5 <5z C EI
6 la hauteur du ceimre ferojt le même ; mars elle
ne peut convenir que pour un feul cas , celui où
la hauteur du ceintre eft les fept onzièmes du
demi dianiècre, on les fept vingt-deuxièmes de la
largeur de la voûte.
La caifinoïde ne peut pas , comme l’ellipfe,
convenir pour toutes fortes de hauteurs de cein-
te ; mais elle a l’avantage fur la cicloïde de pouvoir
fervir pour plus d un cas. La plus petite
hauteur de ceimre que puifie avoir cette -courbe, eft
environ les deux feptièmes du-diamètre, & la
plus grande hauteur eft un peu plus de fix feptièmes
du même diamètre. Cette courbe a la propriété
de fe raccorder mieux que les deux précédentes
avec des piédroits à plomb ; & dans plu-
fieurs circonftances elle donne une courbure de
çéintre .plus agréable. Relativement à la conlbuc-
ti.on , elle ne. forme pas des voûtes au il! folides,
fur - tout lorfqu’on ne peut leur donner que très-
peu d’épaiffeur. (Foye{ les articles Théorie &
Poussée des voûtes ).
Manière de former avec des arcs de cercle des cein très
qui imitent les courbes régulières dont nous venons de
parler.-
Il faut convenir que quel- que foit le nombre
d’arcs de cercle dont on forme un ceintre qui
doit imiter une courbe régulière , fa courbure,
fera toujours moins parfaite que ji on le traçoit
par la méthode géométrique fondée fur les propriétés
de cette courbe parce que chaque point
d’une courbe régulière fuit une certaine loi, ielon
laquelle fa courbure augmente ou . diminue ; au
lieu que dans les imitations avec des arcs de
cercle,cette loi change fubitement, à la jonâion
de deux arcs de cercle de rayons différens.
Cependant, comme les mérhodes géométriques
font fouvent embarraffantes , lorfqu’il s’agit d’o pérer
en grand , & comme elles exigent des
connoiffances au-deffus de la portée des ouvriers,
fur-tout lorfqu’il s’agit de tirer des tangentes & des
perpendicûlaires à ces courbes, il en réfulte qu’une
manière d’imiter certaines courbes régulières aùffi
parfaitement qu’il eft poflible par un affemblage
d’arcs de cercle bien combinés-, peut fuppléer,
dans la pratique, aux méthodes rigoureufes des
géomètres, d’autant plus qu’elle rend l’exécution
des voûtes plus facile , relativement à leur appareil
, & quelquefois même à leur foltdité. Nous
ferons voir qu’il eft poflible de compofer un
ceintre moyen emj*e deux courbes qui en réunif-
feiit les avantage« , fans en avoir les défauts.
P r e m i è r e O p é r a t i o n .
Tracer le ceintre d’une voûte furhaujfée ou furbaijfèe ,
dont la courbe imite r ellipfe. Fig. 4? & 46.
Soient CB & CD les, deux demi-diàmètres qui
C E I
expriment la moitié de la largeur & la hauteur
du Ceintre qu’on veut donner à une voûte , par les
points B & D , on mènera les parallèles BF , DF
aux lignes CB , CD qui fe rencontreront au point
F duquel, comme centre & avec l’intervalle
EF pour rayon, on décrira un quart de cercle
EB ; enfüite ayant tiré la diagonale CF qui coupera
le quart de cercle en un point D , on portera
l’arc ED de D en Q , & on tirera la droite
FQ , qu’on prolongera ju(qu’à ce qu’elle rencontre
la ligne CB en un point K , qui fera un des centres
des arcs extrêmes, fi la voûte eft furbaidée
comme à la fig. 45 , & celui de Fare du milieu, ft
la voûte eft furhauflée, comme on le voit fig. 46.
Pour avoir la pofition du centre de l’arc du milieu
, qui doit, lorfque le ceintre eft (urbaiffé , être
la même que celle du centre des arcs extrêmes
d’un ceintre furhauffé , on portera KB de D en F;
fig. 45 & 46 ; & otl tirera la droite K F , fur le
milieu de laquelle on élévera une perpendiculaire
indéfinie , qui rencontrera en un point H le. demi-
diamètre CD prolongé. Ce point H fera le centre
de l’arc du milieu du ceintre fur bai (lé , fig. 45 ,
& celui d’un des arcs extrêmes de La voûte fur-
hauffée, fig. 46.
