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une fuite de l’analogie. remarquée- dans le para- 1
graphVlII.
V , On trouve.la Tomme des termes d’une progreffion
géométrique déterminée de la manière
luivante :
cc Multipliez le premier terme par lui-même, &
le dernier par le fécond , & prenez la différence
de ces deux produits.
« Divifez enfuite cette différence par celle des
deux premiers termès , le quotient fera la Tomme
de tous les termes »,
Soit 3 par exemple , la progreffion 3 , 6 , i l 3
24 , & c . dont le huitième terme eft 384, & qu’on
demande la fomme de ces huit termes ; le produit
du premier par lui-même eft 9 , celui du dernier
par ie fécond eft de 2304,1a différence eft de 229$ ;
divifez donc 2295 par 3 , différence des premier
& fécond termes , & vous aurez pour quotient
le 'nombre 765 , qui fera la fomme de ces huit
termes. '
A R 1
nité divifée par 5- donne 2 ; de même 1 , étant di«
vifé par f , qui eft la différence de 1 & de £3
donne J.
Lorfqu’ on dit qu’une progreffion continue à
l’infini peut être égalé à une. quantité finie, on
ne prétend pas, à l’exemple de M. de Fonte-
nelle, dire que l’infini puiffe avoir une existence
réelle. Ce qu’on entend feulement par-là,
& à quoi l’on doit réduire toutes les expreffions
femblables, c’eft q u e , quelque nombre de termes
qu’on prenne de la progreffion , leur fomme
ne- fauroit égaler la quantité finie déterminée,
quoiqu’elle en approche , de manière que leur
différence peut devenir plus petite qu’aucuhe
quantité afhguabie..
P p o b l ê m e I.
Achille va dix fois "plus vite quune tortue qui a,
une Jlade d'avance. On demande s 'il eft pojftblt,
, qu'il l'atteigne , & h quelle diftance i l l'atteindra}
■ . *
V I . Une progreffion géométrique peut décroître
à l’infini, fans qu’ on parvienne jamais à zéro ;
car il eft évident qu’une partie quelconque d’ une
quantité qui eft plqs grande que z é ro , ne peut
jamais être zéro. Ainfi une progreffion géométrique
décroiffante peut le,prolonger à l’infini ; il n’y
a qu’ à divifer le dernier terme par rexpoftnt.de la
progreffion, & Ton aura le terme fuivant. Voici
quelques exemples de progreflions géométriques
qécroiffantes.
Jç, 3 1% 3 J1L6. 3 Jl-LL 3 R6B* 3 & c .
I 3 %7 3 T f 3 &-C.
VII. La fomme d’ une progreffion géométrique
croiffante & continuée à l’infini, eft évidemment
infinie 5 mais celle d’une progreffion géométrique1
décroiffante , quelque nombre de termes qu’on en
prenne, eft toujours finie. Ainfi la fomme de tous
les termes à l’ infini de cette progreffion 1 £ , £ ,
& c. n’ eft que 2 ; celle de la progreffion 1 f , f ,
& c . à l’infini, n’eft que 1 £, & c . Cela fuit nécef-
fairement de la méthode donnée plus haut pour
trouver la fomme de. tant de termes qu on voudra
d’une progreffion géométrique; car fi nous la fup-
pofons prolongée à l’infini & décroiffante, le dernier
terme fera infiniment petit ou zéro ; ainfi le
produit du fécond terme par le dernier fera zéro;
& conféquemment il n’y aura qu’ à div ifer. le
quarré du premier terme, par la différence du
premier & du fécond. C ’eft ainfi qu'on a trouvé
que ! , £ , £ , ! * & c . à l’infini 3 eft égal à 2 ,
& que 1 , f , y , == 7 ou 1 £ j car le quarré de
1 eft 1 , la différence -jde 1 & ?i;..£. eft £ : enfin l’u-
. Cette queftion n’a de la célébrité que parce que
Zénon, chef des Stoïciens , prétendoit, par un
Tophifme , prouver qu*Açhille n’atteindroit jamais
la tortue ; car , difoit-il, pendant qu’Achille
fera une ftade, la tortue en aura fait une dixième
; & pendant,qu’il fera cette dixième;, la
tortue en fera une centième qu’elle aura encore
d’avance, &, ainfi à l’infini ; par confequent, il
s’écoulera un nombre infini d’inftans avant que le
héros ait atteint le reptile : donc il ne. l’atteindra
jamais.
