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Du rapport du diamètre à la circonférence.
Malgré toutes les recherches des géomètres ,
on n’eft pas encore parvenu à trouver le rapport
jufte du diamètre à la circonférence ^ quoiqu’il
foit cependant néceffaire de le connoître, pour
trouver la fuperficie que la circonférence renferme.
Archimède , qui vivoit plus de deux cens ans
avant J. C . , paroît être le premier de tous les
géomètres qui fe foit occupé de ce rapport, qu’il
parvint à exprimer, d’une maniéré allez precife ,
en comparant au diamètre le contour moyen de
deux polygones de quatre-vingt feize côtés, dont
un fçroit infcrit, & l’autre circonfcrit au même
cercle.
Le réfultat de fon opération lui fit connoître
que ce contour moyen , qui diffère infiniment
peu du cercle, étoit au diamètrè, à très^peu de
chofe près, comme aa eft à 7.
Il fuit delà qu’on peut avoir, à très-peu de
choie près, la circonférence d’un çerçle, en multipliant
fon diamètre par 3^-.
Toutes les recherches qu’on a pu faire depuis
plus de deux mille ans qu Archimède a trouvé ce
rapport, ont prouvé que ç’étoit le plus jufte qu’on
pût trouver, en ne fe fervant que de deux chiffres :
c’eft même leTful dont çn faffe ufage dans les
arts.
Cependant Métius, mathématicien hollandois,
trouva, vers le commencement du dix-feptième
fiècle, un rapport encore plus jufte , en employant
trois chiffres. Selon ce rapport, la circonférence
feroit au diamètre , comme 355 eft à 113. Si l’on
■ veut employer un plus grand nombre de chiffres ,
on trouvera un rapport encore plus exaét que celui /
de Métius.
Ludolphe de Cologne trouva à peu près, dans
le même tems , en employant trente-trois chiffres,
une approximation, qui eft la plus jufte que Ion
connoiffe.
Suppofant le rayon de,
100,000,000,000,000,000,000,OOO,OOO,000,000^
11 prouve que la circonférence feroit plus petite
que,
314,159,265,3 5 8 ,9 7 9 ^ 3 »846,264,338,3 27,95 ij,
& plus grande que,
314,15 9,265,3 58,979,3 23,846,264,3 38,3.27»9
qui ne diffèrent cependant que d’une unité.
Lorfqu’on fe fert du rapport de 7 à 22 pour
trouver la circonférence d’un cercle dont on con-
noît le diamètre, cette circonférence fe trouve
trop grande de la 2486e partie de ce nombre,,
environ ; ainfi, fi on avoit à trouver la circonférence
d’un cercle , dont le diamètre fût de
791 pieds, ilfaudrpit ôter une unité du nombre
21486, que le rapport de 7 à 22 donneroit ppur
cette circonférence*
C E R
Le rapport de 113 à 355 donne la circonfé-
rence jufte, à moins d’un onze millionième près,
c’eft-à-dire, que par ce rapport, on trouveroitla
circonférence d’un cercle de 26726 pieds de diamètre
, à moins d’une ligne près.
Il réfulte de ce que nous venons de dire ;
que le rapport de 7 à 22 peut fervir jufqu’à
50 pieds de diamètre , où il ne diffère du vrai
rapport que d’une ligne : & que pour les diamètres
plus grands , il faut fe fervir de celui de !
113 à 355 , qui fuffit pour les plus grandes opéra-;
tions qu’on puiffe avoir à faire dans les arts.
De la furfacé du cercle.
On démontre, en géométrie, que la furface dft
cercle eü égale au produit de la circonférence par la
moitié du rayon ou le quart du diamètre ; deforte
qu’il fuffit de îonnoître le diamètre d’un cercle,
pour trouver fa fuperficie, lorfqu’on connoît le
rapport du diamètre à la circonférence.
