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Lorfqu’on connoît une fois de combien de manières
on peut amener un point avec un certain
nombre de dés , il eft aifé de trouver quelle probabilité
il y a de ramener j il n’y a qu’à former
une fraélion dont le numérateur foit le nombre
de manières dont peut arriver ce point, & le dénominateur
le nombre 6 élevé à une puiffance désignée
par le nombre des dés , comme le cube de
6 ou 2 16 pour trois dés , le quarré-quarré ou 1296.
pour quatre, & c .
Ainfi, pour amener, avec trois, dés , la probabilité
eft : pour '1 amener, avec quatre , elle
-eftTÜ&v n;<
On peut encore propofer fur le jeu de dés plusieurs
autres questions dont nous allons, ai)alyf£r
quelques-unes.
1 ° .Déterminer entre deux joueurs quel ejl l ’avantagel
ou le défavantage de celui qui entreprend^amener une]
face déterminée- , par exemple 6 , en un certain nombre
de coups.
Suppofons qu’ on l’entreprenne en un feul coup j
pour favoir qu’elle eft la probabilité d’y réufffir.,
on considérera que celui qui tient le dé n’a qu’ un
hafard pour gagner & cinq pour perdre ; par con-
féquent, pour l’entreprendre en un feul coup, il
ne doit être mis que 1 contre 5. Ainfi il y a un
grand défavantage à entreprendre au pair d’amener
6 en un feul coup de dé.
Pour favoir quelle eft la probabilité d’amener
au moins une face marquée 6 , en deux coups ',
avec un même dé , on considérera quê c’eit la
même chofe , ainfi qu’on l’a obférvé plùs haut au
fujet du jeu de croix ou p ile , que d’entreprendre ,
en jettant deux dés a-la-fois , d’en' trouver un
marqué 6. Alors celui qui tient le dé n’ a que,Il
hafards ou combinaifons pour gagner : car il peut
amener 6 avec le premier dé , & , 1 , 2 , .3 ,4 ou j
avec le fécond ; ou bien 6 avec le fecobd d:é, &
1 j i j 3 ,4 ou y avec le premier, ou 6 avec chaque
dé. Mais il y a 26 combinaisons du hafards
pour ne point gagner, comme' on voit dans lavable
ci-deflbus : §
X , ; I * 3 I 43 i
- x , x 4 . 2 43 2
Z > ± 1 . i . x .3 . 4 - 3 -
2 3 4 ■ 4 4 3 4
z > y 3 >-( 4 > 3
Ï3 ou il eft aifé de conclure que celui qui entreprend
d’amener 6 avec deux dés , né doit mettre
que-il Contre 25-,.& conféquemment qu’il a du
fléfavantage à l’entreprendre au pair.
On doit remarquer que la fomme 3 6 , de tous
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les hafards ou combinaifons poSfibl.es en deux
coupsde dés, eftle quarré du nombre 'donné,6 -,
qui eft celui des faces d’un dé î Sc que le nombre
27 des hafards contraires à celui qui parie d’amener
une face déterminée , eft le quarré du
même nombre donné, 6 diminué de l’unité., ou
de y : c’ eft pourquoi . lé nombre des hafards favorables
eft , dans ce cas , la différence des
quarrés de 3^ & de 25 , ou du quarré du nombre
des faces diV dé , 8 c de Celui dés faces de ce même
dé moins un.
Pour entreprendre d’amener '6 en trois , coups
de dé j on confidérera femblablement que,c’eft la
même chofè-que. d’entreprendre ,.en jettaptjtrois
dés , .d’amener au moins un 6 : o r , des 21Ô corn-
..binaifons différentes que donnent trois dés.,-fl y
en a 125 qu.il n’y ;â>l:aucun 6 , Sz 91 où .-il .y a àti
moins , un 6 j conféquemment celui’ qui parie d’a-
- mener un 6 ou en trois coups- de dés , - ôà -en un
feul coup avec trois dés ,"-nê doit parier que' 9Î
. contre .125 gsÆSi y auroit du défayantage à l’entréprendre
au pair. ,
ï Vous obferverez ici que le nombre'.91 .eft.la
: différence du cübe du nombre des faces, d’un dé ,
.favoir 2i.é j & dir cube .11$ de ce même nombre
diminué de l ’unité ,- ou de Ainfi. 1 om voit
qu’en général , pour tfouvej la, probabilité d’amener
une face détëfminéé "-eh ùn certain nombre
de coups, ou en un coup avec un certain
nombre de dés , i l , faut élever 6 , le nombre des
faces d’ un d é , à la puiffance défignée par le
■ nombre des coups à jouer , ou des dés à jetter
une fois } faire enfuite la femblable puiffance de
6 moins l’uni t é , ou de y , & l’ôter de la pro'-
mière;: le - reftant & cette dernièrè puiffance de
■ x feront les nombres de hafards refpeétifs pour gagner
ou perdre.
