à Fanalyfe des lignes courbes, par M. Cramer ; ouvrage
très-complet, très-clair 8c très-inftru&if, &
dans lequel on trouve d’ailleurs plufieurs méthodes
nouvelles : 50 l’ouvrage de M. Euler, qui a pour titre
, introduclio in analyf. infinitorum, Laufan. 1748.
Sur les propriétés, la génération, &c. des differentes
courbes méchaniqiies particulières ; par exemple
, de la cycloïde, de la logarithmique, de la fpi-
rale, de la quadratiee, &c. Foy. les articles C y c l o ï d
e , Logarithmiqu e j &c.
On peut voir aufli la derniere feftion de l’application
de l’Algebre à la Géométrie, de M. Guifnee,
oîi l’on trouvera quelques principes generaux fur
les courbes méchaniques. Foye^ aujji Mechanique 6* T ranscendant.
On peut faire paffer une courbe géométrique & réguliere
, par tant dé points qu’on voudra d’une courbe
quelconque irréguliere , tracée fur le papier ; car
ayant imaginé dans le plan de cette courbe une ligne
droite quelconque, qu’on prendra pour la ligne des
abfciffes, & ayant abaiffé des points donnés de la
courbe irréguliere des perpendiculaires à la ligne des
x , on nommera a la première ordonnée, 8c b l’abf-
ciffe qui lui répond ; c la fécondé ordonnée, & e
i’abfcine correfpondante ; ƒ la troifieme ordonnée,
8c g l’abfciffe correfpondante. Enfuite on fuppofera
une courbe dont l’équation foity — A-\-Bx-\- Cx'1
+ D x 7’ + &c.fk faifant fuccefiivementy — a ,x— b;
y — c , x — e ; y —f , x = g , &c. on déterminera les
coefficiens A , B ,C , &c. en tel nombre qu’on voudra
; & la courbe réguliere dont l’équation eft y = A
4- B x 4- C x 1 , &c. paffera par tous les points donnés.
S’il y a n points donnés,il faudra fuppofer n co.-
efficiens A , B , C , D , 8cc. On peut donc faire approcher
aufli près qu’on voudra une courbe irréguliere
d’une courbe reguliere ; mais jamais on ne parviendra
à faire coïncider l’un avec l’autre ; & il ne
faut pas s’imaginer qu’on puifle jamais, à la vue Ample
, déterminer l’équation d’une courbe, comme l’a
crû le géomètre dont nous avons parlé au commencement
de cet article.
Les courbes dont l’équationy ~ A - \ -B x - \ -C x l
8cc. s’appellent courbes de genre parabolique. F yye^
P a r a b o l i q u e . Elles fervent à rendre une courbe
quelconque irréguliere ou méchanique, le plus géométrique
qu’il eft poflible. Elles fervent aufli à l’é-
quarrer par approximation. Foye^ Q u a d r a t u r e .
Au refte, il y a des courbes, par exemple, les courbes
ovales ou rentrant en elles-mêmes, par lefquelles on
lie peut jamais faire pafl'er une courbe de genre parabolique
; parce que dans cette derniere courbe l’ordonnée
n’a jamais qu’une valeur, & que dans les
courbes ovales, elle en a toujours au moins deux.
Mais on pourroit, par exemple, rapporter ces courbes
, lorfqu’elles ont un axe qui les divife en deux
également, à l’équation y y — A - \ -B x - \ -C x x -\-
& c . Foyc^ M e t h o d e d i f f é r e n t i e l l e .
Courbe à double courbure. On appelle ainfl une
courbe dont tous les points ne fauroient être fuppo-
fés dans un même plan, & qui par conféquent eft
doublement courbe , 8c par elle-même, & par la fur-
face fur laquelle on peut la fuppofer appliquée. On
diftingue par cette dénomination les courbes dont il
s’agit, d’avec les courbes à Ample courbure ou courbes
ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces
courbes à double courbure ; c’eft le premier ouvrage
qu’il ait publié.
Une courbe quelconque a double courbure étant
fuppofée tracée ; on peut projetter cette courbe fur
deux pians différens perpendiculaires l’un à l’autre,
8c les projetions feront deux courbes ordinaires qui
auront un axe commun & des ordonnées différentes.
