le troifieme ordre, & M. Euler feize, ce qui prouve
encore l’arbitraire des fubdivifions.
On peut par une méthode femblable faire la di-
vifiondes courbes d’un genre fupérieur. Veye^ ce que
M. Cramer a fait par rapport aux lignes du quatrième
ordre dans le chap.jx. de fon ouvrage.
Pour rappeller à l’une des quatre formes de M.
Newton une ligne quelconque du troifieme ordre ,
dont l’équation eft donnée en { & en u , on tranf-
formera d’abord les axes de la maniéré la plus générale
, en fuppofant a — A B u + C } & y =
D ^ - f E u F ; fubftituant enfuite ces valeurs, on
déterminera les coefficiens A , B , &c. à être tels
que l’équation en x & en y ait une des quatre formes
fuldites.
Pointsfinguliers & multiples des courbes.On appelle
point multiple d’une courbe celui qui eft commun à
plufieurs branches qui fe coupent en ce point, & par
oppofition point Jùnple celui qui n’appartient qu’à
line branche. Il eft vifible qu’au point multiple l’ordonnée
y a plufieurs valeurs égales répondantes à
un même x . C ’eft-là une propriété du point multiple
; mais il ne faut pas croire que le point foit multiple
, toutes les fois que l’ordonnée a plufieurs valeurs
égales. Car, fi une ordonnée touche la courbe
, par exemple, il eft aifé de voir que l’ordonnée
a dans ce point deux valeurs égales, fans que le
point foit double. Voye£ T angente. La propriété
du point multiple, c’eft que l’ordonnée y a plufieurs
valeurs égales, quelque jituation qu'on lui donne ; au
lieu que dans le point fimple l’ordonnée qui peut
avoir plufieurs valeurs égales dans une certaine fi-
tuation, n’en a plus qu’une dès que cette fituation
change, ce qui eft évident par la feule infpeûion
d’un point multiple & d’un point fimple. Voyei
Point.
De-là il s’enfuit que fi on tranfporte l’origine en
un point fuppofé multiple, en faifant [ + A = x ,
u-\-B=zy, il faut qu’en fuppofant { infiniment petit,
on ait plufieurs valeurs nulles de u, quelque direction
qu’on lui donne. Ainfi pour trouver les points multiples
, il ri’y a qu’après avoir tranfporté l’origine dans
le point fuppofé, donner une direftion quelconque
à l’ordonnée, & voir fi dans cette direâion quelconque
l’ordonnée aura plufieurs valeurs égales à
zéro. VoyefbX. l’abbé de G u a ,/>. 88. & M.Cramer,
page 40$.
On prouvera par ces principes, que les feftions
coniques ne peuvent avoir de points multiples, ce
qu’on favoit d’ailleurs. On prouvera aufli que les
courbes du troifieme ordre ne peuvent avoir de points
triples, &c. Mais cette propofition fe peut encore
prouver d’une maniéré jjdus fimple en cette forte.
Imaginons que l’ordonnee foit tangente d’une des
branches, elle rencontrera cette branche en deux
points. Or fi le point eft un point double, par exemple
, l’ordonnée rencontreroit donc la courbe en trois
points, ce qui ne peut être dans une fection conique
; car jamais une droite ne peut la rencontrer
qu’en deux points, puifque fon équation ne pafle
jamais le fécond degré ; & qu’ainfi quelque pofition
qu’on donne à l’ordonnée, elle ne peut avoir jamais
plus de deux valeurs. On prouvera de même qu’une
courbe du fécond genre, ou ligne du troifieme ordre,
ne peut avoir de point triple, parce que la courbe ne
peut jamais être coupée qu’en trois points par une
ligne droite.
A l’égard des points doubles des courbes, nous
avons déjà remarqué que les courbes du fécond genre
peuvent être coupées en trois points par une ligne
droite. Or deux de ces points fe confondent quelquefois,
comme il arrive, par exemple, quand la
ligne droite pafle par une ovale infiniment petite ; J
ou par le point de concours de deux parties d’une
courbe qui fe rencontrent, & s’unifient en une pointe.
