3 ™ E X P plomb, l’étain, le cuir, le charbon, le houblon, le
lin , le chanvre, les chapeaux, la bierre, le poiflbn,
les montres, les rubans.
L e s feu ls o u v r a g e s d e la in e q u ’o n t ra n fp o r te tou s
le s an s , font é v a lu é s à d e u x m illio n s de liv r e s f te r l.
& Je p lo m b , l’ é ta in & l e c h a r b o n , à 500000 liv r e s
f t e r l . ffoye^ L a i n e .
La laine, la terre à degraiffer, &c. font des mar-
chandifes de contrebande , c’eft-à-dire qu’il eft défendu
de tranfporter. Voyt^ C o m m e r c e & C o n t
r e b a n d e . Pour les droits de lortie., voyc{ Impôt^
D r o i t s , & c. Chambcrs.
EXPOSANT, f. ni. (.Algèbre.) Ce terme a différentes
acceptions félon les différons objets auxquels
on le rapporte. On dit, Vexpofant d’une raifon, l’c-v-
pofantdu rang d’un terme dans une fuite, Vexpofant
d’une puiflance.
Vexpofant d'une raifon ( il faut entendre la géométrique,
car dans l’Arithmétique ce qu’on pourroit
appeïler de ce nom , prend plus particulièrement celui
de différence ) : Vexpofant donc d’une raifon géométrique
eft le quotient de la divifion du conféquent
par l’antécédent. Ainfi dans la raifon de 2 à 8, Tcx-
pofant eft f = 4 ; dans celle de 8 à 2 , Vexpofant eft
f = £ , & c . Voye^ P r o p o r t i o n *
C ’eft l’égalité des expofans de deux raifons qui les
rend elles-mêmes égales, 8c qui établit entr’elles ce
qu’on appelle proportion. Chaque conféquent eft
alors le produit de fon antécédent par Vexpofant
commun, il femble donc, pour le dire en paffant,
qu’ayant à trouver le quatrième terme d’une proportion
géométrique, au lieu du circuit qu’on prend
ordinairement, il ieroit plus ftmple de multiplier directement
le troilieme terme par Vexpofant de la première
raifon, au moins quand celui-ci eft un nombre
entier. Par exemple, dans la proportion commencée
8. 14 : : 17. * , le quatrième terme fe trou-
veroit tout-d’un-coup, en multipliant 17 par Vexpofant
3 de la première raifon ; au lieu qu’on preferit
de multiplier 24 par 17, ôc puis dedivilèr le produit
par 8. Il eft vrai que les deux méthodes exigent également
deux operations, puifque la recherche de
Vexpofant fuppole elle-même une divifion ; mais dans
celle qu’on propofe, ces deux opérations, s’exécutant
fur des termes moins compofés, en feroient plus
courtes & plus faciles, ffoye^ Réglé de Trois.
Vexpofant du rang eft, comme cela s’entend allez,
le nombre qui exprime le quantième eft un terme
dans une fuite quelconque. On dira, par exemple,
que 7 eft Vexpofant du rang du terme 13 dans la luite
des impairs ; que celui de tout autre terme T de la
même fuite eft ; & plus généralement que Vex-
pofant du rang d’un terme pris où l’on voudra dans
une' progreflion arithmétique quelconque, dont le
premier terme eft défigné par /», 8c la différence par
1,
On nomme expofant, par rapport à une puiffanée,
un chiffre (en carader'e minufcule) qu’on place à la
droite Sc un peu au-deffus d’une quantité, loit numérique
, foit algébrique, pour désigner le nom de la
puiffance à laquelle on veut faire entendre qu’elle
eft élevée. Dans <z4, par exemple, 4 eft Vexpofant qui
marque que a eft luppofé élevé à la quatrième puiffance.
Souvent, au lieu d’un chiffre, on employé une
lettre ; 8c c ’eft ce qu’on appelle expofant indéterminét
d eft a élevé à une puiffance quelconque défignée
par n. Dans V a , n défigne le nom de la racine
qu’on fuppofe extraite de la grandeur a , &c.
Autrefois, pour repréfenter la quatrième puiffance
de a , on écrivoit aaaa; exprefiion incommode, &
pour l’auteur, 8c pour le ledeur, fur-tout lçrfqu’il
E X P s’agiffoit de pùiffanccs fort élevées. Defcartes vint,
qui à cette répétition faftidieufe de la même racine
lubftitua la racine fimple, furmontée vers la droite
de ce chiffre qu’on nomme expofant, lequel annonce
au premier coup-d’oeil combien de fois elle efteen-
fee repétée apres elle-même.
Outre l’avantage de la brièveté 8c de la netteté
cette exprefiion a encore celui de faciliter extrêmement
le calcul des pùiffanccs de la meme racine, en le
reduifant à celui de leurs expofans, Icfquels pouvant
d ailleurs être pris pour les logarithmes des puiffan-
ces auxquelles ils le rapportent,les font participer
aux commodités du calcul logarithmique. Dans l’ex-
polé qui va fuivre du calcul des expofans des puiffan-
ces, nous aurons foin de ramener chaque réfultat à
l’exprefiion de l’ancienne méthode, comme pour fer-
vir à la nouvelle de démonftration provisionnelle ;
renvoyant pour une démonftration plus en forme à
Varticle L o g a r i t h m e , qui eft en droit de la revendiquer.
