retrouvant 15625, je ne puis plus douter que mon
opération ne foit exafte.
Mais fans tirer tous ces produits partiels enfemble
ou féparément, on peut prendre un chemin plus
court, comme on l’a marqué en parlant de la racine
quarrée ; on dira donc, e.nfe fervant.du
nombre propofé, la racine cubique de 15-62512
15 eft 2 pour 8 ; .j’écris 2 en formé de y 5 1
quotient, j’en forme le cube 8 que je 2 * J
tire de la première tranche 1 5, en dii’ant ^ I
2 x 2 font 4 , 2 x 4 font 8; 8 cle 15, refte
.7. Voilà l’opération faite pour la première tranche,
& le cube du premier chiffre 2 tiré.
Pour trouver maintenant le fécond chiffre de la
racine totale, & ainfi du troilieme, quatrième, &c.
en fuppofant le nombre propofé plus grand ; je ne
triple point, comme ci-devant, le quarré 4 du premier
chiffre 2, ce qui feroit 12. Je ne prens que le
tiers de cette fomme, c’eft-à-dire que je prens Amplement
le quarré 4 du chiffre 2, fans le tripler. En
récompenfe,& pour conferver la proportion, après
avoir baiffé le premier chiffre 6 de la fécondé tranche
, lequel avec le 7 rélidu de la première fait 76 c
je n ’en prens que le tiers 25 ; de même qu’au lieu de
12 , je ne prens que 4 ; j’écris ce 4 fous 25, comme
on voit ci - deffus ; & pour lors je dis,
en 25 combien de fois 4 , il y eft 6 , com- 15-625] 2
me 12 eft fix fois en 76. Je pofe donc 6 y 6 f
pour fécond chiffre de ma racine ; mais 2 5
comme 6 n’eft proprement qu’un chiffre ^
à éprouver, dont je ne fuis pas sûr ; je '
le pofe à l’écart pour m’en fou venir, & je fais mon
épreuve.
Ayant donc trouvé 26 pour racine totale, je vois
bien qu’il y a un réfidu dans le nombre propof é ; réfidu
qui doit fatisfaire aux deux autres produits que
je néglige de tirer: fa voir le triple du premier chiffre
2 dixaines, ou 60 multiplié par le quarré 36 du chiffre
à éprouver 6 ; plus le cube 216 du même 6. Mais
encore un coup je néglige la formation & la fou£-
tra&ion de ces derniers produits qui font les moins
confidérables ; & dès que j’ai trouvé un nombre pour
le fécond, troilieme, ou quatrième chiffre d’une racine
, je procédé à la cübification de tous les chiffres
que j’ai trouvés pour racines ; & je tire le produit,
s’il eft poffible, de toutes les tranches dont j’ai fait
Xextraction.
Ainfi, dans l’exemple propofé ayant trouvé 26,
je cubifie 26, c ’eft-à-dire que je multiplie 26 par lui-
même, & que je multiplie enfuite le quarré 676 par
le même 26; & trouvant alors 17576 pour cube de
26, je vois que je ne le faurois tirer de . .
mes deux tranches 15625, ce qui m’e f t_ i - l l_ l li?
une preuve que le chiffre à éprouver 6 7 6 j
de la racine trouvée 26 eft trop fort. Je 2 5
prens alors le chiffre inférieur 5 pour 4 |
l ’éprouver, ce qui fait la racine totale 25. Je cubifie
ce dernier nombre 25 ; & trouvant le produit ou le
cube 15625, qui fe peut tirer fans relie des deux
tranches 15 — 625, je vois avec évidence que la racine
cubique de 15625 eft tout jufte 25.