Quelquefois les lignes droites ne coupent la
courbe qu’en un point, comme il arrive aux ordonnées
de la parabole de Defcartes, & de la première
parabole cubique ; en ce cas il faut concevoir que
ces lignes droites paffent par deux autres points de
la courbe placés à une diftance infinie ou imaginaire.
Deux de ces interférions coïncidentes, faites à une
diftance infinie,ou même imaginaire, conftituent
une efpece de point double.
On appelle pointsfingulier s les points fimpleS qui
ont quelque propriété particulière, comme les points
conjugués, les points d’inflexion, les points de fer-
pentement, &c. Voyeç Point , Conjugué , Inflexion,
Serpentement, & c. Ifoyc^ <m^?Rebrous-
sement, Noeud, & c. Sur les tangentes des courbes
en général, & fur les tangentes des points multiples,
voye^ T angente.
Defcriptian organique des courbes. i°. Si deux angles
de grandeur donnée, P A D , P B D ( P l . de
Gcomet.jîg. 33.) tournent autour de deux poles^ &c
B , donnés de pofition, & que le point de concours
P des côtés A P , B P , décrive une ligne droite, le
point de concours D des deux autres côtés décrira
une feôion conique qui paflera par les pôles A &c
B j à moins que la ligne ne vienne à palier par l’un
ou l’autre des pôles A è c B , ou que les angles B A D
8>cA B D ne s’évanoiiiffent à la fois, auquel cas le
point de concours décrira une ligne droite.
20. Si le point de concours P des côtés A P , B P ,
décrit une feftion conique paffant par l’un des pôles
A ) le point de concours D des deux autres côtés
A D , B D , décrira une courbe du fécond genre qui
paflera par l’autre pôle B , & qui aura un point double
dans le premier pôle A , à moins que les angles
B A D , A B D , ne s’évanoiiiffent à la fois, auquel
cas le point D décrira une autre feéfion conique qui
paflera par le pôle A .
30. Si la fe&ion conique décrite par le point-P ne
pafle, ni par A ni par B , le point D décrira une
courbe du fécond ou du troifieme genre, qui aura un
point double ; & ce point double fe trouvera dans
le concours des côtés décrivans A D ,B D , quand
les deux angles B A P , A B P , s’évanoiiiffent à la
fois. La courbe décrite fera du fécond genre, quand
les angles B A D , A B D , s’évanoiiiront à la fois,
finon elle fera du troifieme genre, & aura d.eux
points doubles en A & en B.
Les démonftrations de ces propofitions, qu’il ferait
trop long de donner ic i , fe trouveront dans
l’ouvrage de M. \faclaurin, qui a pour titre, Geo-
metria organica , oîi il donne des méthodes pour tracer
des courbes géométriques par un mouvement continu.
Voye^ aujji le VIII, livre des ferions coniques de
M. de l’Hôpital.
Génération des courbes du fécond genre par les ombres.
Si les ombres des courbes de différent genres font
projettées fur un plan infini, éclairé par un point
lumineux, les ombres des feftions coniques feront
des ferions coniques ; celles des courbes du fécond
genre feront des courbes du fécond genre ; celles des
courbes du troifieme genre feront des courbes du troifieme
genre, &c.
Et comme la projeftion du cercle engendre toutes
les feftions coniques, de même la projeâion des
cinq paraboles divergentes engendre toutes les autres
courbes du fécond genre ; 6c il peut y avoir de
même dans chaque autre genre une fuite de courbes
Amples, dont la projeélion fur un plan éclairé par
un point lumineux, engendre toutes les autres courbes
du même genre. MM. Nicole & Clairaut, dans
les mémoires de l'acad. de 1731, ont démontré la propriété
des cinq paraboles divergentes dont nous velions3e
parler; propriété que M. Néwfon n’avoll
fait qu’énoncer fans démonftra'tion. Voyt^ auffi fur
cette propofition l’ouvrage cité de M. l’abbé de Gua,
■ page tÿS. & fuiv. Voyez auffi O m b r e .