Il ne faut cependant qu’avoir le fens-commun
pour voir qu’Achille atteindra bientôt la tortue,
püifqu’ il la dépaffçra. D’où vient donc le fophif-
me ? Le voiçi ;
Achille n’ atteindroit en effet jamais la tortue,
fi les intervalles de temps pendant lefquels on fup-1
pofe qu’ il a fait la première ftade , & enfuite les
dixième , centième , millième de ftade que la: tortue
a eus fucceffivetnent d’avance fur lui, é.toien.t
égaux ; mais en fuppofant qu’ il ait fait la première
ftade dans 10 minutes de temps , il ne mettra
qu’une minute à parcourir une dixième de ftade,
enfuite -n> de minute pour parcourir une centième,
& c : ainfi les‘intervalles de temps qu’Àchille emploiera
à parcourir l’avance que la tortue a gagnée
pendant le temps précédent, iront en décroisant
de cette manière , 10 , T , ■— , 757 , ji^ ô 3 “ c‘
ce. qui forme7 une progreffion géométrique fous-
décuple , dont la fomme eft égale à 11 f . Celt
l’intervalle de temps après lequel Achille aura atteint
la tortue.
Problème
A R I
P r o b l è m e II.
Zes deux aiguilles d'une pendule a minute partent ensemble
du point de midi. On demande quels feront
les points du cadran ou. elles fe rencontreront fuc-
cejftvement, pendant une révolution entière de celle
des heures.
Ce problème, confidéré d’une certaine manière
, ne diffère pas du précédent. L’aiguille' des
minutes joue ici le rôle que faifoit Achille dans
le premier ; & celle des heures qui va douze fois
moins vîte , celui de la tortue. Enfin , fi l’on
confidère l’aiguille des heures comme commençant
une fécondé révolution, & celle des minutes
comme commençant la première , l’avarice de
l’une fur l’autre fera un «tour entier du cadran.
Lorfque celle des minutes aura fait une révolution,
celle des heures en aura fait une douzième, •
& ainfi progreffivement. Il n’ eft donc queftion 3
pour réfoudre ce problème , que d’appliquer à
fes données la méthode employée pour celui de
la tortue , & l’on trouvera que l’ intervalle 3 depuis
midi jufqu’ au point où fe rericontreront de
nouveau les deux a iguilles fera yr de la révolution
entière ; o u , cë qui revient au même , celui
•d’une heure & de ~ d’heure. Ellès fe rencontreront
enfuite à 2 heures à 3 heures & f i 3 ■
à 4 heures & ■— , enfin-à 11 heures & £§, c’eft-
à-dire à 12 heures.
Oh peut auffi réfoudre le problème , fans con-
fidération de la progreffion géométrique ; car ,
puifque l’ aiguille des minutes va douze fois auffi
vite que celle des heures, la première parcourra, ’
:dans le temps écoulé depuis leur départ du point
de midi jufqu’à leur nouvelle rencontre, un ef-
pace égal à douze fois le chemin de la fécondé
depuis ce même point de'midi ; par . conféquent.
ce chemin fera ~r de la révolution entière^ ainfi
qu’il eft aifé de fe le démontrer.
P r o b l è m e I I I .
