genres, fie peuvent être comparés, & qu’ainfi il ne
peut y avoir entr’eux de rapport, du moins que
très-improprement.
Dans le fécond cas, c’eft-à-dire lorfque le divifeur
eft un nombre abftrait, le quotient eft un nombre
concret ; & c’eft la -fécondé proportion qui a
lieu : ainfi divifant 6 fous par 3 (nombre abftrait),
le quotient eft 2 fous (nombre concret), & l’on dit :
6 fous eft à 2 fous (quotient) , comme 3 (divifeur)
eft à l’unité. Remarquez que dans les deux proportions
l’unité eft toujours un nombre abftrait ; ainfi
on peut préfentër la divijîon foUs deux points de vûe
différens : c’eft chercher combien de fois une quantité
eft contenue dans une autre de même genre,
•comme dans le premier cas ; ou bien c’eft chercher
mne quantité qui foit contenue un nombre de fois
donne, dans une quantité donnée du même genre.
Nous nous fervons ici du mot être contenu, parce
que nous fuppofons jufqu’à préfent que le divifeur
toit plus petit que le dividende, & même que la di-
•vijîon fe fafle exaftement & fans refte. Mais, i° fi
le divifeur .eft plus petit, & que la divijîon ne fe
fafle pas fans refte,, la proportion entre le dividende,
ie divifeur, le quotient & l’unité, proportion qui
conftitue la divijîon, n’en a pas moins lieu ; ainfi
dans l’exemple ci - deflus, fuppofons qu’on divife
32035 par 469 toifes, le quotient 68 ^9 » indique
que 469 toifes font contenues dans 3203 5 , comme
l’unité eft contenue dans le nombre mixte 68
■ t-il ; c’eft-à-dire que 409 toifes font contenues dans
32035 toifes, d’abord 68 fois entièrement, & qu’-
enfuite il y a un refte de toifes, qui eft au divifeur
-469 toifes, comme-le nombre abftrait 143 eft au
nombre abftrait 469. Suppofons à-préfent qu’on divife
32035 toifes, non par 469 toifes, mais par le
nombre abftrait 469 ; c’eft-à-dire qu’on cherche la
469e partie de 3203 5 , le quotient 68 ^ indique
d’abord 68 toifes ; 6c que de plus fi on divife une
toife en 469 parties égales, & qu’on en prenne 143,
ces 143 parties ajoutées aux 68 toifes complétés,
donneront la 469e partie exa&e de 3 203 5 toifes.
• -20. Si le divifeur eft plus petit que le dividende,
alors le quotient (fuivant la proportion qui conftitue
la divijîon) fera plus petit que l’unité, ou qu’une
fraûion d’unité. Ainfi fi on divife 3 toifes par 12
toifes, c’eft chercher, non combien 3 toifes contiennent
, mais combien elles font contenues dans
z 2 toifes ; & le quotient j marquera que 3 toifes
font un quart de 12 toifes. Si on divife 3 toifes par
1 2 , c’eft-à-dire fi on cherche la 12e partie de 3 toifes
, on trouvera ~, c’eft-à-dire 1 quart de toife ; en
effet, 1 quart de toife pris 12 fois , fait 3 toifes.
( Si le divifeur eft une fraâion plus petite que l’unité,
le quotient fera un nombre plus grand que le
dividende ; car alors le dividende doit être plus petit
que le quotient. Cela paroît d’abord paradoxe ; mais
en y réfléchiffant un peu , on obfervera que fi le
quotient eft plus petit que le dividende dans la plupart
des div'Jîons ordinaires, c’eft que le divifeur y
eft plus grand que l’unité. Rendez le divifeur égal à
l’unité, le. quotient fera égal au dividende ; rendez-
leplus petit, le quotient fera plus grand que le dividende.
Ainfi, qu’eft-ce que divifer 12 toifes par ÿ ?
c’eft chercher un nombre de toifes qui foit à 12 toifes
comme l’unité eft à y , c’eft-à-dire comme 3 eft
à 1 : donc le quotient fera 12 toifes prifes trois fois,
ç’eft-à-dire 36 toifes. De même divifer 12 toifes par
j de toife,. ,c’eft chercher un nombre qui foit à l’unité
comme 12 toifes eft à j de toife ; or 12 toifes
contiennent 36 fois y de toife, dont le quotient eft
36. C ’eft ainfi qu’en réduifant les opérations à.des
notions claires , toutes les difficultés s’évanouif-
fent. Il ne peut y en avoir ic i, dès qu’on prendra la
notion générale de la divijîon, telle que nous l’avons
donnée. Mais on fe trouvera embarraffé lorfqu’on fe
bornera à la notion imparfaite 6c incomplète de la
divijîon qu’on trouve dans la plupart des arithméticiens
; favoir, que la divijîon confifte à chercher
combien de fois le divifeur eft contenu dans le dividende.