Ufage des courbes pour la conjlruclion des équations.
L’ufage principal des courbes dans la Géométrie, eft
de donner par leurs points d’interfe&ion la folution
'dès pfôblèmes. Voye^ C o n s t r u c t i o n .^
Suppofons, par exemple, qu’on ait à conftruire
une équation de neuf dimenfions, comme x 9 -{- b x 7
e b e t+ d x ) - f e*4 + ( m + f ) x 1 + £ * * - f h x +
k = o , dans laquelle b , c , d , &c. fignifient des
quantités quelconques données, affeûées des lignes
-J- ou — ; on prendra l’équation à la parabole cubique
x 3 z=.y , & mettanty pour x 3 dans la première
équation, elle fe changera en y l + b x y * + c y 2
4- d x * y + cx y ^ -m y + f x 3 + g x * + h x + k
— o , équation à uhe autre courbe du fécond genre
dans laquelle m ou ƒ peuvent être fuppofés = 0. Si
on décrit chacune de ces courbes, leurs points d in-
îerfeftion donneront les racines de l équation pro-
pofée. Il fuffit de décrire une fois la parabole cubique.
Si l’équation à conftruire fe réduit à 7 dimenfions
par le manquement des termes h x&c k , 1 autre courbe
aura , en effaçant m, un point double à 1 origine des
abfcifles, & pourra être décrite par différentes méthodes.
Si l’équation eft réduite à fix dimenfions par
le manquement des trois termes g x * + h x + k ,
l ’autre courbe, en effaçant ƒ , deviendra une fe&ion
conique ; & fi par le manquement des fix derniers
termes l’équation eft réduite à trois dimenfions, on
retombera dans la conftruÛion que Wallis en a donnée
par le moyen d’une parabole cubique & d’une
ligne droite. Voye{ C o n s t r u c t i o n , & l’ouvrage
de M. Cramer, chap. jv .
C o u r b e p o l y g o n e . On appelle ainfi une courbe
confidérée non comme rigoureufement courbe , mais
comme un polygone d‘une infinité de côtés» C ’eft
ainfi que dans la géométrie de l'infini on confidere
les courbes ; ce qui ne fignifie autre chofe, rigoureufement
parlant, finon qu’une courbe eft la limite des
polygones, tant inferits que cir.confcrits. Voye{ L i m
i t e , E x h a u s t i o n , I n f i n i , D i f f é r e n t i e l , & c.
& P o l y g o n e .
Il faut diftinguer, quand on traite une courbe comme
polygone ou comme rigoureiife ; cette attention
eft fur-tout néceffaire dans la théorie des forces
centrales & centrifuges \ car quand on traite la
■<courbe comme polygone, l’effet de la force centrale,
c ’eft-à-dire la petite ligne qu’elle fait parcourir, eft
régale à la bafe de l’angle extérieur de la courbe^ ; &
quand on traite la courbe comme rigoureufe, l’effet
•ce la force centrale eft égale à la petite- ligne, qui
•eft la bafe de l’angle curviligne formé par la courbe
& par fa tangente. Or il eft aifé de voir que cette
petite ligne n’eft que la moitié de la première, parce
que la tangente rigoureufe de la courbe divife en deux
également l’angle extérieur que le petit côté prolongé
fait avec le côté fuivant. La première de ces
lignes eft égale au quarré du petit côté divifé par
le rayon du cercle ofculateur, voye^ O s c u l a t e u r
& D é v e l o p p é e ; la fécondé au quarré du petit
côté divifé par le diamètre du même cercle. La première
eft cenfée parcourue d’un mouvement uniforme
la fécondé d’un mouvement uniformément
accéléré: dans la première, la force centrale eft
fuppofée n’agir que par une impulfion unique, mais
grande ; dans la. fécondé, elle eft fuppofée agir,
'comme lapefanteur, par une fomme de petits corps
égaux; & ces' deux fuppofitions reviennent à une
même ; car l’on fait qu’un corps mu d’un mouvement
accéléré parcourrait uniformément avec
la vîteffe finale le double de l’efpace qu’il a par-
• couru d’un mouvement uniformément açcélere?pour
Jomi I
acquérir cette vîteffe.,Voye^ les articles Accélération
, Central, & D escente. Voye{ aujji l'hijl.
de l'acad. 1722. & mon traité de Dynamique, page
zo. article zo. & page36. article z€.