Il fautobferver que dans un ceintre fymmétrique
furbaiffé ou furhauffé, dont les naiffances font de
niveau, l’arc qui forme le fommet de la voûte
doit toujours avoir fon centre fur la verticale qui
paffe par le milieu C du diamètre, & que les
centres des arcs extrêmes doivent être placés fur
les lignes horifontales ACB, A CD , fig. 45 & 46»
qui paffent par les naiffances & doivent fe trouver
à égale diftance du milieu C ; d’où il réfuhe , que
lerfqn’on eft parvenu à avoir le centre d’un des
arcs. extrêmes d’un ceintre furhauffé ou furbaiffé,
on eft fûr de la pofition de l’aurre , en portant fa
diftance du point C de l'autre côté de la verticale
qui pâlie-par le milieu. Ainfi portant CH,
fig. 46, de C en H , & C K , fig. 45-, de C en K ,
les points H & IC feront les féconds centres des
arcs extrêmes des ceintres furhauffés & lùrbaiffés ,
fig. 45 & 46. Ayant trouvé les centres KK ,
HH , 00 tirera les droites indéfinies HKL , HKL,
pour la fig. 45, & HKL, HKL, pour la fig46,
qui ferviront à déterminer la jonétion des arcs de
cercle qui doivent former le ceintre ; enfuite des
points KK & K , fig. 45 & 46, & avec l’intervalle
KB pour rayon , on décrira les arcs KL,
KL & LKL ; enfin des points HH & H , & avec
l’intervalle HD les arcs AL , BL , LBL.
L’affemblage de ces trois arcs de cercle
formera, pour ces deux cas , l’imitation la plus
parfaite qu’on puiffe faire avec ce nombre d’arcs,
d’une demi - ellipfe. La méthode propofée par
M. Frezier-, dans fon premier volume de la
coupe dés pierres, eft moins exa&e ; elle eft aufîi
moins avantageufe pour la conftruâion des voûtes
furbaiffées, parce que Fare du milieu fe trouve
„voir moins de courbure que par notre manière. |
Vfryer à ce fujet l’article T h é o r i e des V o û t e s . ) |
^ Cette première méthode, d’imiter 1 elliple eit
bonne pour les ccintres.qai ne doivent être fur-
baiffés ou furliauffés que d’un tiers : en voici une
autre qui peut fervir pour tous les autres cas.
Manière de tracer un ceintre elliptique avec cinq arcs
de cercle , fig. 47.
Les demi-diamètres A C , CD étant donnes, on
mènera .comme ci deflus , les parallèles Db , Ab
& la diagonale FC. Enfuite du point C , comme
centre & AC pour rayon, on décrira le quart
du cercle AKG , qu’on divifera en deux parues
égales au point K , par lequel on mènera nnepa-
rallèlle à G C , laquelle coupera la diagonale au
point I , qui fera un des points de la circonfe.
pence d’une ellipfe dont les deux demi-axes tont
AC & CD ; enforte qu’on aura trots points
pour un quart d’ellipfe, au lieu de deux que nous
avions dans l’exemple précédent, & cinq pour
une demi - ellipfe ; & comme il a ete démontré,
qu’il faut au moins cinq points pour déterminer
la courbure d’une ellipfe, le ceintre qui paffera
par ces cinq points, fe confondra, pour atnft
dire, avec l’ellipfe.
Pour trouver les centres des arcs de cercle qui
doivent paffer par les cinq points, il faut, 1°. tirer
la ligne 1D , fur le milieu de laquelle on elevera
une pependiculaire indéfinie, qui viendra rencontrer
le demi-diamètre D C , prolongé en un point
H , qui fera le centre de l’are du milieu , lt le
ceintre eft furbaiffé, ou celui d’un des arcs extrêmes,
s’il eft furhauffé. Il eft évident que dans
l’un & l’autre cas, c’eft la même operation , avec
cette feule différence que lorfque la voûte eft
furbaiffée, c’eft le demi-diamètre AC qui le trouve
placé horifontalement, au lieu que c elt le demt-
. diamètre CD , quand elle eft furhauffee.