L’équation d’une de ces courbes lera, par exemple,
en x 8c en y , l’autre en a? & en ^.sAinfi l’équaiion
d’une courbe à double courbure fera compofée de
deux équations à deux variables chacune, qui ont
chacune une même variable commune. Il eft à remarquer
que quand on a l’équation en x 8c en y , 8c
l’équation en x 8c en ^, on peut avoir par les réglés
connues (Foye^Equation & Division) une autre
équation eu y & en { 8c ce fera l’équation d’une
troifteme courbe, qui eft la projet ion de la courbe à
double courbure fur un troifieme plan perpendiculaire
aux deux premiers.
On peut regarder, A l’on veut, une des courbes
de projetion, par .exemple, celle qui a pour coordonnées
x 8t. y , comme l’axe curviligne de la courbe
à double courbure. Si on veut avoir la tangente de
cette derniere courbe en un point quelconque, on
mènera d’abord la tangente de la courbe de projetion
au point correfpondant, c’efl-à-dire au point qui eft
la projetion de celui dont on demande la tangente ;
& fur cette tangente prolongée autant qu’il fera né-
ceflaire, on prendra une partie =L_i, ds exprimant
le petit arc de la courbe de projetion : on a le rapport
de ds à d x par l’équation de la courbe en x 8c en
y ( Voyeç T angente & D IFFERENTIEL ) ; on a celui
de d x à d ^ par l’équation de la courbe en x 8c en
£. Donc L y pourra toujours être exprimé par une
quantité flnie, d’où les différentielles difparoîtront.
Une courbe à double courbure eft algébrique, quand
les deux courbes de projetion le font : elle eft méchanique
, quand l’une des courbes de projetion eft
méchanique, ou quand elles le font toutes deux.
Mais dans ce dernier cas on n’en trouvera pas moins
les tangentes ; car par l ’équation différentielle des
courbes de p rojetion, on aura toujours , la valeur de
ds en d x 8c celle de d { en d x. ,
Surfaces courbes. Vue furface courbe eft repréfentée
en Géométrie par une équation à trois variables >
par exemple, x , y 8c En effet, A on prend une
ligne quelconque au-dedans ou au-dehors de la fur-
face courbe pour la ligne des x , 8c qu’on imagine à
cette ligne une inflnité de plans perpendiculaires qui
coupent la furface courbe, ces plans formeront autant
de courbes, dont l ’équation fera en y 8c en { , &
dont le paramétré fera la diftance variable x du plan
coupant à l’origine des x. Ainfi, = a? x —y y ,
eft l’équation d’un cône droit & retangle, dont l’axe
eft la ligne des x. M. Defcartes eft le premier qui
ait déterminé les furfaces courbes par des équations à
trois variables, comme les lignes courbes par des
équations à deux.
Une furface courbe eft géométrique, quand fon
équation eft algébrique 8c exprimée en termes Anis.
Elle eft méchanique , quand fon équation eft différentielle
8c non algébrique ; dans ce cas on peut re-
préfenter l ’équation de la furface courbe par d ç =z
a d x -j- f d y , a. & C étant des fondions de x , de y
8c de Il femble d’abord qu’on aura cette furface
courbe, en menant à chaque point de la ligne des x
un plan perpendiculaire à cette ligne, & en traçant
enfuite fur ce plan la courbe dont l’équation eft d ç
= C d y , x étant regardée comme un paramétré confiant
, & d x étant fiippofée = 0. Cette conftru&ion
donneroit à la vérité une furface courbe ; mais il faut
que la furface courbe fatisfaffe encore à l’équation d ç
=z et d x , y étant regardé comme confiant ; c’eft-à-
dire il faut que les fe&ions de la furface courbe, par
un plan parallèle à la ligne des x -,fqient repréfen-
tées par l’équation d ç = « d x. Or céla ne peut avoir
lieü que lorfqu’il y a une certaine condition entre
les quantités a 8c€; condition que M. Fontaine, de
l’académie des Sciences, a découvert le premier. On