Nous parlerons plus au long au mot Fraction,
de la divijîon, dans le cas oh le divifeur eft
une fraction, le dividende étant un nombre quelconque
, entier ou rompu.
Bornons-nous préfentement aux réglés de la divijîon
ordinaire, 6c tâchons d’en donner en peu de
mots une idée bien nette. Nous prendrons pour
exemple celui même qui a été donné ci-deffiis;
6c les raifonnemens que nous ferons fur celui-là ,
pourront fans aucune peine s’appliquer à d’autres.
On propofe de divifer 3 203 5 par 469, c’eft-à-dire
de favoir combien de fois 469 eft contenu dans
32035. Je vois d’abord que le dividende contient
julqu’à des dixaines de mille, & le divifeur des cen-.
taines ; ainfi , comme dix mille contient cent fois
cent, il peut fe faire que le divifeur renferme des
centaines, mais il ne peut pas aller plus haut. U
faut donc lavoir combien de centaines de fois , de
dixaines de fois, & d’unités de fois il eft contenu.
Pour favoir combien de centaines de fois lë dividende
contient le divifeur, je prends d’abord de la
gauche vers la droite autant de chiffres dans le dividende
que dans le divifeur, c’eft:à-dire que je prends
la partie du dividende 320 , qui repréfente réellement
3 2000 , en négligeant pour un moment les
deux derniers chiffres 3 5. Je divife 32000 par 469,
pour voir combien 469 eft contenu de centaines de
fois dans 32000 : pour cela il fuffit de divifer 320
par 469, 6c de remarquer que le chiffre qui viendra
exprimera, non des unités fimples, mais des centaines
d’unités. Mais je vois que 3 20 ne peut fe divifer
par 469, ainfi le quotient ne doit point renfermer
de centaines. Il en auroit renfermé, fi ail
lieu de 320 j’avois e u , par exemple, 520, ou en
général un nombre égal ou plus grand que 469 ; car
alors on auroit eu au quotient au moins l’unité qui
auroit marqué une centaine d’unités.Je vois donc que
le quotient ne peut contenir que des dixaines d’unités;
mais il eft évident qu’il en contiendra néceffaire-
ment, car dès que le dividende a deux chiffres de
plus que le divifeur, il eft néceffairement plus de dix
fois plus grand : en effet, 469 pris dix fois, donne
4690 qui n’a que quatre chiffres , au lieu que 3 203 5
en a cinq. Je cherche donc combien de dixaines de
fois 32035 contient 469 ; ou , ce qui eft la même
chofe, je cherche combien de fois 32030 contient
469, en négligeant le nombre 5 pour un moment ;
ou , ce qui revient encore au même , je cherche
combien de fois 3 203 contient 469, en me fouve-
nant que le nombre que je trouverai au quotient,
donnera des dixaines d’unités: Or je remarque d’abord
que jamais 3203 ne peut contenir 469 plus de
fois, que le nombre 32 (qui eft formé des deux premiers
chiffres du dividende ) ne contient le premier
chiffre 4 du divifeur : car 3 2 contient 4 huit fois ; &
fi je mettois 9, par exemple, au lieu de 8 , je trou-
verois en multipliant 9 par 469, un nombre plus
grand que 3 203 ; ce qui eft évident, puifque 4 fois
9 étant 36 , les deux premiers chiffres du nombre
égal à 9 fois 469, feroient plus grands que les deux
premiers chiffres 32 du nombre 3203 ; ainfi il fuffit ( 6c cette remarque eft évidemment applicable à tous les cas) de divifer par le premier chiffre du divifeur
le premier chiffre du dividende , lorfque le
dividende a autant de chiffres que le divifeur ; ou
les deux premiers chiffres, lorfque le dividende a un
chiffre de plus.
