Caf , en fuppofant D A égalé- à ioooôo ÿ ©ft
trouve cette ligne égale à 314153; avec moins
d’une unité d’erreur : or la circonférence répondante
à ce diamètre eft, à moins d’une unité près ,
3 I4 I59i ainfi l'erreur eft tout au plus de tô&tsô
du diamètre j ou environ
3. Le demi-cercle ABC étant propoféj {fig.
12, pl. 7. ) aux extrémités A & C de fon diamètre
foient élevées deux perpendiculaires 3 l’une CE ,
égale à la tangente de 3o°> l’autre A G , égale à
trois fois le rayon 5 enfin , qu’on tire la ligne C E :
elle fera égale à la demi-circonférence du cercle ,
a une cent millième près du diamètre.
Car on trouve, au moyen de cette conftruc-
tion y le rayon étant fuppofé 100000, la ligne
JEG égale, a moins d’une unité près,, à 314162 j
la demi-circonférence feroit, à moins d’une unité
près, 314159 : l’erreur eft d’environ - du
rayon, ou moins d’une cent millième de la circonférence.
4. Soit le cercle, dont le centre eft A , ( fig.
1 8 , pl. 7 .) avec fes deux diamètres perpendiculaires
l’un à l ’autre. Sur un rayon tel que A D ,
prenez AF égale à la moitié du côté E C du quarré
infçrit 5 tirez BFI indéfinie 3 menez FH au point
ft j, qui coupe A C en moyenne & extrême raifon,
AH étant le moindre fegment 3 par le point C ,
foit menée CI parallèle à FH : le quarré BKLI,
conftruit fur BI, fera à tres-peu de chofe près égal
au cercle dont BC eft le diamètre.
Car on trouve, par le calcul, que BF & BH
font égales à 69090 & 61237 refpeftivement, lè
rayon étant 100000 : donc BI fe trouve de 88623,
dont le quarré eft 78540, le quarré du diamètre
étant io co oo, tandis que le cercle eft 78539.
5. Infcrivez dans un cercle donné un quarré,
& , à trois fois le diamètre, ajoutez un cinquième
du côté du quarré : vous aurez encore une ligne
qui ne différera de la circonférence que d’une
17000e environ.
Quelques manières tris-approchées de\fiéterminer3
' foit numériquement3 foit géométriquement, une
ligne droite égale a un arc de cercle donné.
1. Soit Faire B G , '(ģ.. 1 4 , pl. 7 .) partie du
demi-cerclé, qui doit néanmoins ne guère excéder
zo°. Pour en avoir la longueur approchée en une
ligne droite, foit BH , ' perpendiculaire au dia-
métré A B , & foit ce diamètre prolongé en'AD3 ;
de forte que AD foie égale, au rayon : fi l’on tire
P G , elle retranchera de BH la ligneBE un peu
moindre, mais très-approchante dé la grandeur
de l’arc BG.
„ Mais fi l’on tiroit la ligne dfGe -, enforte que le
fegmen; d f , intercepté entre; le cercle & le diamette
prolongé, fût égal au rayon, alors la droite
B e feroit un peu plus grande que l’arc BG, mais
extrêmement approchante , quand cet arc n’excéi
dera guère 3O0;
Décrire géométriquement un cercle , dont la circon•
férence foit très-approchante de celle d’une ellipfe
données
C ’eft M. Jean Bernouilli qui a enfeîgné ce moyen
fimple & ingénieux de décrire un cercle ifopérime-
tre à une ellipfe donnée.