Si le nombre propofé au lieu de 15625, n’etoit
que 15620, le procédé donneroit encore 25 pour racine;
mais alors le cube 15625 de la racine 25, ne
fe pouvant tirer de 15620, je verrois évidemment
que 2 5 n’eft pas au jufte la racine cubique de 15620;
je mettrais donc pour fécond chiffre 4 au lieu de 5 ,
ce qui feroit 24 pour racine totale; je l’éleverois
au cube, & je tirerais le cube 13,824 de
15620 ; & pour lors je verrois, à n’en pou- 15620
voir douter, que la racine cubique de 15620 13824
eft 24, outre le relie 1796’, lequel fait une 1756
efpece de fraétion dont on peut tirer la racine
cubique par des procédés connus ; mais dont je
ne parlerai point ic i, pour ne pas alonger davantage
ce morceau qui paroîtra peut-être déjà trop étendu.
Au relie, ce qu’on vient d’expoferici fur de petits
nombres, peut s’appliquer à tous les autres cas, &
pourra même répandre quelque lumière fur ces opérations
difficiles que je n’ai point encore vûes traitées
d’une maniéré fatisfaifante, & que j’ai fait com»
prendre à des enfans de dix ans par le féul moyen de
l’arithmétique employée ci-deffus»
Le plus grand réfidu poffible d’une racine cubique
elt la racine eîle-même multipliée par 6 , & outre
cela le plus grand réfidu poffible de la racine immédiatement
inférieure. Par exemple, la racine cubique
de 26 étant 2 pour 8, le réfidu 18 eft le plus
grand réfidu poffible de la racine 2. Or ce réfidu eft
formé du fextuple 12 de la racine 2 , & du plus grand
réfidu poffible 6 de la racine inférieure.
La racine cubique de 63 étant 3 pour 2 7, le réfidu
3 6 eft le plus grand réfidu poffible de la racine 3 ;
or ce réfidu eft formé du fextuple 18 de la racine 3,
& du plus grand réfidu poffible 18 de la racine inférieure
2.
La racine cubique de 124 étant 4 pour 64, le réfidu
60 efl le plus grand réfidu poffible de la racine 4 ;
or ce réfidu eft formé du fextuple 24 de la racine 4 ,
& du plus grand réfidii poffible 3 6 de la racine inférieure
3 ; & ainfi des autres. Cet article ejl de M. F a i -
G f/E T , maître de penfion à Paris.
Lorfqu’un nombre n’a pas de racine exaéle, il eft
facile d’approcher auffi près qu’on veut de la racine
par le moyen du calcul décimal, fur) quoi voye^ les
articles A p p r o x im a t io n 6* DÉCIMAL. Il ne s’agit
que d’ajouter au nombre propofé un certain nombre
de zéros, & d’extraire enfuite la racine à l ’ordinaire.
JI1 y a des cas, tels que ceux où la racine n’eft pas
exaéle, où il eft plus commode d’indiquer l’extraction.
Alors on fe fert de ce ligne y ' , auquel on ajoute
l’expofant de la puiffance, s’il ne s’agit pas de la
puiffance fécondé, car dans ce cas on le foufeùtend
quelquefois. Ainfi y ou ÿ lignifient racine quarré:;
V , racine cubique, Sic. Foyei R a c in e .
' Au lieu d’extraire la racine quarrée-quarrée, on
peut extraire deux fois la quarrée, parce que y =
y . Au lieu d’extraire la racine ciibo-cubique, on
peut extraire la racine cubique, & enfuite la racine
quarrée , car y = y . Il y en a qui n’appellent point
ces racines cubo-cubiques, mais quadrato-cubiques. Il
faut obferver la même réglé dans les autres cas, ofi
les expofans des puilfances ne font pas des nombres
premiers entr’eux.
Preuve de l'extraction des racines. i° . Preuve de la
racine quarrée. Multipliez la racine trouvée par elle-
même ; ajoutez au produit le relie, s’il y en a un ; &
dites que l’opération a été bien faite, fi voqs avez
une fomme égale à celle dont on vous avpit propofé
d’extraire la racine quarrée.
2°. Preuve de la racine cubique. Multipliez la racine
trouvée par elle-même, Si le produit par la racine.
Ajoutez à ce dernier produit le relie, s’il y en
a un; & concluez que l'extraction a été bien faite,
s’il vous vient une fomme égale à celle dont vous
aviez à extraire la racine cubique.
Il n’y a point à’extractions de racines, dont la preuve
ne fe faffe de cette maniéré.