Ce n’eft pas à dire pour cela que cette opération
ne donne jamais trop, on va voir le contraire ; mais
il
WËBÊàS
D I V il eft fur qu’elle ne donnera jamais trop peu, 6>C voilà
pourquoi on fe contente de divifer les premiers chiffres
du dividende par le premier du divifeur. Quand
la divijîon donne trop, comme dans ce cas-ci, où 8
feroit trop fort, & même 7, on diminuera fuccefli-
vëmènt le quotient jufqu’à ce qu’il ne foit pas trop
for t , ce qui arrivera en mettant 6 ; ce 6 , comme
nous l’avons^fû, indique 60, & le produit 2814 eft
réellement 28140 , qui eft retranché de 32030 f i l
refte 389, qui eft réellement 3890; & le 5 qu’on
avoit mis à part, y étant ajouté , il refte en tout
3895 , qu’il faut aftuellement divifer par 469 : on
fuivra pour cela les mêmes principes que ci-deflus,
6c on trouvera 8 , qui font huit unités. Ainfi on voit
que toutes les opérations qu’on fait dans la divijîon ,
ne font autre chofe que les opérations qu’on vient
d’expliquer, & qui y font faites d’une maniéré abrégée
; car la divijîon faite tout au long 6c avec tout le
développement néceffaire, feroit
3 2 0 3 0 f 4 6 9
^ 1 4 0 6 o ou fix dixaines.
D I V 1081
Rcft
Ajoût,
W
3 8 9 5
) 3.Æ ; *
4 6 ' 9
8 un,
Quotient
6 8
Dans la divijîon on fait implicitement toutes ces
opérations, en écrivant moins de chiffres.
Quand on a pris dans lé dividende autant de chiffres
de gauche à droite qu’il y en a dans le divifeur,
ou un chiffre’de plus, fi cela eft néceffaire, onvoitque
le quotient doit contenir autant de chiffres, plus un,
qu’il en refte dans le dividende. Cela eft aifé à prouver
; car fo it, par exemple 523032 à divifer par
469 : après avoir pris 523 , qui a autant de chiffres
que 469, il refte trois chiffres , 03 2 : or je dis que le
quotient doit avoir trois chiffres plus un, ou quatre ;
car il eft clair que 523000 eft plus de mille fois plus
grand que 469, & moins de dix mille fois. En effet,
ç 23000 eft mille fois plus grand que 523 , qui eft
plus grand que 469 ; 6c 523032 eft plus petit que
469 pris dix mille fois, parce que 4690000 a un
chiffre de plus. Donc le quotient doit, contenir des
mille, 6c point de dixaines de mille : donc il doit
avoir quatre chiffres , ni plus ni moins. Si le dividende
étoit 1523032, alors prenant 1523, qui a un
chiffre de plus que 469, on trouveroit de même que
le quotient avoit quatre chiffres,. ni plus ni moins.
C ’eft pour cette raifon que l’on met quelquefois
au quotient, o. Par exemple, je fuppofe que l’on ait
a divifer 416 par 2 ; je vois que le quotient peut contenir
des centaines, des dixaines, 6c des unités. Je
divife donc d’abord 4 par 2, fuivant la réglé, & j’ai
2 ; & le produit 4 étant retranché de 2 , il refte o ;
c ’eft-à-dire que j’ai divifé 400 par 2 , & j’ai eu 200
au produit : ce 2 marque donc des centaines. Je def-
cends 1 , ce qui eft la même chofe que fi je prenpis
1 o à divifer par 2 , en négligeant le 6 ; je vois que 1 o
ne peut pas contenir 2 des dixaines de fois : je mets
donc o au quotient, tant pour indiquer que 2 ne fe
trouve aucune dixaine de fois dans 416 , que pour
conferver au 2 , premier chiffre du quotient, la valeur
de centaine. Enfuite je defeends 6 & je l’ajoûte
à 1 , ce qui eft la même chofe que fi je divifois 16
par 2 ; j’âi pour quotient 8 , & le quotient total eft
208 .On doit, par cet exemple, voir en général pourquoi
on met o au quotient, quelquefois même plu-
fieurs fois-de fuite, comriie il arriveroit fi on divi-
foit 40016 par 2 ; le quotient feroit 20008.'