Soit donc une ellipfe dont les deux axes font
donnés. Faites-en une feule ligne droite, comme
A D , dans laquelle AB eft égale au grand axe, &
BD au petit 5 { fig. 10 , pl. IO. Amufemens de Géo-
métrie. ) que cette ligne AD foit le diamètre d’un
demi-cercle A E D , que vous diviferez en 4 , ou
8 , ou 1 6 , ou 32 parties, & c . comme vous voudrez
, & félon que vous afpirerez à une plus
grande préçifion. Nous ftippofons ici ce nombre
de parties égal à 16. Menez du point B à chaque
point de divifion, des lignes droites 5 prenez en-
fuite la feizieme partie de la fomme de toutes ces
lignes, B A , Bi ; B2, B3 , &c. jufqu’à BD inclu-
fivement 5 enfin , avec la ligne qui en proviendra
comme rayon, décrivant uncerçle/vous aurez une
circonférence circulaire tellement approchante de
celle de F ellipfe donnée, qu’ elle n’en différera pas
d’une cent millième partie dans les cas même les
plus défavorables , comme fi le rapport des axes
de cette ellipfe étoit de 10 à 1.
U» eft ailé de voir que , fi Fon n’avoit divifé le i
demi-cercle qu’en 8 parties,il ne faudroit prendre I
que la huitième partie de la fomme de toutes les
lignes tirées au point de divifion, y compris les
points B & A.
— Si Fon exécutoit cette opération fur un cercle
d’ un pied de rayon, on parviendroit à un degré
de préçifion très-approchant de la vérité, & , par
le moyen, d’une échelle géométrique fubtilemeet
divifée, on trouveroit fans calcul des approximations
numériquestrès-fatisfaifantes.
TLiant donné un cercle dans lequel èfi inferit un quarre}
trouver le diamètre du cercle , ou Von puijfe infenn
un oftogone d’égal contour avec ce quarré.
Soit AB le diamètre du cercle donné , (fifi
16 3 pl. 7. ) & AD le côté du quarré inferit. Divi- j
fez AD en deux également en É , & élevez la |
perpendiculaire EF à A D , rencontrant le cerclé
donné en F 5 tirez AF ce fera le diamètre du
cercle où l’oélogone inferit fera égal eh contour
au quarré donné.
Car il eft évident que le cercle décrit fur te
diamètre AF pafferapar le point E , puifqüe l’angle
AEF eft droit. Il eft de plus évident que la ligne
menée du centre, I du fécond cercle au point E,
fera parallèle à DF. Or l’angle AFD eft déifié
Sroit, étant la moitié de l’angle DCA qui eft
droit, puîfque la corde du quarré inferit foutend
un arc de 90° : conféquemment l’angle AIE eft
de 45° • d’où il fuit que AE eft le côté de l’o&o-
gone inferit dans le cercle du diamètre- AF. Or
il eft éyident que huit fois AE égalent quatre fois
AD.
Si Fon partage de même AE en deux également
.en G j qu’on élève au point G la perpendiculaire
'GH , jufqu’à la rencontre du fécond cercle j enfin
qu’on mene AH 3 cette ligne AH fera le diamètre
d’un troifième cercle 5 o u , fi Fon inferit un polygone
de 1 6 côtés, il fera ifopérimetre au quarré
ou à Fo&ogone ci-deftiis.
D’ou il fuit que, fi Fon continuoit cette opération
à l’infini 5 on parviendroit à un cercle ou à un
polygone d’une infinité de côtés , ifopérimetre au
quarré donné. Ainfi la circonférence de ce cercle
feroit égale au contour de ce quarré, & Fon auroit
la quadrature du cercle.
les trois côtés d’un triangle reHangle étant donnés ,
trouver fans table trigonométrique la valeur de fes
. . angles.
i On fuppofe d’abord <jue le rapport de l ’hypo-
ténufe au plus petit, côte eft le plus grand ou n eft
guère moindre que de 2 à 1 , afin que l ’angle oppofé
à ce côté foit au plus d’environ 30e 5 car l ’er-
reurfera d’autant moindre, que cet angle fera davantage
au-deffous de 30°,
Cela pofé , fuppofons, par exemple, l’hypor
ténufe du triangle égale à 1 3 , le plus grand des
côtés autour de l ’angle droit 12 , & le plus petit '
5. Faites cette proportion, comme deux fois Fhy-
poténufe, plus le grand côté ou 38, au petit côté
ou 5 j ainfi 3 fois l’unité ou 3 , a une quatrième
proportionnelle y j. Or y | , réduits en fraétion
décimale, font 0.39473 : divifez ce nombre par
O. 1745 3 Ie quotient fera le nombre des degrés &
parties de degrés de l’angle oppofé au petit côté 5
ce quotient eft 22.-£f^3 ce qui fait 22e 37' 15".
