je pofe 5 & retiens 2 ; puis je multiplie
une fois les dixaines 2 par les unités 5 , 25
lorfque je dis 5 x 2 font 12 , que je pofe 25
à gafrche de mon 5. I2-5
59:
.. . i H I . SB e Je njujtiphe une féconde fois les dixaines 2 par les
nqités 5 , lorfqpe je; dis 2 x 5 font 10, je pôle o &
fetiçns k Enfin je multiplie les dixaines 2 par elles-
mêmes , ce qui me donne le quarré de ces dixaines,
en di&pt , 2 x 2 font 4 , & 1 de retenue font 5 , que
je pofe à gauche du 0. J’ajoute ces fournies, & j’ai
ïç produit 615 dont on propofé de tirer la racine
quarrée ; c’eft-à-dire qu’il s’agit de trouver le nombre
q ui, multiplié par lui-même, a formé le quarré 625.
Mais avant que de commencer cette opération , on
doit avoir la table fuivante foiis fés y e u x , ou plutôt
dans fa mémoire.
Racines. Quarrés, Cubes,
2 4 8
3 9 VJ
4 16 6 4
5 25 Ï25
6 36 216
7 49 343 8 64 *512
9 81 729
*9, 100 1000
Cela pofé, je partage mon nombre 6-25 1
total 625 en deux tranches, comme l’on ------ —
voit ci-à-côté. La première tranche à
gauche qui pourroit avoir deux chiffres,
peut aufli n’en avoir qu’un ;_m,ais toutes |
les autres tranches à droite font néceffairement de
deux chiffres ; & pour le démqptrer, prenons le§
plus petits chiffres poflibles, par exemplè 100. Si on
multiplie 100 par 100, on aura le quarré 1 ,0 0 ,0 0
en trois tranches, dont la première à gauche n’a
qu’un chiffre, tandis qüe les autres en ont deux.
Prenons à-préfent les plus grands chiffres poflibles,
999. Si on les multiplie par eux-mêmes 4 on aura le
quarré 9 9 , 8p, 01, qui fait trois tranches chacune
de deux chiffres, & non davantage. Au furplus les
différentes tranches, fuivant le fyftème de la progref-
fion décuple, expriment les unités, dixaines, centaines,
&c. de la racine totale.
Ces premières notions une fois établies, je dis : la
racine quarrée de 6 eft 2 pour 4 ; voilà déjà nos dixaines
trouvées ; je les pofe en forme
de quotient à côté de 625, comme l’on 6-25 I 25
voit dans l’exemple : puis je les quarré ^ ... -
en difant ? 2x2 font4 ,& je tire cequar- 2 1
té 4 de la première tranche 6 , difant, 4
4 de 6 relie 2.
Il faut obferver que ces deux dixaines dont j’ai
formé le quarré font 20.; & qu’ainfi en difant 2X2
font 4 ,4 de 6 relie 2 , c’eft comme li je difois 20
X 20 font 400, 400 de 600 relie 200.
Je baiffe à-préfent le 2 de la fécondé tranche 25 ;
ce qui fait avec mon premier 2 , réfidu de mon 6 ,
22. Je m’attache enfuite à chercher le fécond chiffre
de la racine totale ; ô^.comme dans le produit de la
multiplication ci-deffus expofée, j’ai employé deux
fois les, dixaines 2 , autrement une fois 4 dixaines
multipliées par les unités-5, j’y dois trouver la même
fommé ou quantité, en décompofant, pour l’extraction
de la racine.
Je prends donc deux fois les dixaines 2 , ce qui
fait 4 dixaines : j’écris ce 4 fous le 2 de ma fécondé,
tranche, & je dis : en 22 combien de fois 4? il y eft
5 & relie 2 , qui avec le 5 de la fécondé tranche,
Que je n’ai point baillé, pour éviter l'embarras, fait
2^, c’eft-à-dire le quarré julle des unités 5 que je
cherchois, & que je vieps de trouver, pour fécond
chiffre de la racine totale 25 : je pofe donc 5 en for-
me de quotient à côté du 2 déjà trouvé auparavant.
