bafe & de même hauteur font égaux , & qu'en en
retranchant le triangle AFL qui leur eft commun ,
le- triangle LFD fera égal au triangle ALB 5
ce qui aura également lieu pour le triangle CMG
qu'on peut aufli . retrancher • des-deux triangles
égaux BCG & CEG.
Divifer une ligne quelconque en tel nombre de parties
égales quon voudra , fans fe fervir de com*
pas.
Soit AB (fig. 3 1 , pl. 3 ) la ligne qu'on veut , par
exemple 3 divifer en trois parties égalés y menez
à difcrétion par ces deux extrémités A & B les
lignes parallèles & indéfinies A C & BD j prenez
fur la ligne A C un point quelconque & menez
la ligne EH parallèle à A C (1)5 tirez la ligne E
B ; & mefiez-lui la parallèle FH 5 faites FG parallèle
à EH 3 & CG parallèle à FH j tirèz la ligne
G B , & menez-lui les parallèles FI & EL qui
partageront la ligne propofée AB en trois parties
égales 3 attendu qu'au moyen de cette conftruc-
tion les triangles A E L , \ AFI & ACB font
équiangles.
Nota. Cette ingénieufe méthode' peut s'employer
particulièrement lorfqu'on veut partager
une ligne en certains nombres de parties qui n'ont
point de divifèurs,ce qu'on ne peut faire avec le
compas qu'en tâtonnant y elle peut fervir aufli
fur le terrëîn , lorfque l'efpace qu'on .veut partager
eft entrecoupé par des objets qui en ren-
droient la divifion fort difficile.
Connoijfant dans deux dijférens triangles un de leurs
côtés & l'angle qui eft oppôfé a chacun d'eux 3
trouver les deux autres côtés. -
Suivant les principes de la trigonométrie , on
11e peut trouver les deux côtés inconnus d’un
triangle fans connoître l’autre côté & deux de fes
angles j voici cependant une circonftance où il
femble qu'il fuffit d’en connoître un côté & un
angle : il y à , il eft vrai , une petite fupercherie
dans cette récréation 3 (qui eft d’ailleurs fort
ingénieufe) 3 en ce qu'on fuppofe , premièrement 3
que les deux côtés connus de ces triangles forment
une feule ligne droite y fecondement , en ce
que çette propofition ne désignant qu’un angle ,
ne peut déterminer la longueur des côtés inconnus
, puifqu'il eft aifé ., fans s'écartér de la- condition
qu'elle impofe de former une infinité de
triangles différens 3 dont tous les angles oppofés
au côté connu feront égaux.
i- . ,, , p , > *• tuigic uppoie a la
ligne AB de 35 degres, & celui oppôfe à la ligne
^BC de zo degrés 5 élevez aux deux extrémités
A & B de la ligne AB les deux perpendiculaires
indéfinies AE & BG ; faites avec le rapporteur
l’angle EAI , & celui IBG chacun de v-
degrés $ & du point I où lès lignes AI & BI fe
croifent , & de l'intervalle AI décrivez le cercle
ABD i élevez à l'extrémité C de. la ligne BC la
perpendiculaire CH ; faites l'angle GBL & celui
LCH 3 chacun de 20 degrés 5 du point L où les
lignes LB & LC fe croifent,& de l’intervalle LB
décrivez le cerclé BCD 5 tirez du point D où ces
deux cercles fe coupent les lignes DA , DB & D
C qui formeront avec les lignes AB & BC-deux
triangles, dont celui DAB aura l’angle ÀDB de
3 y degrés , & celui DBC l’angle BDC de 20 degrés
, attendu que ce premier angle ( fuivant la
conftruélion) s'appuie fur un arc de 70 degrés , &
l'autre fur un de 40.
Nota. Ce problème fe réfoudroit fans aucun
équivoque fi on le propofoit en cette manière.
Etant donné un' côté dans chacun de deux triangles
( dont un des côtes inconnus de l'un deux peut être
commun a l'autre') 3 la valeur dé chacun des angles
oppofés a ces côtés donnés 3 trouver leurs autres côtés.
Il eft forteflentiel, particulièrement pour ceux
qui s'amufent par eux-mêmes à conftruire les
pièces de récréations qui leur paroiffent les plus
agréables, de favoir tracer géométriquement
toutes les figures’ci -deflus , puifqu’il n'eft prefque
point de conftru&ion où l'on puifle fe difperifer
de manier la régie & le compas, & que rien ne
peut enfeigner à le faire avec plus de jufteffe que
la connoiflance exaéte des problèmes ci-defliis décrits,
dont l'application fe.rencontre néceflaire-
ment dans la plupart des opérations qu'on eft
obligé de faire j fans cés principes on ne travaillerait
qu'en tâtonnant & conféquemment avec
fort peu de précifion.
Autres Problèmes amufans de Géométrie,
A Vextrémité d'une ligne droite donnée 3 élever une
perpendiculaire fans prolonger la ligne , & même,
f i l'on veut, fans changer d ouverture de compas.
- Soit la ligne, donné AB , ( fig. 1 , pl. 4,
Amufemens de géométrie ) qu'il n'eft pas permis de
prolonger du côté A , & fur l'extrémité A de
laquelle il eft queftion d'élever une ligne per*,
pendiculaire.
Soit donc AB & B C , les deux côtés du triangle
qui ne forment ici (fig. $ i 3pl .$) qu'une
(r) Pour mener ces parallèles on fe fçrt d’une double
règle appellee Parallèle, '
De A vers B -, prenez cinq parties égales,
à volonté 5 puis ,i au point A à l ’ouverture de
trois de ces parties , tracez un arc de cercle,
enfuite , de 1 extrémité b de la quatrième par*
t ie , tracez-en un autre avec une ouverture égale
aux cinq parties : ces deux arcs fe couperont nécefi
virement en un point tel que C j duquel tirant
une droite au point A , on aura C A perpendiculaire
à AB.