Par exemple, fi on parie d’amener au moins un
3 avec quatre dés , on féra la quatrième 'ptiiïfar/eé
ou le quarré-quarré de 6 , qui eft 1290 :! on en
ôtera le quarré-quarré de 7 , ou 615 : le reftant
671 fera le nombre des hafards favorables0pour
gagner, & lé nombre 625 celui des hafards'pour
perdre : conféquemment il y aura de l’avantage
a parier au pair.
Il y en aura encore davantage à entreprendre
au pair d’amener un point déterminé,’ par exemple
. 3 , en cinq coups ou avec cinq dés ; car fi de la
cinquième puiffance de 6 , qui.eft 7776 , on ôte la
cinquième puiffance de 5 i ou 3 127 , le refte 4651
fera le nombre des hafards favorables, & 3127
celui des hafards contraires. Conféquemment,
'pour jouer à feu é g a l, celui qui parie pour, de-
vroit mettre 4651 contre 3125 3 près de 3
contre 2*
: A R I
3° En comhieiVde 'cvitpsf eut-on partir avec égalité
qu‘on àmf terâ -un. aoiMct détermine, par- exemple
jonnèfpi avec I dé,ux! dêsi>. zu s
On fait 'déjà que la probabilité de ne point
amener un fonhez avec deux-dés eft exprimée par
3j . . conféquemment la probabilité de ne les point
.amener en deux coups fera cbmme le quarré de
■ cette fraêlio® ; èn troisfcoupsy comme le cube
Sco. Or -,-'de même; qu’une' puiffance d’un nombrè
tant foit' peu au-déSïuç- de. ' l’unité^a ! toujours; en
alimentant y celle d un nombre! tant foit peu aù-
>deffbiïS‘Vâ’tôüjc)iil-s en diminuant S piar conséquent
les pinff^ncësécbnfécutives | | *îrdnt tourours en
diminuant. > Qu’on conçoive donc j j élevée à une
ipüïfîàitee\t#e'--quelie:''f<«t:- o n - -trouve
^uédatvingt-quatrième puiffance -de ^.eitain-peu
plus grande que 1 , & que la vingt-dnqüième eft
un peu moindre (1) *• d’où il fuit qu on peut parier
-îvec quelqu avantage-;au pair.’, qu’en-24 coqips on j
-n’âmeiiera'pas un fonnez avecdéux;’dés , mais qu’il
:y'!at .dii‘ défavantage' à èparier.au pair qu’on .ne l’ à-
menera pas ,en 25 : eonfëquemmènt, il y a pour
‘ celui qui parie de l’amener en 24 coups du défa-i
vantage:, .&• il y a de l’avaritage à parier rau pair ;
qu’il l’amènera en 27.
I 40. Quelle efi la préhabilité d!amener en un coup
I avec deux ou plujieurs dés, un doublet déterminé , par
.exemple un tem e ?