trouvera aufli dans lés‘mémoires de l’académie dç
Petersbourg, tome III. des recherches fur la ligne.ln
plus courte que l’on puifle tracer fur une furface
courbe entré deux points donnés. Sur une Airfàce plane
, la ligne la plus courte eft une ligne droite. Sur
une furface fphérique, la ligne la plus courte eft un
arc de grand cercle pafîant par les deux points donf
nés. Et en effet il eft aifé de voir, par les principes
de la Géométrie ordinaire, que cet arc eft plus petit
que tout autre ayant la même corde ; car, à cordes
égales, les plus petits arcs font ceux qui ont un
plus grand rayon. Foye^ aufli lés oeuvres de Bèr-
rioulli, tome IF. page io8. La ligne dont il s’agit a
cette propriété, que tout plan paflant par trois points
infiniment proches, ou deux côtés contigus de la
courbe , doit être perpendiculaire aii plan qui touche
la courbe en cet endroit; En voici la preuve. Toute
courbe qui paffe par deux, points infiniment proches
d’une furface fphérique, & qu’on peut toujours regarder
comme un arc de cercle, eft évidemment la ligne
la plus courte, lorfqu’elle eft un arc de grand
cercle ; & cet arc de grand cercle eft perpendiculaire
au plan touchant, comme on peut le démontrer
aifement par les élémens de Géométrie. Or toute
portion de furface courbe infiniment petite peut être
regardée comme une portion de furface fphérique,
& toute partie de courbe infiniment petite comme un
arc de cercle. Donc, &c. La perpendiculaire à la méridienne
de la France tracée par M. Caflini, eft une
courbe à double courbure, & eft la plus courte qu’on
puifle tracer fur la furface dé la terre regardée comme
lin fphéroïde applati. Foyeç les mémoires de Vacad. de
*7-3 Z & 1733. Voilà tout ce que nous pouvons dire
fur cette matière, dans un ouvrage de l’efpéce de
celui-ci.
JDes courbes méchaniques, & de leur ufage pour la
conjlruclion d.s équations différentielles. Nous avons
expliqué plus haut ce qué c’eft que ces courbes. Il ne
s ’agit que d’expliquer ici comment 6n les conftruit,
ou en général comment on conftruit une équation
différentielle. Soit, par exemple, d y es
line équation à cohftruire, on aura y '2=. (—————
J Vzax — x x 4- C, C étant Une confiante qu’on ajoute, parce que
■■ - —■ eft fuppofée = 0 lorfque * = o , & qu’on
fuppofe que x== o rend y — C. Foyeç C onstante.
On conftruirà d’abord une courbe géométrique dont
les ordonnées fôient — les abfciffes étant a; ,
l’aire de cette courbe (Foy.e^ Q uadrature. ) fera
f - - —rri ainfi en fuppofant cette courbe générale,,
fi on fait un quarré n - 1 —— — , on aiirav =
I ■ ' J VfÏTZ-xx
-f- C, & on conftruirà la courbe dont l ’ordonnée
efty.
Cette méthode fuppofe , comme on voit , que les
indéterminées foient féparées dans l’équation différentielle
( Foye^ C alcu l intégral); ,elle fuppofe
de plus les quadratures, fans cela elle ne pourroit
réuflir. '
‘ Soit en général X d x= x Y d y , X étant une fonction
de x ( Foyei Fo nct ion ) , 8c Y une fonction
de y. On conftruirà d’abord-par la méthode précédente
une courbe dont les abfciffes foient x , & dont
les ordonnée?£ foient = f X d x divifé.par une.con-
ftante convenable, c’eft-à-dire par une confiante rn
qui ait autant de dimenfiohs qu’il y en a dans X ;
enforte que^ -^ - — foit d’une dimenfion, pourpou-
voir être^ég^le à.une ligné -{.-Enfuite on conftruirà
.de même une courbe dopt les abfciffes foient y , 8c
dont les ordonnées u foient, == j Pre0ant en-
fuite u dans la derniere courbe =; { dans l’autre-, on
àlira l’ir 8c Vy correfpondantes ; & ces x 8cy joints
à angles droits, fi les coordonnées doivent faire un
angle droit, donneront la courbe qu’on cherché.