Je forme le quarré 25 de ces unités 5 ; puis je multiplie
les mêmes unités 5 par le doublé 4 des dixai-
nès 2 , & je tire ces deux produits de ma derniere
trapche & du réfidu de la première,
e’ell-à-dire de 225 , ci ......................... 225
en difant 5X5 font 2 5 ,2 5 de 25 relie o 000
& retiens 2 ; 5X4 font 20 & 2 de retenus
font 22, 22 de 22 relie o.
Ces deux produits fe liront exactement fans aucun
relte , je conclus que la, racine quarrée de 625 eft
tout julle 25, Pour derniere preuve je multiplie 25
par 25 ; & retrouvant le produit 6 25, je demeure
pleinement convaincu que mon opération eft exaéle.
Mais voici une autre méthode que je préféré , à
plusieurs égards. On commence l’opération à l’ordinaire
pour la première tranche ; la différence ne pa-
roit qu’à la fécondé ; elle eft la même dans toutes
les fuivantes. Au lieu donc de tirer deux fois nos
dixaines 2 , c'eft-à-dire 4 dixaines, & de dire, comme
on fait communémerit, pour trouver le fécond
chiffre d’une racine, en 22 combien de fois 4 , il y
eft 5; ne prenons que la moitié 11 du nombre 22;
ne prenons aufli que la moitié de nos 4 dixaines ,
c’eft-à-dire, ne tirons qu’une fois nos dixaines 2 de
notre moitié 11. Ecrivons 2 fous 11 en
cette forte................................................... u
& difons, en 11 combien de fois 2 , il 2
s’y trouve 5 fois, comme 4 s’elt trouvé
5 fois en 2 2 ,2 étant à 11 comme 4 à 22.
Je pofe donc 5 popr foçond çhiffre de la racine totale
dp quarré 625 ; mais comme ce 5 pourroit
quelquefois être trop fort, je le pofe féparément,
comme chiffre que je dois éprouver : & alors, pour
vérifier s’il eft bon , & fans examiner li je pourrai
tirer du dernier réfidu le quarré 25 des unités 5 ,
quarré qui doit encore fe trouver en 625 , puifqu’il
y eft entré par la multiplication ; je procédé tout de
fuite à la preuve : pour cela je multiplie 25 par 25 ;
& trouvant au produit 6 2 5, je m’affûre que la racine
quarrée de 625 eft tout julle 25.
Si la fomme à décompofer, ou dont on cherche
la racine , au lieu de 625 n’étoit, par exemple,que
620, pour lors le procède donneroit encore 25 pour
racine totale ; mais venant à la preuve , & multipliant
25 par 25, on auroit le produit 625 plus fort
que 620 : on verroit par-là que le çhiffre à éprouver
5, qu’on auroit mis pour fécond chiffre de la racine
totale, feroit un peu trop fort.Onmettroitdonc
4 , & Fon en feroit l’épreuve en multipliant 24 par
24 ; on tireroit le quarré 576 de 620,
en cette f o r t ç , ....................................... 620
& Fon verroit pour lors avec certitude 576
que la racine quarrée de 6 20 eft 24, ou- 44
tre le réfidu 44, qui fait une efpece de
fradion dont il ne s’agit pas ici.
Si après avoir mis 4 pour fécond, troilieme, quatrième
chiffre d’une racine, ce 4 fe trouvoit encore
trop fort par l’épreuve qu’on en feroit, alors au lieu
de 4 on ne mettroit que 3 , & l’on viendroit à la preuv
e , comme on a vu ci-delïus.
Cette maniéré tfextraire préférable, en ce qu'elle
diminue les nombres for lefquels on opéré, & qu’il
y a toujours moins à tâtonner. C ’eft-là proprement
l’avantage de cette méthode , laquelle eft fur-tout
bien commode pour Fextraction de la racine cubique,
oii elle abrégé beaucoup l’opération ; c’eft pourquoi
il eft bon de s’y accoutumer dès la racine quarrée,
il eft plus facile de l’employer enfuite dans Vextraction
de la racine cubique.