Or, en le cherchant au moyen des tables, on le
le trouve de 220 37' 28'7.
, Si les côtés du triangle approchoient de l’égalité,
par exemple, s’ ils étoient 3 ,4 , 5 , il faudroit
imaginer une ligne CD dans le triangle, {fig. 20,
pl- 7-) partageant également l’angle oppofé au côté
AB ou 3,. Or on fa it, cjue dans ce cas, le côté
oppofé A B , fera partage dans la même raifon que
les côtés adjacens 5 par conféquent on trouvera le
•Çgraent en faifant cette analogie.
Comme la fomme des deux autres côtés ou 9
au troifième 3 , ainfi-CB ou 4 eft à BD , qui
lera^-: ajoutez enfuite les quarrés de ^ & de 4 ,
flffij ûe CD & BD 3 & tirant la racine quarrée de
M fomme qui eft en fra&ions décimales 17 777,
on aura pour cette racine 4.21637, qui fera la valeur
de CD. En appliquant enfin la réglé ci-deffus
au triangle B C D , on trouvera l’angle BCD de 18*
26' 7 '; , & conféquemment fon double, ou l’angle
ACÉ , de 36° 52/ I4,,< Les tables trigonométri-
ques l’euffent donné de 36e* 52* 1 5 " , enforte que
la différence h’eft que d’une fécondé.
Un cercle étant donné & deux points , tracer un au-
tre cercle payant par ces deux points , & qui touche
le premier.
Il eft évident qu’ il faut que ces deux points
foient tous deux au dedans, ou tous deux au dehors
du cercle donné.
Soient donc les deux points donnés A & B ,
comme dans les deux fig. 19 & 1 7 , pl. 7 , Amufe-
mens de Géométrie. Joignez-les par une ligne droite
AB. Par l’un de-çes points, par exemple A , & le
centre du cercle donné , tirez la droite AIH qui
le coupe dans les deux points H , 1 3 prenez, en-
fuite AD quatrième proportionnelle à A B , AH ,
AI 5 du point I) tirez les deux tangentes DE , D* ;
enfin , du point A , menez par les deux points de
contaél les deux lignes EAF , e h f 3 qui couperont
le cercle en F & ƒ : le cercle tracé par les deux:,,
points A &B & par F , touchera le cercle donné
en F 5 & fi vous en tracez un par les points A , B ,
ƒ , il touchera le même cercle donné en/.
Deux cercles étant donnés & un point, en tracer un
troifième , paffântpar le point donné , 6* touchant
les deux premiers.
Que les deujTcercles donnés aient pour centres
.les points A & C {fig. I , pl. 8 , Amufemens de
Géométrie ) , & les rayonç A B , CD. Sur la ligne
qui joint le« centres A , C , prolongée, cherchez
le point F , qui eft celui d’où la tangente à l’ un des
deux feroit tangente à l’autre, & j oignez le point
F avec le point E donné 3 faites enfuite FG quatrième
proportionnelle à F E , FB , FD5 enfin ,
par le problème précédent, tracez par les points
G & E un cercle qui touche l’un des deux cercles
AB ou CD : ce troifieme cercle touchera également
l ’autre.
Trois cercles étant donnés , en tracer un quatrième qui
les touche tous.
Il eft facile de voir que ce problème eft fufeep-
tible d’un grand nombre de cas & de folutions
différentes, car le cercle demandé peut renfermer
les trois cercles donnés, ou deux feulement, ou
un.feul, ou enfin les laiffer tous au dehors. Mais
afin d’abréger , nous nous bornerons à un de ces
cas, celui où le cercle à décrire doit laiffer en
dehors les trois autres.
[ Soient donc les trois cercles donnés défignéfr