Extraire les racines des quantités; algébriques. Le ligne
radical annonce feul d’une maniéré évidente
l’extraction des racines des quantités algébriques fin-
pies. Ainfi \/aa e l la , yaacc eft a c ,y 9aacceû\ac>
v/49 a4 x x eft j a a x . Pareillement y £ eft
‘-i? R E 11 1 1 l/icftî S I
eft -y y & |y ad b b eft V*$ b. On a auffi b \/aa c c
OU b X a c c = ib x a c& z a b c ;8 t .5 c V t l î i l —
3 C X Ifb “ “ f i > ** « ; Y 81 <1 a — —
ou ia'b Je dis que dans ces Cas l’extraction
eft évidente ; parce qu’on voit du premier
coup-d’oe il que les quantités propofées ont été engendrées
par la multiplication des racines qu’on leur
attribue , & que a a=z a x a , a a c c xz a c X a c >
yaa cc = 3 a c x 3 a c , & c. Mais lorfque les quantités
algébriques font complexes ou font compofées
de pluueurs termes, alors Xextraction s’en fait comme
celle des nombres.
Soit propofé S’extraire la racine quarrée dea a-\-
l a b 4- b b. Ecrivez d’abord à la racine la racine
quarrée du premier terme a a , favoir «. Souftrayez
le quarré de a , il reliera 2 a b 4- b b. Pour trouver le
a a + x a b + bb | ' a + b *efte de la racine, divi-
—fez le fécond terme 2 a b,
par le double de a ou par
2 a ; Si dites en 2 a b ,
combien de fois 2<z, vous
0-{-iab-\rbb
— 2 a b — b b
0 0 trouverez b de fois ; b fera
donc le fécond terme de la racine cherchée. Multipliez
b par 2 a -f- b, & fouftrayez le produit. La
fouftrafrion faite, il ne refte rien : d’où il s’enfuit que
a + b eft la même racine exaâe dea a + 2 a b + b b.
Soit propofé d’extraire la racine quarrée de a4 4-
6 a* b 4- 5 a a b b■ — 12 a b* -f-4 b*. Mettez d’abord
au quotient la racine quarrée a a du premier terme
a*. Souftrayez le quarré de a a , il reliera 6 a* b-\-
5 a a b b — 12 a b* -f- 4 b4. Dites en 6 a* b, combien
de fois 2 a a , vous trouverez 3 a bj écrivez donc
3 a b à la racine. Multipliez 3 a b par xaa-\- y a b ,
6 fouftrayez le produit 6 a1 b 4- 9 a a b b. La fouf-
traâion faite, il reliera — 4 a a b b— 12 a b' 4-4 b*.
Continuez l’opération , & dites derechef en —
j^aabb— \ i a b *, combien de fois 2 a a -f- 6 a bf ou
le double des deux premiers termes, vous trouverez
— 2 b b. Ecrivez donc à la racine — 2 bb ; multipliez
*— 2 b b par 2 a <*4- 6 a b — 2 b b , & fouftrayez ce
produit. La fouftraâion faite, il ne reliera plus rien.
D’où il s’enfuit que la racine cherchée eft «4 -j-
3 a b — z b b. Voici l’opération tout au long.
<i4-f 6 <i î ^+5 aabb — ix a b * /^ b * \ aa -\-^ab—ibb
1 — 6<r, £ + 5 aabb—n a b * + 4 ^ 4
-J- 6 a^b—9 aa bb
O — ^aabb'w-ixab* -\-^bA
4-4 aabb~\-ixab1 —4b*
Pareillement la racine quarrée de x x — a x 4-^
= * — t ; celle de y 4 4- 4^* — 8 ^ 4 - 4 = 2 ^ 4 -2 ^
— 1 ; celle de 16 a4 — 14 a a x x + C f x 4 -+ - i ib b x x
•— 16 a a b b + 4 b4 = 3 x x — 4 a a - j - 2 bb: comme
il paroît par ce qui fuit.
