C H A
cette courbe à tomes celles dont on a-fait ufage , fi
.elle n’avoit pas l’inçpnvénient de former un angle
défagréable avec les piédroits à-plomb au droit
des naiffances. Mais on peut l’employer utilement ■
pour les grands ouvrages où la folidité doit être '
préférée à la décoration.
Lorfque Taxe qui mefure la courbure de la
chaînette n’a que le tiers ou le quart de fa plus
grande largeur, le contour de cette courbe eft
arfez agréable, & feroit très-propre à former le
ceintre des arches de pont, tant pour la folidité
que pour la facilité de la navigation , & pour
l’écoulement des rivières dans le temps de leur
plus grande crue ; Car la chaînette exige le
moins d’élévation de ceintre pour avoir la même
folidité. ( Voye^ l’article V oû te s ).
Cette courbe eft excellente pour former le
ceintre des arcs de conftruélion qui ont de grands
fardeaux à porter. On s’en eft fervi avec fuccès
pour les grands arcs qui foutiennent la colonnade
circulaire du dôme de la nouvelle églife de Sainte-
Geneviève , & pour la grande voûte intermédiaire
fur laquelle porte la lanterne de cet
édifice.
Nous renvoyons au Diétionnaire de Mathématiques
; aux ouvrages de MM. Bernouilli père 8c
fils , & Couplet ; aux Mémoires des Académies
des Sciences de Paris & de Pétersbourg , pour la
demonftrarion analytique de toutes les propriétés
de cette courbe : nous nous contenterons d’expliquer
les deux manières les plus fimples de tracer
cette courbe , & de lui mener des tangentes 8t des
perpendiculaires.
Première manière de tracer la chaînette
Il faut fe procurer pour cela une chaîne bien
faite , dont les anneaux foient égaux & mobiles :
ayant enfuite choifi un mur d’à-plomb , dont
l’enduit foit bien dreffé, on tracera fur ce mur
une ligne horifontale , à une hauteur plus grande
que la longueur de l’axe. Sur cette ligne on portera
(fig. 90) de A en B la largeur de la courbe
au droit dès naiffances ; à ces points A & B on
plantera deux forts clous , pour y arrêter les
extrémités de la chaîne ; fur le milieu de AB
on abaiffera une perpendiculaire CD égale à
l’axe , c’eft-à-dire , à la diftance du milieu de
la courbe, à la ligne horifontale qui paffe par
les naiffances. Cela fait, ayant arrêté un des bouts
de la chaîne au clou A , On la fera couler le long
de l’autre B , jufqu’à ce que le milieu de la chaîne
foit précifément au point D. Cette chaîne , étant
ainfi arrêtée aux deux clous A 8c B , formera l’ef-
pèce de chaînette qui convient à ce cas particulier.
Pour avoir fon contour fur le mur, on fuivra
avec un crayon la courbure de la chaîne, le plus
exaâement qu’il fera polfible ; le ceintre placé
C H A
de cette manière aura une pofition renverfée par
rapport .à celle .qu’il doit avoir pour former le
ceintre d’une voûte.
Autre manière de tracer la chaînette par plu fleurs
points.
Comme il peut arriver qu’on ne puifie pas fe
procurer une chaîne affez bien faite pour tracer
cette courbe avec la précifion convenable, voici
une manière de trouver autant de points qu’on
voudra de cette courbe , par le moyen de la
géométrie •& du calcul numérique.
Connoiflant la largeur AB & la hauteur CD
que doit avoir le ceintre d’une voûte, dont on
defire que la courbe foit une chaînette ; par le
point D on tirera une perpendiculaire indéfinie
à l’axe CD ; on portera enfuite la partie CB égale
à AC fur l’axe de C en E ; du point E pour, centre,
& EC pour rayon, on décrira line demi-circonférence
de cercle, qui coupera en F la perpendiculaire
indéfinie tirée du point D.
Le partie DF fera le paramètre de la courbe
qu’on portera de D en G. Par le point G on
mènera une parallèle à DF , & deux autres des
points A & B à l’axe, qui rencontreront la première
aux points H & I.
Du point G pour centre & GC pour rayon,
on décrira un arc de cercle qui coupera la ligne DF
prolongée , en un point L , duquel on tirera la
droite LG.
Du point L comme centre 8c LD pour rayon ,
on décrira un arc DN , qui coupera en N la
droite LG.
Ayant porté NG de I en K fur la ligne IB,
on cherchera une moyenne proportionnelle entre
IK 8c GD , qu’on portera de e en n fur une
parallèle à l’axe, placée au milieu de GI ; enfuite
on cherchera une troifième proportionnelle entre
les lignes e n , D G , qu’on portera de b en h9
fur une autre parallèle à l’axe, placée au milieu
de HG. La courbe qui paffera par les pointsKn, Dh ,
s’appelle logarithmique ; cette .courbe eft néceffaire
pour trouver les points de la chaînette.
• On trouvera autant de points qu’on voudra de
la logarithmique, en cherchant des moyennes
8c troifièmes proportionnelles aux lignes déjà
trouvées, qu’on placera fur des parallèles à égale
diftance de l’axe.
Pour avoir. autant de points de la chaînette
qu’on aura tiré de parallèles à l’axe , on ajoutera
enfemble les moyennes &. troifièmes proportionnelles
, placées à égale diftance de l’axe, telles
que en y b h; on prendra la moitié de leur fomme,
, qu’on portera de b en q & de b en /, les points
t & q feront des points de la chaînette.