Au relie la démonltration qu’on vient de voir de
Vextraction de la racine q ua rrée8 c que je n’applique \
ici qu’à un quarré de. deux trànçhesdont la racine ;
né contient que des dixaines & des unîtes ; cette de- :
monftration, dis-je, convient également à un nom-, ;
bre plus grand, dont la racine çontiendroit des centaines,
des mille 9 &c. en y appliquant e s décom-: :
pofitions & les raifonnemens qu’on a vus ci-deffus.
Il fuffijt, en Arithmétique , de convaincre & d’éclairer
l’efprit fur les propriétés & les rapports des petits
nombres que l’on découvre par-là plus facilement,
& qui font-abfoiument les mêmes dans les plus grands
nombres ^quoique, plus difficiles à débrouiller.
D ’ailleurs je n’ai prétendu travailler ici que pour
les eommençans, qui ne trouvent pas toujours dans,
les livres ni dans les explications d’un maître de quoi
fe fatisfaire, & je fuis perfuadé queplufieurs verront
avec fruit ce que je.viens d’expof'er ci-deffus. Si quel-
jqües-uns n’en ,ont pas befoin, je les, en félicité , -8c
les en eftime davantage. t
Le plus grand réfidu poflible d’une racine quarree,
«Il toujours le double de la racine même ; ainfi la
racine quarrée de 8 étant 2 pour 4 , le plus grand re-
fidu poflible de la racine 2 eft-4 , double de 2. ^
La racine quarrée de 15 étant 3 pour 9 , le plus
grand réfidu polfible de la racine 3 eft 6 , double de 3.
La racine quarrée de 24 étant 4 pour 16 , le plus
grand réfidu polfible de la racine 4 eft 8 , double de
4 , & ainfi de tous les autres cas.
De la racine cubique. On peut dire à-peu-près de
la racine cubique ce que nous avons dit de la racine
quarrée; extraire la racine cubique, c’eft décompofer
un nombre quelconque, de façon que l’on trouve
un nombre moindre, lequel étant multiplié d’abord
par lui-même, & enfuite par fon quarré, ou par |g
produit de la première multiplication, donne exactement
le premier nombre propofé, ou du moins en
approche le plus qu’il eft poflible. Ainfi extraire la
racine cubique de 15625, c’eft trouver par une dé-
compofition méthodique la racine cubique 25, laquelle
étant multipliée d’abord par elle-même, produit
le quarré 625, & multipliée une fécondé fois
par fon quarré 625 » forme le cube 15625.
On a trouvé, en examinant les rapports qc la pro*
creflion des nombres, que cette multiplication double
de 25 par 25, & de 25 par fon quarré 625, produit
premièrement le cube des dixaines 2 du nombre
propofé 15 ; cube qui fait 8009, parce que le a,
dont iù'àgit eit x o .O r ooX *o font le quarré 400,
20 x 400 for.r le cube 8cco. .
Secondement j cette albification produit le triple
du quarré des dixaines a , multiplié par les unités 5,
ce qui fait 6000 ; 8c cela, parce que le a dont il s’agit
eft véritablement a dixaines ao. Or en le quar-
rant, 8c difant ao X 10 , on a 400, en triplant ce
quarré 400,-on a ta o o , en multipliant ce produit
1 aoo par les unités 5, on a 6000.
Troifiemement, cette albification de 1 5 , 8c ainfi
à proportion de toute autre, produit le triple-do des
dixaines a ; triple 60 multiplié par le quarré a 5 des
unités?. , c_e_ q__uli fait V1 5l'A00n . I ' ' , '
■ Enfin cette albification produit le cube
115 des unités 5. Ces quatre produits par-
$iels, favoir :
i ° . Le cube des dixaines...................... 8000
20. Le triple du quarré des dixaines 2
multiplié par les unités 5 . . . . . . 6000
30. Le triple des dixaines 2 multiplié par
le quarré 25 des unités 5 . • . » . » 1500
40. Le cube des unités 5 ..................... » _ . 1 *5
Ces produits forment, dis-je, le cube total. . . 15625
Au relie la génération de ces divers produits eft
plus difficile à démontrer dans les deux multiplications
que l’on employe pour former un nombre cube,
que dansla feule multiplication quei’on employe
Tome V/.
pour former un nombre quarré. La taifon eh eft, que
dans ces deux multiplications les produits partiels fô
confondant entr’eux, & rentrant les uns dans les autres,
on ne les découvre gucre que par la décompo-
fitiori, au moins tant qu’on erhploye l’arithmétique
vulgaire.