x x —• a x 4- 4 a a 1 x —^a
— x x
9 x 4— 24 a1 x 7- 4- 16 a4
4» 12 b2,x *— 16 aabb |
4- 4 *4 1
• 9 * 4__________ _______
O - - 2 4 a1 tfa4~ 16 a4 4“ x 2— 16 a2 b b
4- 4 b4
3 x 2— 4a a -f- 2 bb
; r 4 + 4 J', ~ $ y + 4 v r , + » y — »
0 + ï j ' ’ + 4y y
+
pH b
^ b §2«
1 1 0
O ; O O
Soit propofé d’extraire la racine cubique de a*
4-3 a a b 4- 3 ab b -{-b1 . Voici comment cette opération
fe fait.
a* 4* J na b 4- 3 a bb -\-b^ 1 « + *
U a*
3 aa | -f- 3 n a b 1 b
a* 4- 3 a à b -f- 3 d b B.^£*
.... 01 1 '■ | WMB ■■ 0
Extrayez la racine cubique du premier terme a*9
Si vous aurez a; mettez donc a à la racine. Souftrayez
le cube de a ou a1* , il reliera 3 a a é 4- 3 aj>b 4~^* • Dites : combien de fois le quarré de a multiplié
par 3, eft-ildans 3 aab? Il vous viendra ^defois; écrivez
donc b à la racine. Souftrayez de a1 4-.3 a a b
4- 3 a b b 4- b * , le cube de a 4- b. La fouftraélion fai*,
te , il ne vous reliera plus rien ; . d o n c k eft la racine
que vous cherchiez. Pareillement ç 4- 2 ç — 4
fera la racine cubique de {6 4* 6 çV—,-40 ç* 4“ 96 {
64 ; & ainfi des racines des puilfances plus élevées.
(2s)
Sur l'extraction des racines des équations, Cas Irréductible, Equation,.Racine, &c.
On peut extraire facilement par logarithmes les racines
des quantités numériques ; c’eft la méthode
de tous les calculateurs, L o g a r ithm e .
Extraire la racine d'une quantité irrationnelle. Soit
par exemple, 3 — 2 ^ 2 , dont on Veut extraire la
racine quarrée, on fuppofera que x — y y foit la
racine cherchée, & on aura x x 4-y — % x y y = 3
—■ 2 y x ; S i faifant les parties rationnelles égales aux
rationnelles, & les irrationnelles aux irrationnelles,
on aura x x 4-y = 3, *■ \/y = 2 ; d’où l’on tire x 1
H S P & f + y = j ; donc y y — 3 y=x - 2 , Si y
= | + i s = tou 2 ; donc x * s? r ou 2; donc ï — ^ 2 ,
ou y 2 — 1 , eft la quantité cherchée. On peut appliquer
cette méthode aux cas plus compofés. Foyer la
Jcience du calcul du P. Reyneau, l'Analyfe démontrée
du même auteur, VAlgèbre de M. Glairaut, & d’autres
ouvrages.
C’eft par cette méthode d'extraire les racines des
quantités irrationnelles, qu’on trouve fouvent la racine
commenfurable d’une équation du troilieme degré
; car y a 4- 4- )/ a — exprimantla racine
d’une telle équation, fi on trouve x 4- \/y pour la
racine cubique d e a + y b , x — y y fera la racine
cubique de a — y b ; ainfi la racine cherchée de l’équation
fera 2 x ; mais lorfque la racine eft commen-
furable, il eft plus court de la chercher par le moyen
des divifeurs du dernier terme.
En général l’artifice de la méthode pour extraire
les racines des quantités irrationnelles, c’eft de les
fuppofer égales à un polynôme compofe de radicaux
& de quantités rationnelles inconnues * félon qu’on
le jugera le plus convenable. On formera enfuite autant
d’équations qu’on aura pris d’inconnues; & chacune
de ces équations doit avoir des racines com-
menfurables, u le polynôme qui repré fente la racine
a été bien choifi. Ainfi la réfohttion de ces équations
n’aura aucune difficulté.
Au refte le mot extraction fe dit plus proprement
& plus ordinairement de l’opération par laquelle on
trouve les racines des quantités algébriques ou nur