Un homme ayant fait quelque chofe de fort agréable
a un fouverain , celui-ci veut le récompenfer, &
lui ordonne de faire la demande qu'il voudra , lui
promettant qu elle lui fera accordée. Cet homme
qui .eft inftruit dans la, fçience des. nombres , fe
.home a fupp.lier le monarque de lui faire donner la ;
quantité de bled qui proviendrait en - commençant
par un grain , <& en doublant foixante-trois fois de
fuite. On demande quelle eft la valeur de cette ré-,
éompcnfe. v
Un auteur arabe, Al-Sephadi, raconte l ’ origine
de ce problème n*une manière affez curieufe pour,
•prouver place ici.; Un roi de Perfe , dit-il, ayant
Imaginé le jeu de Trie-trac 3 «en étoit tout glo-
tieux. Maïs il y avoit dans les états 4^ roi 4 e
Amufemens des Sciences•
A RI 137
l ’Inde un mathématicien nommé Sejfa, fils de
Daher , qui inyenta le jeu d'Echecs. Il le préfenta
a ion maître, qui en fut fi fatisfait, qu’ il voulut
lui en donner une marque digne ae fa ma-
gnificencé, & lui ordonna de demander la récom-
penfe qu’il voudroit, lui promettant qu’elle lui
feroit accordée^ Le mathématicien fe borna à demander
un grain de bled pour la première café de
Ton échiquier, deux pour la fécondé, quatre pour
la troifième , & ainfi de fuite, jufqu’à la.dernière
ou la foixante-quatrième. Le prince s’indigna pref-
que d’ une demande qu’il jugeoit répondre mal à
fa libéralité, & ordonna à Ton vifir de fatisfaire
Sefta. Mais quel fut l’étonnement de ce miniftre t
lorfqu’ayant fait calculer, la quantité de bled né-
ceffaire pour remplir l’ ordre du prince, il vit que
non-feulement il n’y avoit pas affez de grains
dans fes greniers , mais même dans tous ceux de
fes fujets & dans toute l’Afie. Il en rendit compte
au r o i , qui fit appeller le mathématicien , & lui
dit qu’il reconnoiffoit n’être pas affez riche pour
remplir fa demande , dont la fubti|jté l ’étonnoit
encore plus que l’invention du jeiPqu’il lui aYoit
préfente.
Telle eft , pour le remarquer en paffant, l'origine
du jeu des Echecs, du moins au rapport de
î’hiftorien arabe Al-Sephadi. Mais ce n’eft pas ici
notre objet de difeuter ce qui en eft 5 occupons-
nous du calcul des grains demandés par le mathématicien
Seffa.
On trouve, en faifant ce calcul, que le foixante-
quatrième terme de la progreffion double, en com
mençant par l’unité, eft le nombre 922337203
6854775808. Or , dans la progreffion double
commençant par l’unité , la. fomme de tous les
termes fe trouve en doublant le dernier & en ôtant
l’unité.^infî le nombre des grains de bled néxef-
faires pour remplir la demande de S e f fa é to i t le
fuivant, 18446744073709551615. Or l’on trouve
u’unelivre de bled de médiocre grpffeur & mé-
iocrement fec contient environ 12800 grains ,
Sc conféquemment le feptier de bled , qui eft de
240 livres poids moyen , en contiendroit environ
3072000 ; je le fuppofe de 3100000 : divifant
donc le nombre des grains trouvés ci-deffus par ce
dernier nombre, il en réfulteroit 59505626044
422 fetiers , qu’ il eût fallu pour acquitter la pro-
rneffe du roi indien. En fuppofant encore qu’un
arpent de terre enfemencé rendît cinq feptiers, il
faudroit, pour produire en une année la quantité
de feptiers c'i-deffus , la quantité de 1190112408
884 arpents 5 ce qui fait près dé huit fois la fur-
face; entière du globe de la terre : car la circonférence
de la terre, étant fuppofée de 900p
lieues moyennes , c’ eft-à-dire , de 2280 toifes au
degré, fa furface entière , y comprife celle des
eaux de toute efpèce , fe trouve de 1488,82176000
arpents.-