. i Pourile découvrir , ,on.confîdérera qu’ à fentre-
. prendre avec deux àés:; il y a un: feul hafard favorable'
• fur les 3 6 hafards ou-combinaifons.que don-
; nent deùx dés, d’où il'fuit qu’on ne doit mettre
que .1 contre 3'7'ij ,
■ 1 .S’ il, étroit queftion de;.trois: dés , on trouveroit
qu’il faut inectrëSeulement -16 contre 2004 car le
nombre des:hafards ou combinaifons poffibles avec
trois dés.èft 116: Mais quand.il eft queftion d’amener
terne avec; trois des', on peut l’amener de
16 façons différentes : car ,s des 36 combinaifons
, des dés A & B , toutes celles où entre un 3 feu-
(1) Soit « l’expo faut de la puiffance de | | qui eft
égale à c’eft-à-dite que V foit égal à -r.Comme
la quantité, inconnue n fe trouve dans .l’cxpofaut , il i
faut 1 en dégager j ce qtvon fait .par le moyen des
logarithmes. Car fi — Z3 £ % en prenant les îogamhmes
on aura n log.- 3 5 ^ — «ffog. \ 6 ~ !og. iog.
3^ ^ log. 1 3 ou zz;:-— lôg. z ;,car log; ^ z z — iog. z.
Donc n log. 3 j — n'ib'g. 3 6 Fog. z , ou log. z IZ. i
«log. p i - « l o g . J J . Donc m — Ce
i l i
AR I 149
•lement, comme 1 , 3 5 34 1 y & c . qui, font au
nombre de 7 0 , fe combinant avec là face marquée
3 du dé C , donnent un terne. De plus, la combi-
naifon 3 , 3 , des dés A , B , ;fe combinant avec
une des fix faces du trôifième dé C , donnera un
.terne. Ainfi voilà 16 façons d’amener terne avec
trois,dés 5 ce qui donne ié hafards favorables fur
21,6c Conféquemment3 la probabilité d’amener un
•terne avec trois dés -eft,7 ^ , & l’on ne devroit
■ pàriêr pô.ur la-r^ufllte quq, 16, contré 200 , ou 1
contre! i-y.-r - T- , ; , /c; . - ‘
: S j d ’oii demande quelle;, probabilité il y a d’a- .
mener un .terne avec qnatje dés, 011 trouvéra
qu’elle èft exprimée, par j ca r , fur les 1296
combinaifons des- faces dq quatre dés , il -y en a
170 qui donnent un terne , 20 qui donnent trois 3
& i. oui en donne 4 , en tput 171 coups où il y a
deux , ou trpis; 3- ou quatre 3. -Conféquemment,
il -.nei'faudroit; parier que-19 contre 144 , ou en.-
viron 1,,contre, 7 f q u ’ on amènera au moins un
terne avec quatre- dès. ;
■ Enfin , fi vous ypulez favoir quelle probabilité il
ÿ a u amener du premier coup un. doublet quelconque
avec deuxdps ou .davantage , il fera aifé de la' déterminer
au moyèn- du calcul précédent j car .,
lorfqu’ il eft queftion d’un doublet indéterminé , il
eft évident que la probabilité eïr fix fois aufli
grande que lorfqu’ il s’agit, d’un doublet afligné :
ainfi il n y a qu’ à multiplier par 6 les probabilités
trouvées.çi-aeffus. ; Elles 'font donc, .polir deux
d é s ,.^ o,u | j . pour, trois dés , ou f s pour
quatre dés;, ' ^ 5,. enforte;.qu’il y a de l’avantage à
parier au pair qu’avec quatre dés on amènera au
moins un doublet.,. r
P R O B L E M E I I I.
Deux joueurs joitent énfémble 'en un certain nombre de
parties liées , par exemple trois ,* l'un des deux à 2
parties 3 Vautre une i fie .pouvant ou. ne voulant
point continuer le jéu , -ils Conviennent de le ceffer 3
& de'parteget la mife. On demande de quelle maniéré
cela doit être fa it. . .. . . • ■
Ce problème eft un des premiers dont s'occupa
M. Pafcal , lorfqu’il commença à traiter le calcul
.des • probabilités. Il le propofa à M. de Fermât ,
célèbregéprr.ètre de fon temps, qui le réfolut auffi
par une méthode différente , favoir celle des
combinaifons. Nous allons faire corinoître l’ une 8c
l’autre.
Il eft évident que chacun des joueurs y en mettant
fon arg. nt au jeu , en a abdiqué la propriété ,
mais qu’en revanche ils ont droit d’ attendre ce que
le hafard peut leur en donner : ainfi, ceffant de
jouer , ils doiyènt partager l’argent de la mife ea