59® C Y C pâques tomboit au même jour, 5c le cycle recommencent.
PayK PÉRIODE D y ONISIENNE.
Dans la préface de Y art de vérifier Les dates {voyt^
C h r o n o l o g i e ) on'remarque que le cycle pafchal
ou produit du cyclefolaire 28 par le cycle lunaire 19,
a été appelle par quelques anciens annus magnus, 5c
par d’autres circulas ou cyclus magnus. On l’appelle
encore période victorienne du nom de Ficlorius Ion auteur,
qui l’a fait commencer à l’an 28 de J. C. Denis
te Petit qui a corrigé cette période, l’a fait commencer
un an avant l’ere chrétienne ; ce qui lui a
fait donner le nom de période Dyonijienne , qu’elle a
-retenu.
Dans le même ouvrage on remarque qu il y a
une différence entre le cycle lunaire & le cycle de ig
ans. Le premier commence trois ans plûtard que le
fécond. Mais le cycle de 19 ans a prévalu, 8c on a
oublié l’autre. Foye{ un plus ample détail dans lou-
vtage cité,préf.page34. &fuiv.
Si on multiplie le cycle folâtre, le cycle Lunaire, oC
-îe cycle des indictions , l’un par l’autre, on forme une
période de 7980 ans appelléepériode Julienne. Foy&{
P é r i o d e Ju l i e n n e . (O )
CYCLO ID A L, adj. ( Géomet. ) V efpace cycloidal
•eft l’efpace renfermé par la cycloïde & par la baie.
M. de Roberval a trouvé le premier que cet efpace
eft triple du cercle générateur ; 8c on peut le prouver
aifément par le calcul intégral. En effet l'oit x
l’abfciffe du cercle générateur prile au fommet de la
cy cloïde ,y l’ordonnée du demi-cercle, & { celle
de la cycloïde, l’arc correfpondant du cercle fera
-----, a étant le rayon du cercle ; 8c on aura
par la propriété de la cycloïde i = y + J ~ ^7— —
x z y / ia x - x x “ ; cette quantité étant y'Xa x — x x
multipliée par d x donnera pour l’élément de l’aire
de la cycloïde d x y/2 a x — x x + d x f y —z. _•
donc l’intégrale z û fd x \ / x a x— x x -\-x C
— C aX ; d’oîi il eft facile de conclure que la J i/ia x—xx
moitié de Yefpace cycloidal — i° le demi-cercle, 20
le diamètre multiplié par la demi - circonférence,
c ’eft-à-dïre le double du cercle entier, d’oii il faut
retrancher le produit du rayon par cette demi-cir-
cbriférence, c’eft-à-dire le cercle entier; ainfi la moitié
de Yefpace cycloidal eft égale à trois fois le demi-
cercle. Donc Yefpace cycloidal total vaut trois fois
le cercle générateur.
On peut démontrer encore par une méthode fort
fimple,que l’efpace renfermé entre le demi-cercle 8c
la demi-cycloïde eft égal au cercle générateur. Prenez
deux ordonnées de la cycloïde terminées au cercle
8c à égales diftances du centre, la fomme de
ces ordonnées fera égale au demi-cercle ; d’oii il fera
facile de faire voir, en divifant Yefpace cycloidal
en petits trapefes, que l’aire de deux trapefes pris
enfemble, eft égal au produit de la demi-circonférence
par l’élément du rayon. Donc la fomme des
trapefes eft égale au produit delà demi-circonférence
par le rayon, c’eft-à-dire égale au cercle. (O)
CY CLO ÏD E, f. f. en Géomét. eft une des courbes
méchaniques, ou , Comme les nomment d’autres auteurs
, tranftendantes. On l’appelle aufîi quelquefois
trochoïde 8c roulette. Foye{ COURBE, Epi CYCLOÏDE,
& T r o c h o ï d e .
Elle eft décrite par le mouvement d’un point A
(fig. 5â. PL de Géométr. ) de la circonférence d’un
cercle, tandis que le cercle fait une révolution fur
une ligne droite A P. Quand une roue de carroffe
tourne, un des doits de la circonférence décrit dans
l’air un cycloïde.