Lorfque le diamètre AB du ceintre 8c de fon
élévation CD font connus , on peut , pour une
c H A
plus grande précifiondéterminer toutes les autres j
lignes par calcul.
CP étant égal à AB , lorfqu on connoit ,
on connottra aufli. DP.
Pour avoir DF ~ D G on multipliera DP X D C ,
& on extraira la racine quarrée du produit qui fera
la valeur de DF.
Dans la triangle re&angle LG D , on connoît
l’hipoténufe LG=_CG, 8c le côté DG ; donc LD
fera égale à V lg’—dg, & NG = IK fera égal à
l g - l d .
Connoiflant IK & DG on trouvera que la valeur
en — k'ïR x dg & que b h = - e^-.
Enfin, ayant trouvé les valeurs de en & bh9
on aura celleeq zeebt égale à — •
Si l’on veut avoir pour chacune de ces courbes ,
d’autres points fur des parallèles à laxe placées
“u milieu des intervalles Asi|Hb ; pour la logamhinique
on aura, /o = t/lK. + en , & a8 fo *
Pour la chaînette au & f r feront chacune égale
, fo-fag
a ----------— ' BKHM
x ^
Dans ce diaionnaire , nous avons plutôt en
vite ceux qui font chargés de la conduite des ouvrages
relatifs à l’architeaure , que les favans
& les mathématiciens. Ainfi, non pas pour ces
derniers r mais en faveur des appareilleurs çlus
au fait des opérations qui fe font avec la teg e
& le compas , que de celles qui fe font par le
calcul, nous allons donner une méthode géométrique
de trouver, lans calcul, les moyennes
& troifièmes proportionnelles , neceflàues pou
tracer la courbe logàmhmique ; de meme que
leurs demi-fommes qui fervent a trouver les points
de la chaînette.
Ayant trouvé par I procédé ci.- devant indiqué
la. pofition de kt ligne Hl, par rapport au
fommec de la courbe, ainfi que la longueur IK .
pour m.uver la moyenne proportionnelle t a . ,
entre IK & GD , on portera fur une meme ligne 1
droite la 2 andeur de ces deux lignes, 1 une de
G en D , & l’autre de G en K , (fig. 9,1 )•
Par' le point G on élèvera une perpendiculaire
indéfinie ; & ayant divifé- KD en deux
parties égales au point C , de ce point, comme
centre , on décrira une demi - circonférence de
cercle qui coupera la perpendiculaire tirée du
point G au point O , & GO fera la moyenne
proportionnelle cherchée, que 1 on portera de e
en n , fur une parallèle à l’axe tirée du milieu |
de la ligne G I\ (Ag* 9®)*
Pour trouver la troifième proportionnelle b t9
glacée de. l’autre côté de l’a x e a même diftance
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on prolongera indéfiniment la ligne GO (fig.91);
& des points D & O comme centre, avec une
même ouverture de compas , qui pourra être
égale à O D , on décrira quatre arcs de cercle ,
qui fë croiferont aux points E 8c F , par lefquels
on tirera une ligne qui coupera OG prolongée
en un point B. Enfuite de ce point B , comme
centre, 8c pour rayon BO, on décrira une demi-
circonférence de cercle ODK qui rencontrera la
ligne OGB prolongée en H. La partie GH fera
la troifième proportionnelle cherchée , qu on portera
de b en h t (Ag- 7 0 )• I
Mais fi l’on ôbferve que B H = BO font chacune:
égale à la demi-fomme de la moyenne en , 8c de
la troifième proportionnelle b h , ( fig. 90) , on
verra que BH 8c BO font égalés à eq3 bt , qui
marquent les diftances de la ligne HI aux points
t 8c g de la chaînette. D’où il refulte qu on peut
fe difpenfer de tracer la courbe logarithmique ^
8c porter tout de fuite fur les parallèles à l’axe
les diftances BH 8c BO.
Comme c’eft une règle générale , que dans
toutes fortes de voûtes dont la fuperficie intérieure
eft courbe , les joints foient perpendiculaires
à la coiirbe du ceintre , il eft à propos
d’ajouter les moyens de tirer des perpendiculaires
à la chaînette.
Première méthode.
Dans l’ufage ordinaire la hauteur des pierres
ne faifant qu’une très-petite partie de la circonférence
des voûtes ; 8c comme de plus ces joints
n’ont pas beaucoup de longueur, les appareilleurs
fe contentent de prendre fur la courbe deux points
à peu de diftance de celui où doit paffer la perpendiculaire
, 8c ils opèrent comme fi la partie de
courbe comprife entre les deux points étoit une
ligne droite ; ce qui, dans la pratique , ne peut jamais
produire une erreur fenfible. Cependant nous
allons donner une autre méthode de mener, géométriquement
des tangentes 8c des perpendiculaires
à la chaînette , pour fervir dans les cas
où la méthode-pratique que nous venons d’indiquer
n’auroit pas affez de précifion.
Par un point donné, mener une tangente à la chaînette«.
Soit que la courbe ait été décrite mécanique*-
ment par le moyen d’une chaîne, ou qu’elle ait
été tracée par plufieurs points trouves par les méthodes
que nous venons d indiquer , 8c raccordés
avec une règle pliante , il faudra prendre le développement
depuis le point donne u ( fig. 9® ;) »
jufqu’au fommet D , 8c l’étendre en ligne droite-
fur la perpendiculaire à l’axe de D en L.
Du point u , ayant mené une parallèle à DL ;
qui rencontrera l’axe au point m '9 on tirera le*
droites n?L 8c LG ,, qui forment enfemble um