On fait par la pratique & par l’examen, qiie ces
divers produits réfultent néceffairement de ces deux
multiplications par une propriété qui leur eft effen-
tielle, & qui liiffit, lorfqu’elle eft connue, pour con-.
vâincïe & pour éclairer. Il ne s’agit donc que de fa*
voir procéder à la décompôlition d’un nombre quel-,
conque, & d’en tirer ces différens produits d’une maniéré
facile &.abrégée, ce qui a fon utilité dans F,oc*
c'afion.
Par exemple, on dit qu’un bloc dè marbre quarré
de tous fens à 15625 pouces cubes ; & fur cela on
demande quelle eft là longueur, largeur, & profondeur.
Je le trôüvé, en tirant la racine clibiquè de
15625. Pour celà je partage ce n'ombre en deuïe tranches
, dont la première à gauche n’a que deux chiffres
, la fécondé en a trois. La première tranche à
gauche peut avôif trois, ou deux, ou même un feul
chiffre ; mais les fuivantes doivent toûjours être complétés
, & toûjours de trois chiffres, ni plus, ni moins :
c’eft ce que l’on peut vérifier- aifément par le produit
cubique des nombres 100 & 999 ; produit qui donne
d’un côté 1 ,0 0 0 , ôoo, & de l’autre 997, 002,999.
Je dis donc, la racine cubique de 15 eft 2 pour 8 »
j ’écris 2 en forme de quotient, comme jv -g ieK
l’on voit ci-à-côté ; puis je tire de la pre------ -1-
miere tranche 15 le cube de ce 2 , en 7 6 }
difant 2 x 2 font 4, 2 X 4 font 8, c ’eff-à-dire 8 mille :
or 8 mille tirés de 15 mille, relie 7 mille qiie j’écris
au-deffous de 15 , comme l’on voit dans l’exemple.
Enfuite, pour trouver le fécond chiffre de la racine
totale, & ainfi du troifieme, quatrième, &c. en
fuppofant le nombre à décompoler beaucoup plus
grand, je baiffe le 6 de la fécondé tran- r ^ 1
che, lequel avec le 7 réfidu de la pre- ?...— Il —
miere à gauche fait 76 ; puis je prens 12 7 6 I
triple du quarré du premier chiffré trou- 1 1 I
v e 2, j’écris ce nombre 12 fous 76 ; & je dis, en 76.
combien de fois 12, il y eft 6 pour 72 , & refte 4 , le*
quel avec les 25 qui relient de la fécondé tranche,
fait 425,fur lefquels je dois tirer le triple du premier
chiffre 2 dixaines, c’eft-à-dire 60 multiplié par le
quarré 36 du fécond chiffre trouvé, ou chiffre éprou-
vable 6 , dont le produit 2160 ne fe peut tirer du
refte 425, fans parler du cube 216 du même chiffre
6 ; cube quidevroit encore être contenu dans le refte
425* . § B
Je vois donc que le chiffre à éprouver 6 que j’ai
trouvé pour fécond chiffre de la racine totale, & que
j’avois mis à part, ne convient en aucune forte. J’éprouve
donc le chiffre 5 ; & pour cela je dis 5 x 1 2
font 60, 60 tirés de 76 , refte 16 , -lefquels avec le
relie 25 de la fécondé tranche font 1625 15-625)
7 6 |
6 0 i
1 6 JJe
forme à préfent le triplé du pre-
mier chiffre 2 dixaines, c’eft-à-dire 60.. ' ^ ^ —
multiplié par le quarré 25 du fécond 7 6
chiffre 5 , je tire le produit 1 5Ô0 de 6 °
1625, après quoi félle 125 ; ce qui fait i o - 25
jullement le cube des unités 5 , que je 1 > 00
dois encore tirer. • >
Je vois par-là que la racine cubique du nombre
15625 eft 25 fans relie, & qu’ainfi je puis pofer 5 eii
forme de quotient pour fécond chiffre de là racine
totale.
Pour derniere preuve je prends le cube de 25 ; &
T t ij