? Ypye^ dans la dernieye feclion de l ’application dé
l’Algebre à la géométrie de M; Guifnée, & dans l’a-
ùalyfe des infiniment petits de M. de l’Hôpital, plufieurs
exemples de conftruâion des équations différentielles
par des courbes méchaniques. (O)
Courbe des arcs, voye^ T rochoïde»
Courbe des sinus ; voye^ Sinus.
Courbes , f. f. (Mar.) Cè font des pièces de bois
beaucoup plus fortes & plus groffes que les courba-
tons, dont elles ont la figure : leur ulàge eft de lier
les membres des côtés du vaiffeau aux baux; & dé
gros membres à d’autres. Foye{ CourbatonS;
Sur chaque bout des baux on met une courbe oti
courbaton ; pour le foûtenir & lier le vaiffeau. Pour
former une courbe on prend ordinairement un pié
d arbre , au haut duquel il y a deux branches qui
fourchent, 8c l’on coupe ce pié en deux, y laiffant
une branche fourchue de chaque côté. Aux grands gabarits
8c fous toute l’embeUe,o.ùîe vaiffeau a le plus
à fquffrir, on ne peut mettre les courbes trop fortes-;
mais comme de fi groffes pièces de bois diminuent
1 efpace pour l’arimage, on fait quelquefois des courbes
de fer de trois à quatre pouces de large, & d’un
quart de pouce d’épais, qu’on applique fur ies côtés
.des courbes qui font les plus foibles , 8c la branche
füpérieure s’applique aux baux avec des clous 8c des
chevilles de fer. Foy. Marine, PI. F. fig. 1. n°. iz i .
les courbes.de fer du fécond pont, 8c PI. IF.fig. 1.
même n .121. 8c celles du premier pont, mêmes
Planches , n°. 70.
A l’égard des courbes ou courbatonS qui fe pofent
en-trayers dans les angles de l ’avant 8c de l’arriéré
du vaiffeau, on leur laiffe toûjours toute la groffeur
que le bois peut fournir, 8c l’on tâche d’en avoir
d’un pié d’arbre entier où il n’y ait qu’une fourche,
.& qui ri’ait point été fcié, parce que celles qui font
feiees font bien plus foibles ; & pour lé mieux on
taché que les courbes qui fe pofent eri travers, ayent
à l’endroit de bas des ferrebauquieres, autant d’é-
paiffeur que lé bau auquel elles font jointes;
Courbes d'arcajfe, ce font des pièces de liaifon a£-
femblées dans chacun .des angles .de la poupe, d’un
bout contre la liffe de hourdi, 8c de l’autre contre
les membres dù vaiffeau. Foyer leur figure, Marine,
PI. FI. n°. 69 .
Courbe de contrè-àrcafje oü contre-lffes ; ce font des
pièces de bois pofées en fond de cale, arcboùtées
par en-baut contre i’arcaffe , & attachées du bout
d’en-bas fur les membres du vaiffeau.
Courbe d etambord, c’eft une .piece dé bois courbe ,
qui pofe fur la quille du vaiffeau d’un côté, & dé
-l’autre contre l’étambord; Foyer Marine * PI. I F,
fig->.n°.8. - - . ,
Courbes du premier pont, doivent avoir les deux
tiers de l’épaiffeur de l’étrave. Foy. leur fig.,Marine,
PL, F i. n° . 68.
Courbe de la poülaine, c’eft une pièce de bois fi-
tuée entre la gorgere ou taille-mer, l’étrave :8c l’aiguille
de l ’éperon. Foye^ PI, IF. fig. /. cette courbe
cottée 194. la gorgere , cottéè 1 fi3. Y étrave > n°. j .
8c l’aiguille de l'éperon , 184. (Y )
Courbe , 1e dit en Charpenterie & Menuiferie , dé
toute piece de bois ceintrée.
Courbe d’escalier, (.Charpent.) c’eft éellequi
forme le quartier tournant, autrement dit le noyau
recreufé.. Woyez Pl. I, fig. 2. du Charpentier.
■ : Courbes rallongées -, ,lont celles dont les parties
ceintrées ont diftérens.points de centres.
Courbe , (Mar.échallerué) Les Matéchaux appellent
ainfi unejtumeur dure 8c calleulê qui vient en
longueur au-dedans du jarret du eheval ; c’eft-à-dire