Il réfulte de la manière de trouver l’aire ou la
furface du cercle , qu’elle eft égale à celle d’un
triangle , dont la baie feroit la circonférence développée
en ligne droite, & dont la hauteur feroit
le rayon; ou à un reâangle, dont le grand côté
feroit égal à la demi-circonférence, & le petit au
rayon. Rien ne- feroit fi facile que de changer ce
reélangle en un carré, c’eft-à-dire, de trouver la
quadrature du cercle , s’il ne falioit pas , pour avoir
le grand côté du reétangle, connoître le rapport
jufte du diamètre à la circonférence : c’eft en quoi
çonfifte la difficulté de ce fameux problème , dont
on cherche la folution depuis près de deux mille
ans, & qui a occupé pendant long-temps plufieurs
grands géomètres. Il s’eft cependant trouvé des
gens médiocrement inftruits, qui ont prétendu l’avoir
réfolu; mais un examen férieux de leur méthode
, a fait voir que la plupart de ceux qui
croyoient avoir fait cette découverte , n’enten-
doient feulement pas l’état de la queftion.
En fe fervant des rapports connus-, tel que celui
de 7 à 22 , ou de 113 à 3 55, on peut trouver la fur-
face du cercle par un calcul très-fimple. Dans le pre-
• mier cas, il faut multiplier le carré du rayon par
3^ & dans le fécond par 3 ^
Une partie de ce cercle ABC (fig. 7 ? ) , terminée
par deux rayons*& un arc , fe nomme fefteur. La
fuperficie de cette figure eft égale au produit de
l’arc A B , par la moitié du rayon. 1
Lorfqu’un cercle eft coupé en deux parties inégales
par une corde BF, on donne le nom de fegment
à chacune de ces parties.
La fuperficie du petit fegment BDF (fig. 74 ), eft
égale à celle du feâeur BCFD, moins celle du
triangle BCF : celle du grand fegment BHF , eft
égale à la fuperficie entière du cercle , moins celle
du fegment BDF*
Les
C E R
Les furfaces des cercles font entre elles, comme
le quarré de leurs rayons. De forte que pour faire
cercle double ou triple, ou qui ait un rapport
quelconque avec un autre , il faut prendre pour
rayon le côté d’un quarré double ou triple, ou
qui ait le même rapport que le cercle propofé
doit avoir avec celui qu’on cherche. ( Voye1
Q uarré). .
Les lignes qui fe rencontrent, ou qui fe croifent
dans le cercle, ont différentes propriétés, qu’il eft
très-important de connoître, parce qu’il fe trouve
des cas où elles peuvent avoir leur application dans
les opérations relatives à l’archite&ure.
i°. Deux lignes qui fe rencontrent au centre
du cercle forment enfemble un an^le qui a pour
mefure l’arc compris entre fes côtés.
20. Si ces lignes fe rencontrent entre le centre
& la circonférence, comme BAD (fig* 75 ).»
l’angle qu’elles forment aura pour mefure la moitié
de la fournie des arcs BD, E F , compris
entre les côtés & leur prolongement au-delà du
fommet.
30. Si le fommet de l’angle eft a la circonférence
du cercle (fig* 76) » il aura pour mefure la
moitié de l’arc B D , fur lequel il eft appuyé, à
quel point de la circonférence que fe trouve fon
fommet A ; d’où il réfulte que tous les angles,
qui ont leur fommet à la circonférence &_qui
fontappuyés fur un même arc, font égaux. C eft
fur cette propofition qu’eft fondée la méthode que
nous avons ci-devant donnée pour tracer un arc
de cercle, fans avoir befoin du centre & du
rayon.
4°. Si le fommet de l’angle eft hors du cercle
(comme à la fig/77) , il aura pour mefure la moitié
de l’arc BD , moins la moitié de l’arc EF.
