foient réunies enfemble au moins
deuxj car le nombre n y comprend abfoîument
toutes les manières dont fept chofes peuvent etre
prifes une à une, deux à'deux, trois à trois, & c .
Or de ce1 nombre il faut ôter dans la queftion
I préfenèe, celui où les chofes font prifes une à
1 une, puifqu’une plânete ifolée ne fart pas une
\ conjon&ion.
P R O B L E M E II.
I TJn nombre quelconque de chofes étant donné, trou-
I ver de combien de manières elles peuvent être
1 arrangées.
I La folution de ce problème eft facile en fe fer-
I vant de la voie d'induétion. En effet,
1Q. Une chofe a ne peut être arrangée que d'une
I manière : le nombre des arrangemens eft donc ,
B dans ce cas, = 1 .
[ 2°. Deux chofes peuvent être arrangées entre
1 elles de deux manières ; ainfi, avec les lettres
I a & b ; on peut faire les arrangemens ab & ba :
1 le nombre des arrangemens eft donc égal à 2 , ou
jfi au produit de 1 & 2.
I 3°. Les arrangemèns de trois chofes, a 3 b , c 3
Jj font au nombre de fix : car ab peut en former,
.j avec la troifième c 3 trois différens, abc3 acb, cab>
B & ba en formera aufli trois différens, bac 3 bca 3
B cba : & il ne fçauroit y en avoir davantage. Le
1 nombre cherché eft&donc évidemment égal au
■ précédent multipliéiptr 3 , ou égal au produit de
s 1 ,2 & 3.
I 4®. Ajoutons une quatrième chofe, défignée
I par <L: il eft évident que chacun des arrangemens
■ précedens fe combinant de quatre façons avec
B cette quatrième chofe, ce nombre doit être mul-
; tiplié par 4 , pour avoir celui des arrangemens
B lefultans de quatre chofes ; c'eft-à-dire qu'il fera
1 24,' ou le produit de 1 , 2 , y , 4.
où deux font les mêmes, ne font plus fufceptibles
que de 12 arrangemens au lieu de 24 5 que cinq
où deux font répétées, n’en peuvent plus faire
que 60 au lieu de 120.
Mais f i , dans quatre chofes, la même y étoit
répétée trois fois , il n'y auroit plus que 4 combinaifons
au lieu de 24} cinq chofes où Ja même
feroit .répétée trois fo is , n en donneroient plus
que 20 au lieu de 120, ou la fixième partie, W
Or le nombre 2 eft celui des arrangemens dont
font fufceptibles deux chofes différentes, le nombre
6 eft celui des arrangemens de trois chofes
différentes} d'où fuit la règle fuivante :
cc Lorfque, dans, un nombre de chofes dont on
cherche les arrangemens différens, la même s'y
trouve répétée plufieurs fois, divifez le nombre
des arrangemens que donne la règle générale
par le nombre d'arrangemens que donneroient
les chofes répétées, fi elles étoient différentes 5
le quotient fera le nombre cherché ».
2°. S i, dans le nombre des chofes dont on demande
les arrangemens différens, il s'en trouve
plufieurs qui foient répétées plufieurs fois, une ,
deux fois, par exemple, & l'autre trois, il n'y aura
qu'à chercher le nombre des arrangemens fuivant
la règle générale , & le divifer par le produit des
nombres qui exprimeroient les arrangemens dont
feroit fufceptible chacune des chofes répétées, fi,
au lieu d'être la même, elles étoient différentes.
Ainfi, dans le cas préfent, les chofes répétées
deux fois étant fufceptibles de deux arrangemens
fi elles etoient différentes, & celles qui le font
trois fois pouvant donner fix arrangemens fi elles
n'étôient point répétées, on multipliera 6 par 2 ,
& le produit 12 donnera le nombre par lequel il
faut divifer celui qu'on trouve par la règle générale.
Ces cinq lettres, par exemple,a 3 a 3 b3 b3 b,
peuvent s'arranger de 10 manières feulement> car,
fi ellePetoient différentes, elles donneroient 120
arrangemens; mais l'une étant répétée deux fois,
& l’ autre trois, il faut divifer 120 par le produit
de 2 & 3 , ou par 1 2 , ce qui donne 10.
On peut, d’après* la folution de ce problème ,
réfoudre les queftions fuivantes.
Il eft inutile d'aller plus avant ; & rien n'eft
plus facile hue d’appércevoir qu'un nombre quelconque
de cnofes étant donné, on aura le nombre
d arrangemens dont elles font fufceptibles, en multipliait
enfemble autant de termes de la progreffion
géométrique, qu'il y a de chofes propofées.
l° . Il peut fe faire que, parmi les chofes propofées,
la même fe trouve répétée plufieurs rois-;
comme fi l'on demandoit de combien de manières
ces quatre lettres a3 a 3 b3 c 3 peuvent être arrangées
enfemblé; alors on trouve que quatre chofes
§. I.
Sept perfonnes devant dîner enfemble, i l s ’élève
entr elles un combat de politeffe fur les places ;
enfin , quelqu’un voulant terminer la contefiation ,
propofe de fe mettre d table comme ion fe trouve ,
fa u f d dîner enfemble le lendemain & les jours
fuivans yjufqua ce quon ait épuifé tous les arrangemens
poffibles. On demande combien de dîners
devront être donnés pour cet effet ?
Il eft aifé de répondre qu'il ep.faudroit 5040,
j .ce qui exigeroit 13 ans & plus de 9 mois.