De cette génération il eft facile de déduire plu-
fieurs propriétés de cette courbe, favoir que la ligne
droite A E eû égale à la circonférence du cercle
A B C D , & A C égale à la demi-circonférence;
8c que dans une fituation quelconque du cercle générateur,
la ligne droite A d eft égale à l’arc a. d ; 8c
comme a d eft égale 8c parallèle k d e , ad fera égale
à l’arc du cercle générateur d F. De plus la longueur
de la cycloïde entière eft égale à quatre fois le diamètre
du cercle générateur; 8c l’efpace cycloidal
A F E eft triple de l’aire de ce même cercle. Voye£
ci-dejfus l'article CYCLOIDAL. Enfin une portion
quelconque / ’ /de la courbe prife depuis le fommet,
eft toujours égale au double de la corde correfpon-
dante F b du cercle ; 8c la tangente G I à l’extrémité I
eft toûjours parallèle à la même corde F b. Si le cercle
tourne 8c avance en même tems, de maniéré que
fon mouvement rettiligne foit plus grand que Ion
mouvemenfcirculaire, la cycloïde eft alors nommée
cycloïde allongée, 8c la bafe A E eû. plus grande que la
circonférence du cercle générateur. Au contraire,
fi le mouvement reûiligne du cercle eft moindre que
le mouvement circulaire, la cycloïde eft nommée cycloïde
accourcie, 8c fa bafe eft moindre que la circonférence
du cercle. Fqye{ R oué d’Ar is t o t e .
La cycloïde eft une courbe affez moderne ; 8c quelques
perfonnes en attribuent l’invention au P. Mer-
fenne, d’autres à Galilée ; mais le do&eur Wallis
prétend qu’elle eft de plus ancienne date ; qu’elle
a « été connue d’un certain Bovillus vers l’année
1500, 8c que le cardinal Cufa en avoit même fait
mention long - tems auparavant, c’eft-à-dire avant
l’an 1451«
Il eft confiant, remarque M. Formey, que le P.
Merfenne divulgua le premier la formation de la cycloïde
, en la propofant à tous les géomètres de fon
tems, lefquels s’y appliquant à l’envi, y firent alors
plufieurs découvertes ; enforte qu’il étoit difficile de
juger à qui étoit dû l’honneur de la première invention.
Delà vint cette célébré conteftation entre MM.
de Roberval, Toricelli, Defcartes, Lalovera, &c.
qui fit alors tant de bruit parmi les favans.
Depuis ce tems-là à peine a-t-on trouvé un mathématicien
tant foit peu diftingué, qui n’ait éprouvé
fes forces fur cette ligne, en tâchant d’y découvrir
quelque nouvelle pfopriété. Les plus belles nous
ont été laiffées par MM. Pafcal, Huyghens, Wallis ,
Wren, Leibnitz, Bernoulli, &c.
Cette courbe a des propriétés bien fingulieres.’
Son identité avec fa développée, les chûtes en tems
é^aux par des arcs inégaux de cette courbe, 8c la
plus vîte defeente, font les plus remarquables. En
général à mefure qu’on a approfondi la cycloide , on
y a découvert plus de fingularités. Si l’on veut qu’un
pendule fafl'e des vibrations inégales en des tems
exactement égaux, il ne faut point qu’il décrive
des arcs de cercle, mais des arcs de cycloide. Si l’on
développe une demi-cycloïde, en commençant par le
fommet, elle rend par fon développement une autre
demi-cycloïde femblable & égale; 8c l ’on fait
quel ufage M. Huyghens fit de ces deux propriétés
pour l’Horlogerie. Foye^ plus bas ; voye£ aujji C article
Pendule. En 1697, M. Bernoulli profeffeur
de Mathématiques à Groningue, propofa ce problème
à tous les géomètres de l’Europe ; fuppofé
qu’un corps tombât obliquement à l’horifon, quelle
etoit la ligne courbe qu’il devoit décrire pour tomber
le plus vite qu’il fût polfible. Car, ce qui peut
paroître étonnant, il ne devoit point décrire une ligne
droite, quoique plus courte que toutes les lignes
courbes terminées par les mêmes points. Ce
I problème réfolu, il fe trouva que çette courbe étoiç
une cycloïde. Une des plus importantes connoiftan-
ces que l’on puiffe avoir fur les courbes, confifte à
mefurer exa&ement l’efpace qu’elles renferment, ou
feules, ou avec des lignes droites ; 8c c’eft ce qu’on
appelle leur quadrature. Si cet efpace fe peut mefurer
, quelle que foit la portion de îa courbe qui y entre
, 8c les ordonnées , ou les parties du diamètre
qui le terminent avec elle, c’eft la quadrature absolue
ou indéfinie, telle qu’on l’a de la parabole.