Car le quarré de C A , qui eft 9 , plus le
.quarré de A b qui eft 16 , font enfemble égaux au
quarré 25 de C b : le triangle C A b eftdonc rectangle
en A.
On pourroit également prendre pour rayon de
Parc à tracer du point A ,. une ligne égale à cinq
parties, pour la bafe A b , 12 , & pour l'autre
rayonne, 13 j car 5 , 1 2 , 1 3 , forment un triangle
rejftangle. Enfin , tous les triangles rectangles en
nombres, & il y en a une infinité, peuvent fervir
à la réfolution au problème.
quelques jalons , & un bâton pour lui fervir de
mefure, il fe prefente diverfes opérations géométriques
à fa ire , des grandeurs même inac-
ceflibles à mefurer : on demande comment il s'y
prendra.
Nous fuppofons d’abord que l'on fçait de quelle
manière on trace fur le terrain une ligne droite ,
dont 1 alignement eft: donné par deux points ; comment
on la prolonge indéfiniment de côté & d'au,
tre , & c . Cela étant, voici quelques-uns des problèmes
de géométrie élémentaire, qu’il s'agît de
réfoudre fansemployer d'autre ligne que la droite,
& même en excluant l'ufage du cordeau , avec
lequel on pourroit tracer un arc de cercle.
Sur une partie quelconque AB ( fig. 1 , même
flanche 4 ) de la ligne propofée,décrivez un triangle
ifoçèle quelconque ACB , enforte que les
côtés A C , C B , foient égaux 5 prolongez enfuite
AC en D , ènforte que CD foit égale à CB : la
ligne tirée de D en B fera perpendiculaire à AB ;
ce dont la démonftràtion eft fi aifée , que nous la
biffons chercher au leéteur qui ne l’appercevroit
pas tout de fuite.
Divifer une ligne droite donnée en tant de parties
égales qu'on Voudra , fans tâtonnement.
On propofe, par exemple, de divifer k ligne
AB (j%. 3 , pl. 4. > en cinq parties égales. Faites-
én la bafe d'un triangle équilatéral ABC 5 puis ,
du point C fût le côté C B , prolongé s'il le fau t,
.portez cinq parties égales quelconques, que nous
îiippofons fe terminer en D : faites C E égale à
CD ; enfin prenez , par exemple , DF égale à
une de ces cinq parties de CD , & tirez C F ,
qui coupera AB en ^ ; il eft évident que BG
fera la cinquième partie'de AB.
Si Df etoit égale aux | de CD , on auroit,
en tirant C / , le point d'interfeéfion g de C f
avec. AB , qui donneroit B g égal® aux -f de
Sans aucun infiniment que quelques piquets & un
bâton , exécuter fur le terrain la plupart des opérations
géométriques.
triques-s'exécutent furie terrain au moyen du grapheme
tre ^ il femble même que cet inftrument
eit d une néceflité indifpenfable dans la géométrie
pratiqué.
On peut néanmoins concevoir un géomètre dans
de telles circonftances qu'il fera abfolument dépourvu
de tout inftrument, & meme privé du moyen
e s en procurer. Nous le fuppofons , par exem-
eft£ J ^ans ^es forêts de l’Amérique , ou il ne lui
P°ff1t>le de fe procurer avec fon couteau que1
I. Par un point donné y mener une parallèle a
une ligne donnée.
Soit la ligne donnée AB , ( fig. 4 , pl. a )
& C le point'duquel doit être tracé la parallèle,
par ce point menez une ligne quelconque
à un point B de AB , •& partagez CB en deux
également en D ; à ce point placez un jalon ;
& , d'un point quelconque A de la ligne donnée
menez par le point D une ligne indéfinie ADE *
fur laquelle on prendra DE'égale à AD : la ligne
tracée par les points C & E fera parallèle à
2. A un point donné d'une ligne donnée, lui élever
une perpendiculaire.
PreneZj fur la ligne donnée , (fig. j , même
Pl- ) lç5 parties A C , GB égales; & , du point
C j menez comme vous voudrez la ligne Cd '■
fur laquelle vous prendrez la portion CD é»ale i
C A i tirez la ligne DÂJi, fur laquelle’faites, AE
égalé a A C 3 & AF égalé à AD : par les points
EF tirez la ligne FEG 3 fur laquelle „ fi vous
prenez EG égale à FE , vous aurez le point G ;
qui 3 avec le point A , déterminera la pofition da
la perpendiculaire AG .
Car . dans le triangle CAD , les côtés AD ,
A C . étant refpeélivement égaux à AF & AE
1 dans le triangle EAF , ces deux triangles font
. égaux , dans le triangle D C A . les côtés C D ,
C A , étant égaux, on aura aufli dans l’autre les
; côtés E A , EF', égaux : dont l ’angle EFA fera
égal à EAF , & conféquemment à CAD. Mais ,
; dans le triangle FGA , le côté FG eft égal à
AB , puifque BG eft doublé dé FE par la conf-
truélion , & que FE ou AE eft égal à A C qui eft
la moitié de AB : donc les triangles F A G , ADB ,
font égaux , puifque les côtés FG , FA , font
1 égaux aux côtés. AB ƒ AD , & que les angles'
compris font égaux, donc l’angle FAG fera égal'
- à ADB. Mais celui-ci eft droit , pareeque les li-:
ignés C B , C D , C A , étant égales , le point D
[ eft dans la circonférence d’ un demi-cercle tracé