Pour ayoir un fécond centre, on fera ulage de
la première méthode, c’eft-à-dire , qu apres avoir
décrit le quart de cercle AE, qui ccupera la diagonale
en D , on portera lare DE de A en G ,
tera la diftance MK de N en K. Ce point K fera
le centre de l’arc intermédiaire de 1 autre moitié
du ceintre. Toute cette-préparation faite ,Jg» point
H , comme centre, & avec Pintervalle H U , on
décrira l’arc du milieu IDI, jufqu’à la rencontre
des lignes H I , HI ; enfuite des points K & K ,
& avec l’intervalle Kl = K l , on décrira les arcs
IE, IE, jufqu’à la rencontre des lignes EHK,
KBE ; enfin , des points H & B , on décrira les
deux arcs extrêmes qui termineront le ceintre dont
la courbe fe confondra, pour ainfi dire, avec
l’ellipfe.
Tracer un ceintre furbai ffé b furhauffé, dont la courte
& par les points F & G . ôn tirera une droite
qu’on prolongera jufqu’à ce-qu’elle rencontre le
demi-diamètre A C , en un point H, cpn fera un
des centres des arcs extrêmes, fi a voûte eft furbaiffée
, & celui de l’arc du mdieu , h elle e.t
furhauffee. : |
Pour trouver le centre de 1 arc intermediaire ,
après avoir mené la droite IH , on portera AH
de I en F ; on tirera la droite HF , fur le milieu
de laquelle on élèvera une perpendiculaire indefinie
qui coupera IH en un point K , lequel fera
le ."centre cherché. „
Pour tracer le ceintre ,.fig. 47 > on portera cl a-
bord CH de C en B pour avoir le centre B de
l’autre arc extrême. On portera enfuite v-IVl e
imite la cajfmoïde..
Le diamètre AB étant donné, on élevera du
milieu C une perpendiculaire indéfinie : ayant dt*
vifé AC en trois parties égales, on en portera une
de C en 4 ; St fur A 4, comme ffiametre, on
décrira une derti - circonférence de cercle , qui
coupera la perpendiculaire du milieu en un point
D qui défignera la plus petite hauteur de n i*«
qu’on puiffe former avec la caffinoide. Si des
points A & B, comme centre, & AB pour myon,
on décrit deux feftions qui fe crotfent en N , CN
fera la plus grande hauteur de ceintre que_puilte
former cette courbe. . . . r.
Avant décrit fur AB une demi ■ circonférence
de cercle CHB , tous les différens accroiffemens
ou diminutions que peuvent fubir les ceintres fur-
baiffés, dont la combe eft fptmee par une cafft-
noïde , font compris entre D & H , & entre H
& N pour les ceintres furhauffés. Cela pofe, s il
s’agit d’une-voûte furbaiffée, dont on ait deter-
1 miné la hauteur Au ceintre en C. MMjSM «
pour parvenir j tracer une courbe qui .mue la
cafiinoïde , après avoir mené comme nous avons
fait ci-devant pour l’ellipfe, les paralledes G R,
BR, on tirera la diagonale RC. Du point RÇ ,
on décrira un quart de cercle qui coupera la diagonale
au point D ; ayant enfuite porte lare ED
de B en G ,- on divifera DG en trois parties égalés.
Par le premier point I & le point R , on tirera
une ligne droite indéfinie qui coupera le d.ametre
AB en un point H , & la perpendiculaire CG
en un point M. Le point H fera un des centres
des arcs extrêmes. Ayant M M HM en trois
parties égales, le premier, point K de cette divi-
fion fera un fécond centre ; pour avoir le troi-
fième centre , qui doit forcer la courbure du
milieu, on portera EK de G en F , & on tirera
la droite K F , fur le milieu de laquelle on elé-
vera une perpendiculaire indéfinie, qui rencontrera
la ligne du milieu C G , prolongée en un
point L , qui fera le centre cherche. >,
F Pour tracer la courbe, apres avoir, tire la ligna
LKL 8c pour déterminer la, jonction de lare
du milieu avec leTuivant ! du point L, comme