Mais il arrive quelquefois que l’on ne peut quarrer
que des efpaces renfermés par de certaines portions
de la courbe ,8c par de certaines ordonnées, ou de
certaines parties du diamètre déterminées. On vit
d'abord que la quadrature indéfinie de la cycloïde dépendait
ae celle de fon cercle générateur, 8c que
par confisquent elle étoit impoffible félon toutes les
apparences. Mais M. Huyghens trouva le premier la
quadrature d’un certain efpace cycloidal déterminé.
M. Leibnitz enfuite trouva encore celle d’un autre
efpace pareillement déterminé ; 8c l’on croyoit qu’a-
près ces deux grands géomètres, on ne trouveroit
plus aucun efpace quarrable dans la cycloide. Cependant
M. Bernoulli découvrit depuis* dans la cycloïde
une infinité d’efpacesquarrables, dans lefquels
font compris, 8c pour ainfi dire abforbés les deux
de M. Huyghens 8c de M. Leibnitz. C ’eft ainfi que
la Géométrie, à mefure qu’elle eft maniée par de
grands génies, va prefque toûjours s’élevant du particulier
à l’imiverfel, 8c même à l’infini. Hijloire &
mém. de l'acad. iGgg.
M. Huyghens a démontré le premier que de quelque
point ou hauteur que défie enfle un corps pe-
fant qui ofcille autour d’un centre, par exemple, un
pendule ; tant que ce corps fe mouvra dans une cycloïde,
les tems de fes chûtes ou ofcillations feront
toûjours égaux entr’eux. Voici comment M. deFon-
tenelle effaye de faire concevoir cette propriété de
la cycloïde. La nature de la cycloïde , dit-il, eft telle
qu’un corps qui la décrit, acquiert plus de vîtefle à
mefure qu’il décrit un plus grand a rc, dans la raifon
précife qu’il faut, pour que le tems qu’il met à décrire
cet arc foit toujours le même , quelle que foit
la grandeur de l’arc que le corps parcourt ; 8c de-là
vient l’égalité dans le tems, nonobftant l’inégalité
des arcs, parce que la vîtefle fe trouve exa&ement
plus grande ou moindre, en même proportion que
Tare eft plus grand ou plus petit.
_ C ’eft cette propriété de la cycloïde qui a fait iftia-
giner l’horloge à pendule. M. Huyghens a donné fur
ce fujet un grand ouvrage intitulé, horologium ofcil-
latorium. Foye{ la fuite de cet article ; voye{ au(ji
Br a ch y sto ch ro n e , T a u t o c h r o n e , Isoch
ro n e , &c. Ceux qui voudront s’inftruire dans
un plus grand détail de l’hiftoire de la cycloïde, pourront
confulter la vie de Defcartes in-40. par M. Bail-
le t, liv. IF . chap. xiij. xjv. xv. Il réfulte de l’hiftoire
‘ affez étendue que cet auteur en donne :
ï°* Que le premier qui a remarqué cette ligne
'dans la nature, mais fans en pénétrer les propriétés,
a été le P. Merfenne qui lui a donné le nom de
' roulette.
20. Que le premier qui en a connu la nature, 8c
qui en a démontré l’efpace, a été M. de Roberval
qui l’a appellée d’un nom tiré du grec, trochoïde.
3°. Que le premier qui en a trouvé la tangente,
a été M. Defcartes, 8c prefque en même tems M. de
Fermât, quoique d’une maniéré défe&ueufe; après
quoi M. de Roberval en a le premier mefuré les plans
& les folides, 8c donné le centre de gravité du plan
8c de fes parties.
4 • Que le premier qui l’a nommée cycloïde, a
été M. de Beaugrand ; que le premier qui fe l’eft at-
tnbuée devant le public, 8c qui l’a donnée au jour,
a ete Toricelli. '
5°* Q 11^ le premier qui en a me/uré la ligne courbe
8c fes parties, 8c qui en a donné la comparaifon
avec la ligne droite, a été M. W ren, fans la démontrer.