Multiplication. Faut-il multiplier a m para " ? On
fait la fomme des deux expofans, 8c l’on écrit am +
En effet que /« = 3 , 8c « = 23 am + n = a ^ +a‘ =;
a ’ ta aaaaa x za a aX a a.
Divifion, Pour divifer an par a n , on prend la
différence des <lcux expofans , 8c l’on écrit a m~~
En effet que / n = 5 ,& « = 2 ; « " , — " = « J ~ 1 —
Si n = m, Vexpofant réduit devient 0 , & le quotient
eft a? = 1 ; car (au lieu de n , lùbftituant m qui
lui eft égale par fuppofition) a0 = am *“ "* — —
Si n > m, Vexpofant du quotient fera négatif. Par
exemple, que 7» = 2 , & n ==. 5 ; a ~~ " = —
a” 3. Mais qu’eft-ce que a“ 3? Pour le favoir, interrogeons
l’ancienne méthode, a “ 3 eft donné pour
l’cxpreflion de ~ sb' j-j - es „ ï.C e qui fait voir
qu’une puiffance négative équivaut à une fiaflion,
dont le numérateur étant l’unité, le dénominateur
eft cette puiffance même devenue pofttivc : comme
réciproquement une puiffance/>oÆrzV<! équivaut à un©
fradion, dont le numérateur'eft encore l’unité 8c
le dénominateur cette même puiffance devenue négative.
En général a - m = a ± »«. On peut donc fans
inconvénient fubftituer l’une de ces deux expref-
fions à l’autre : ce qui a quelquefois fon utilité.
Elévation. Pour élever«” à la puiffance dont Vexpofant
eft n y on fait le produit des deux expofans, &
l’on écrit a ” * n. . . En effet que «ï = 2 , 8 c « = 3;‘
a mX « — a i X j’ — a 6 zx. a a a a a a = a a X a a X a a.
Extraction. Comme cette opération eft le contraire
de la précédente; pour extraire la racine «de
a 1, on voit qu’il faut divifer m par n , 8c écrire a 3;
m 6 2
En effet que m xx 6 ,&c n — 3 \ a* zz a i zz a = a 4 3 _ _ _ _ _
= V a aaaaa.
On peut donc bannir du calcul les lignes radicaux
qui y jettent fouvent tant d’embarras, 8c traiter
les grandeurs q u ’ i l s affedent comme des puifian-
ces, dont les expojans font des nombres rompu«. Car
/ 7 = «^ ; = a ~ > &c.
On ne dit rien de Vaddition , ni de la fouftraction ;
parce
E X P parce que ni la fomme, ni la différence de deux puif-
lànces de lâ même racine, ne peuvent fe rappeller à
un expofant commun, ôc qu’elles n’ont point d’ex-
preflion plus fimple que celle-ti, am -f- d . Mais elles
ont d’ailleurs quelques propriétés particulières
.que je 11e fâche pas avoir jufqu’ici été remarquées,
quoiqu’elles puiffent trouver leur application. Elles
ne feront point déplacées en cet article.
Première propriété. La différence de deux puiflan-
ces quelconques de la même racine, eft toujours un
multiple exaft de cette racine diminuée de l’unité,
c ’eft-à*dire que —— donne toujours un quotient
exalft; '
41.- 4' _ 64-4 _ 6$>i <_
fans
Obfervez en paffant que dans le premier exemple
^ ~f 4 = 6 0 = 3 X 4 X 5 . Ce qui n’eft point un ha-
fard, mais une propriété confiante de la différence
des troifieme & première pùiffanccs, laquelle eft toujours
égale au produit continu des trois termes con-
fécutifs de la progreflion naturelle, dont le moyen
eft la première puiflance même ou la racine.
7 — a1 = a— i X a x a + 1 .
Seconde propriété. La différence de deux puiffances
quelconques de la même racine eft un multiple exaft
de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence
des expofans des deux puiffances eft un nombre
pair ; c’eft-à-dire que a- donne un quotient
exaft, quand m — n exprime un nombre pair.
4* - 4* 6 4 — 4 60 r n
j . “ f J~ — y — 11 , J ans refie, parce que
3 — 1 = 2 , nombre pair.
Mais ~ - -4' = = y laffe un refit, parce que
3 — 0 = 3 n'efl pas un nombre pair.
Troifieme propriété. La fomme de deux puiffances
quelconques de la même racine eft un multiple exaél
de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence
des expofans des deux puiffances eft un nombre
impair ; c’eft-à-dire que 7 -— donne un quotient
exaél, quand m—n exprime un nombre impair.
5 4 ~ “4 f = y -— 13 ? f a*s refit, parce que
3 — 0 = 3 , nombre impair.
Mais - — —— — y laiff e un refie, parce que
3 — 1 = 1 n e f pas un nombre impair.
Démonftration commune.