Rectification d'une courbe, eft une opération qui
confifte à trouver une ligne droite égale en longueur
à cette courbe. Voye^ Rectification»
Inflexion d'une courbe. Voye^ INFLEXIQN.
Quadrature d'une courbe, eft une opération qui
confifte à trouver l’aire ou l’efpace renfermé par
cette courbe, c’eft-à-dire à afligner un quarré dont
la furface foit égale à un efpace curviligne. Voyez
Quadrature»
Famille de courbes, eft un affemblage de plufieurs
courbes de différens genres, repréfentées toutes par
la même éqüation d’un degré indéterminé, mais différent
, félon la diverfité du genre des courbes. Voye£
Famille.
Par exemple, fuppofons qu’on ait l’équation d’un
degré indéterminé a l ~~1 x — y m : fi /ra = 2, on aura
a x =ny1 • fi m = 3, on aura a2 x = y 3 ; fim =: 4^
a 3 x=zy 4. Toutes les courbes auxquelles ces équations
appartiennent font dites de la même famille
par quelques géomètres.
Les équations qui repréfentent des familles de
courbes, ne doivent pas être confondues avec les
équations exponentielles ; car quoique l’expofant
foit indéterminé, par rapport à toute une famille de
courbés, il eft déterminé & confiant par rapport à
chacune des courbes qui la compofent ; au lieu que
dans les équations exponentielles l’expofant eft variable
& indéterminé pour une feule même courbe;
Voye^ Exponentiel.
Toutes les courbes algébriques compofent, pour
ainfi dire, une certaine famille, qui fe fubdivife ert
une infinité d’âutrès, dont chacune contient une infinité
de genres. En effet dans les équations par lef-
quelles lès courbes font déterminées, il n’entrè que
des produits, foit des puiffâncés des abfciffés & des
ordonnées par des coefficiens conftans, foit des püifi
fances des abfcifles par des puiffances des ordonnées^
foit de quantités confiantes pures & Amples, les unes
par les autres. De plus chaque équation d’une courbe
peut tofijours avoir zéro pour un de fes membres j
par exemple, a x = y 2 fe change en a x ~ y 2 = o.
Donc l’équation générale qui repréfentera toutes les
courbes algébriques fera
a y m + b x y m~ t . . + f y ml
+ f y m^ 1 + k x y ni~ :i /=<*•
=, 1 y * 1* * j
Nous devons remarquer ici qiié le P. Reyrieaii
s’eft trompé dans le fécond volume de fôri dnalyfe
démontrée, lorfque voulant déterminer lés tarigèrites
de toutes les courbes géométriques en general, il
prend pour l’équation générale de toutes ces courbes
y m_|_ b x n y q + c x p = 0, équation qui n’a que
trois termes. Il eft vifible que cette équation eft in>*
fuffifante, & qu’on doit lui fubftituer celle que nouâ
venons de donner.
Courbe cauftique. Voyeç CâÜSTIQUÈ.
Courbe diacaüjlique. V7ye£ DiACAUSTiQÜE:
Les meilleurs ouvrages dans lefquels on püiflb
s’inftruire de lâ théorie des courbés, font, i° l'enumè-
ratio lihearutii tertii ordinis de M. New ton j d’Ouune
partie de cet article Courbe eft .tirée : 20 l’ouvrage
deM. Stirling fur le même fujet,& Geométria organica
de M. MaclaUrin, dont nous avons parlé : 30 les ufd-
ges dé l'analyfe de Defcartes par M. l ’abbé dè Gua,
déjà cités ; ouvrage original & plein d’éxcellentes
chofes, mais qu’il faut lire avec précaution ( Voye^
Branche 6- Rebroussement. ) : 401 'miroduchont