. 6 • Que le premier qui a trouvé le centre de gravite
des folides, 8c demi-folides de la ligne 8c de fes
parties , tant autour de la bafe qu’autour de l ’axe ,
a été M. Pafcal ; que le même a auflï trouvé le premier
le centre de gravité de la ligne 8c de fes parties
; la dimenfion 8c le centre de gravité des furfa-
ces, demi-furfaces, quart-de-furfaces, &c. décrites
par la ligne 8c par fes parties tournées autour de la
bafe 8c autour de l’axe : 8c enfin la dimenfion de
toutes les lignes courbes des cycldides allongées ou
accourcies. M. Pafcal publia ces propriétés de laçy-
cldide dans un petit livre imprimé au commencement
de 1658, fous le titre de traité de la roulette,
8c fous le nom de A. d'Ettonville. II eft fort rare, le
libraire n’en ayant tiré que 120 exemplaires. La bibliothèque
des Peres de la Doctrine en poflede un.
Baillet, vie de Defcartes , loco citato. (O)
Application de la cycloïde au pendule des horloges.
M. Huyghens ayant cru que les erreurs auxquelles
les horloges font encore fujettes, naifloient des petites
inégalités qui régnent entre les tems des vibrations
d’un même pendule fimple, lorfqu’elles font
différemment étendues; il imagina de faire ofciller
ce régulateur entre deux arcs de cycloïde, fa lentille
décrivant par ce moyen une femblable courbe, devoit
, félon lui, achever toutes fes vibrations en des
tems égaux ( Foye{ C y c lo ïd e ) , 8c communiquer
une parfaite jufteffe à l’horloge: mais l ’expérience
8c la théorie ont démontré le contraire.
Ce qu’il y eut de plus particulier dans l’erreur de
M. Huyghens, c’eft que tous les favans de l’Europe y
refterent plus de trente années, malgré les irrégularités
qu’on remarquoit tous les jours dans les pendules
à cycloïde. Tantôt ils les attribuoient au peu d’attention
que les artiftes prenoient dans la formation
de ces courbes, ce qui pouvoit en effet y avoir affez
fouvent part ; tantôt ils s’en prenoient à la maniéré
dont elles étoient pofées ; d’autres fois les principales
erreurs venoient, félon eux’ de plufieurs effets
phyfiques : enfin ils n’en purent découvrir la véritable
caufe, jufqu’à ce qu’un artifte intelligent, M.
Sully, vint defliller leurs yeux.
Il leur fit voir qu’à la vérité le pendule fimple qui
ofcille dans une cycloïde, fait des vibrations parfaitement
ifochrones ; mais que pour celui qui eft appliqué
aux horloges, deux caufes concourant dans
fes vibrations, la pefanteur & l’aftion continuelle de
la force motrice par le moyen de l’échappement,
caufes dont il n’y a que la première qui foit proportionnelle
aux ares , l’autre ne fuivant pointdu tout ce
rapport ; il eft impoffible que cetifochronifme ne foit
pas troublé parles variations de cette derniere force.
Il confirma ion raifonnement par l’expérience, 8c fit
voir qu’on pouvoit à volonté faire avancer ou retar-»
der une pendule à cycloïde, en changeant la forme dp
fon échappement,
Quoique la cycloïde, dans le tems oû elle étoit d’u*
fage , loin de concourir à la jufteffe des horloges ,
leur fût au contraire defavantageufe ; cependant par
la découverte des échappemens à repos, faite de-*
puis ce tems, cette courbe pouvoit leur être favorable
quand elles ont des pendules courts : elle feroit
auffi fort utile pour certains régulateurs qu’on pour-
roit peut-être découvrir, 8c dont la gravité feule
cauferoit les vibrations. Ces raifons m’ont engagé à
donner ici la méthode preferite parM. Huyghens,
horol. ofcill. pars prima, pour former cette courbe.
La longueur de votre pendule étant donnée ; fur
une table auffi platte qu’il eft polfible, pofez une réglé
épaiffe d’un demi-pouce environ ; ayez enfuite