Si l’on compare am ± a n , confidéré d’une part
çomme dividende avec a ± 1 , confidéré de l’autre
comme divifeur, il en réfulte quatre combinaifons
différentes ; favoir,
Maintenant, fi l’on vient à effe&uer fur chacune la
divifion indiquée, on trouvera ( & c’eft uné fuite
des lois générales de la divifion algébrique)
i° . Que dans toutes les hypothèfes, les termes du
quotient (fuppofé exaél) font par ordre les puiflàn-
ces confécutives & décroiffantes de a , depuis & y
compris a 1 jufqu’à a 1 inclufivcment ; d’où il fuit
que le nombre des termes du quotient exact, ou, ce
qui eft In meme chofe, Vexpofant du rang de fon dernier
terme eft m—n.
,2°. Que dans les deux premières hypothèfes les
Tome F l.
E X P 313 lermcs àu quotient ont tous le figne + , &que dans
les deux dernières ils ont alternativement 6e dans le
même Ordre les fighes + & - ; de forte que le figne 4-
appartient à ceux dont expofant du rang oit impair,
& le figne — a ceux dont Vexpofant tlm rang, eft pair. 3 • Qu e, pour fendre la divifion exaBc, le dernier
terme du quotient doit avoir le fi«rte -x darts les
première & troifieme hypothèfes, 8c le ligne + dans
la féconde & dans la quatrième.
La figure fuivante met fous les yeux le réfultat
des deux derniers articles. La ligne fupéricure rc-
pféfente l’ordre des fignes qui affeaent les divers
termes du quotient, relativement aux quatre différentes
hypothèfes ; l’inférieure marque le figue que
doit avoir dans chacune le dernier terme du quotient
y pour rendre la divifion exaâe.
I.M fM tfi. Secokje. 1ThMau. ■ OitiiéiM, 4-.4-.-j-.fr(. 4-. + .4 -.Si. 4-.-,4-.-.s-,.
- . . É -, : ; 4- .
La feule jnfpeftion de la figure fait voir que la di-
vifion exaae ne peut avoir lieu dans la première
hypothèfe, puifqu’elle exige le figne - au dernier
terme du,quotient, 8c que tous y ont le figue 4. : que
par une raifon contraire elle a toûjours, lieu dans la
ieconde ; qu elle l’a dans la troifieme, quand Vtxpo~
fane Au rang du dernier terme, oh ( Jnprà) m -n .
eft pair ; & dans la quatrième, quand m— n eft impair.
J ai remarqué (&c d’autres lans doute l’auront fait
ayant moi ) que la différence des 'troifieme 8c première
puiffances de la même racine eft égale ail produit
continu de trois termes confécutifs de la pro-
greffion naturelle , dont le moyen eft la premier®
puiffance même ou la racine . . . r1 — r1 ==7^7} x
r l X 3 S 3 2
. Cette propriété au relie dérive d’une autre intérieure.
Les expofans des deux ptiiffancCs étant quelconques,
pourvh que leur différence foit 1 , on a généralement
r " - r" = r ~ 1 X r“ x r 4 1 ; . . . 8c la dé-‘
monftration en eft aifée. Car dans le fécond membre
le produit des extrêmes eft rr — 1 ; 0r fi l’oit mul.'
tiplïe le terme moyen r" par r r — 1 , 0n aura V * 1
— r : mais r ’ + puifque (par fuppofition)
m — n = 1 , d’où m c= n -f- x.
Ceci eft peu de chofe en foi : mais n’en pourroit-
on pas faire ufage, pour réfoudre avec facilité tout®
équation d’un degré quelconque, qui aura ou à qui
on pourra donner cette forme xm — x n —axz o de
forte que m — n y foit = 1 , & dont une des racines
fera un nombre entier»
En effet , cherchant tous les divifeüfs ou fadeurs
d e a , ôc pour plus de commodité les difpofant par
ordre deux à deux, de façon que chaque paire contienne
deux fadeurs correfpondans de a , comme on
voit ici ceux de 1 2 . . . ^^ â. » . . . . on eft affûré qu’il
| s’en trouvera une paire qui fera . Choififfant
donc dans la ligne inférieure (que je fuppofe
contenir les plus grands fadeurs ) ceux qui font des
puiffances du degré «, ou bien il ne s’en trouvera qu’un
, & dès-là fa ri‘™ racine fera la valeur dé x , ou il
s en trouvera plufieurs ; 8c alors les comparant avec
leurs co-fadeurs, on fe déterminera polir celui dont
le co-fadeu r eft le produit de fa nietne racine dimi*‘
nuée de l’unité par la même racine augmentée de
l’unité. Par exemple,
Soit l’equation à réfoudre . . . X* — xt — 3000 = 0 ,’
on trouve que les fadeurs de 3000 font par ordre ,
* «Ç J 4 5 6. 8 1 0 1 2
î o o o * i ï ôo* 1000* 7 f o * 600* ƒoo* î 7 ï ' j o 6• i j o * ",
t f 20 24 2 f 10 40 ï o 200* IJO* I 2 f ’ 120* ZOO* 7 î * OO*
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