50. De quelque manière que deux cordes A B ,
CD, fe coupent dans un cercle (fig. 78 ) , le produit
des parties de l’une eft égal au produit des
parties de l’autre ; c’eft-à-dire , que le produit de
AO par O B , eft égal au produit de CO par
OD.
6°. Lorfqu’une des lignes eft un diamètre, &
que l’autre lui eft perpendiculaire (fig. 79 ) , les
parties de la ligne coupee par le diamètre font
égales , c’eft-à-dire, que CO eft égal a OD , d ou
il réfulte que le re&angle de AO par OB eft égal
au quarré de OC.
C’eft cette propriété qui çonftitue la nature du
cercle : on donne le nom d'ordonnées à toutes les
lignes OC, perpendiculaires au diamètre & terminées
à la circonférence. On appelle abeifes les
parties AO & OB ; ainfi, pour exprimer la propriété
du cercle, on dit que le'quarré des ordonnées
eft égal au reâangle des abeifes correfpon-
dantes.
Cette propriété .du cercle fournit un moyen
Architeàure. Tome I,
C E R y 7
facile de changer un reélangle en un quarré de
même fuperficie, ou ce qui revient au même, de
trouver une moyenne proportionnelle entre deux
lignes données. ( Voye{ les mots Q uarré oc KEC*'
t a n g le ).
7V Une ligne C D , qui ne fait que toucher la
circonférence du cercle (fig. 80) ,fe nomme /«n-
gente. On démontre en géométrie , que fi du point
où une tangente touche le cercle, on tire une ligne
droite au centre, cette ligne , qui fera un rayon,
fera perpendiculaire à la tangente.
Cette propofition fournit le moyen de mener
une tangente au cercle, par un point donne que -
conque pris à la circonférence du cercle, en menant
une perpendiculaire à l'extrémité du rayon
qui aboutit à ce point.
8°. S’il s’agiffoit de mener une tangente à un
cercle d’un point D placé hors de la circonférence,
il faudroit mener de ce point au centre une ligne
droite D O , fur laquelle, comme diamètre, oit
décriroit un demi - cercle OCD , qui couperoit la
circonférence en un point C , qui défigneroit le
point d’attouchement, c’eft-à-dire, celui ou la tangente
tirée du point D doit rencontrer le cercle.
Cette opération eft fondée fur ce que tous les
angles inferits dans un demi- cercle font droits, d ou
il réfulte, que fi on tire le rayon CO , il lera
perpendiculaire à CD : donc cette ligne fera une
tangente.
o°. Si du centre O , on mène une ligne O D ;
qui rencontre la tangente en un point quelconque
D , la ligne OD fera la fécante de 1 arc Cr , ou
de l’angle COD.
io°. La ligne EF menée de l’extrémité de l’arc
CF parallèlement à la tangente, eft le finus de
cet arc ou de l’angle COD. . •
On fe fert des finus des tangentes & des fé-
cantes pour le calcul des angles, des triangles ;
c’eft pourquoi on en a dreffé des tables, dont le s
meilleures font celles de Gardiner. Ces tables font
très-utiles pour réfoudre des problèmes de Irlgc>*
nomèiriè, lorfqu’il s’agit de lever avec exaifti-
tude des plans d’une certaine etendue. (.Voyc^ le
mot Plan ).
Cercle lignifie encore , dans les arts, une ef-
pèce de lien ou de ceinture, qui fert à maintenir
enfemble les parties d’un ouvrage circulaire fait
de plufieurs pièces. Ces cercles fe font de differentes
matières, mais plus ordinairement en fer ; leur
groffeur doit être proportionnée a 1 effort qu ils
ont à foutenir. , !
L’expérience & les principes de mécanique
ont fait connoître que la force qu d faut pour
rompre un cercle de fer eft à celle quil faudroit
pour rompre le même cercle développe en ligne
droite & tiré par les deux bouts, comme la circonférence
du cercle eft au rayon ; c eft-a aire ,
D a d a