Enfin il nous telle à expliquer pourquoi on ne met
jamais au quotient plus de 9. Pour cela il fuffit de
Tome IK%
faire voir que jamais le divifeur n’eft égal à dix fois
Pame du dividende qu’on a prife ; ce qui eft aifé
à prouver. Car le divifeur pris dix fois, augmente
d un chiffre : or la partie du dividende qu’on a prife ,
j , ou dgd^en ooipbrq de chiffres au divifeur ; ou
d’un chiffre de plus. Dans Le premier cas, il eft vîfi-
blequ elle eft plus petite que le divifeur pris dix fois,
pudqu elle a un chiffre de moins. Dans le fécond ,
le dividende diminué d’un chiffre vers la droite, eft
plus petit que le divifeur : donc le dividende avec
c , Iare rétabli, eft plus petit que le divifeur pris
dix fois.' ?
En voilà ce me femble fuffifamment pour faire
entendre d’une maniéré fenfible les réglés de la divijîon
9 dont la plupart des arithméticiens paroiffent
avoir négligé les démonftrations.
A l’égard des différentes maniérés de faire divijîon
, nous n entrerons point ici dans ce détail, parce
qu à proprement parler elles reviennent toutes au
meme ; elles ne different qu’en ce que dans l’une le
quotient, le divifeur 6c les produits font placés d’une
façon, & dans une autre d’une façon différente z
on fe difpenfe auffi quelquefois d’écrire les produits,
& on fait la fbuftraélion en formant le produit de
nj®mph"e. Ainfi dans l’exemple ci-deffus on peut
n écrire point les produits 2184 & 3752, 6c on fera
fans cela la fouftraélion , qui donnera les nombres
\ 38.9 & I43 : voici comme on s’y prend. On dit: 6
fois 9 font 54 ; qui de 13 ôte 4 , refte 9 6c retiens 5 :
6 fois 6 font 36, & 5 font 41 ; qui de 9 ôte 1 , refte
8 6c retiens 4 : 6 fois 4 font 24, 6c 4 font 28 ; qur
de 31 ôte 28, refte 3 : 6c ainfi des autres. Cette maniéré
de faire la divijîon fans écrire les produits, 6c
en arrangeant les chiffres comme ci - deflus , ^ s’appelle
Yitalienne abrégée. Peu importe le nom qu’on lui
donnera ; mais il eft bon que les commençans, 6c
ceux qui n’ont pas un ufage très-familier du calcul,
écrivent les produits, afin de ne fe pas tromper.
Lorfque le dividende & le divifeur font l’un 6c
l’autre des nombres concrets, il faut diftinguer fi ce
font des nombres'concrets de la même efpece, ou
de différentes efpeces.
Premier cas. Si on a , par exemple , des livres ,
des fous 6c des deniers à divifer par des livres , des
fous 6c des deniers, il faut réduire le dividende 6c
le divifeur en deniers, c’eft-à-dire dans la plus petite
monnoie : fi le divifeur ne contenoit pas de deniers
, 6c que le dividende en contînt, il faudroit
toujours réduire l’un & l’autre en deniers ; le quotient
indiqueroit combien le divifeur eft contenu
dans le dividende. En effet, fi on avoit, par exemple
, 1 livre à divifer par 12 deniers, c’eft-à-dire fi
on vouloit favoir combien de fois 12 deniers font
dans 1 liv re , il faudroit réduire 1 livre en 240 deniers
pour avoir le quotient 20, & ainfi du refte.
Second cas. Soit propofé de divifer, par exemple ,
7 toifes 2 piés par 1 livre 2 fous. Voilà un dividende
& un divifeur qui font des nombres concrets de différentes
efpeces. Voyons d’abord ce que fignifie cette
queftion. Si j’avois 60 toifes à divifer par 10 fous ,
le quotient de 60 divifé par 10 , c’eft-à-dire 6 , m’in-
diqueroit que 6 toifes valent 1 fou, c’eft-à-dire que
6 toifes d’ouvrage ou de marchandife valent 1 fou j
or 7 toifes 2 piés font 44 piés, & 1 livre 2 fous font
22 fous : donc divifant 44 par 22, je vois que 2 piés
d’ouvrage valent 1 fou : 6c ainfi du refte.'
A l’égard de la divijîon algébrique , elle n’a aucune
difficulté , elle porte avec elle fa démonftra-
tion ; il y en a des exemples plus compliqués, qu’on
peut voir dans les auteurs d’Algèbre ordinaire. II
faut avoir foin de bien arranger les termes du dividende
& du divifeur fuivant les dimenfions d’une
même lettre ; car c’eft de-là que dépend la facilité 6c
même la pofiibilité de l’opération : car fi on écri-
X X X x x x ‘