leurs de x en y ; nops venons de voir que les valeurs
tant pofitives que négatives de x , appartiennent
à la. courbe. Or les valeurs négatives l'ont les
mêmes, que l’on auroit avec un ligne pofitif, en
changeant dans l’équation primitive les lignes, des
termes où x fe trouve avec une dimenfionimpaire;
car on lait que dans une équation ordonnée en x ,
fi on change les fignes des termes où x fe trouve avec
une dimenfion impaire, toutes les racines changent
<le ligné fans changer d’ailleurs de valeur. Voye^
Éq u a t io n * Donc l’équation en x , avec le changement
des lignes indique, appartient aufli-bien à la
courbe que l ’equation en, x , lans changer aucun ligne.
Donc, &c. Il efl, donc important de changer
les fignes de x , s’il efl néceffaire , pour avoir la
.partie de la courbe qui s’étend du côté des x négatives.
En effet foit, par exemple,y y — a a — x x
l’équation du cercle,, on aura, en prenant », politis
e v = + y/ a a — x x ; & en faifant x négative ,
^on aura de même y = + y/ a a — x x : ce qui donne
le,cercle entier. Si on prenoit feulement x pofitive,
on n’auroit. que le demi-cercle ; & li on ne prenoit
que pofitive, on n’auroit que le quart du cerçle.
Voilà donc une démonflration générale de ce que
tous les Géomètres n’ont iuppofé jufqu’à préfent que
,par induûion. En effet ils ont.vu, par exemple, que
Üy — a — x , c’eft l’équation d’une ligne droite qui
coupe, fon axe au point où x = a , 8c qui enfuite
paffe de Fautre côté,. Or quand x > a , on a y négative
; ainfi, ont-ils dit, l’ordonnée négative doit être
prife dii côté oppofé à la pofitive. Ils.ont vû encore
.que y — -\-ÿ'pxeft l’équation de la parabole, 8c que
cette courbe a en effet deux parties égales ôc fem-
hlables , l’une à droite ôc l’autre à gauche de fon
-axé , ce qui prouve que — y" P x doit être prife du
côté oppofé à y/ p 'x, Plulieurs autres exemples pris,
du cercle, des feélions coniques rapportées à tel
axé,qu’on jugera à propos, ont prouvé,1a réglé de
là pofition dés ordonnéès ôc la neceffité de prendre
-x négative., après l’avoir pris pofijtive. On s’en ell
•tenu là : mais ce n’étoit pas une démonflration ri-
goureufe.
Les différentes valeurs de y répondantes à x pofi-
tivé & à « négative, donnent les différentes branches
de la courbe. Foye^ Branche»
Lorfqu’on a ordonné l ’équation d’une courbe par
rapport à y ou à x , s’il ne fé trouve point dans l’é-
•quation de terme confiant, la courbe paffe par l'origine
; car en faifant»==.0, 8c. y = o dans l’équation,
tout s’évanouit. Donc la fuppofition de y = o quand
x '— o\ efl légitime. Donc la courbe paffe par le point
où x = o.
En général, fi on ordonne l’équation d’une courbe
par rapport h y , enforte que le dernier terme ne.con-
tienne que x avec dés confiantes, ôc qu’on cherche
'les valeurs de x propres,à rendre ce dernier terme
éjgal à zéro, ces valeurs de x donneront les points
-où là courbe coupera fon axe ; car puifque ces valeurs.
de » fubffifoées dans le dernier terme le rendront
— o , on prouvera parle même raifonnement que ci-
deffus , que dans les points qui répondent à ces valeurs
de a:, on a y — o.
Lorfque la valeur de l ’ordonnée y efl imaginaire,
la courbe manque dans ces, endroits-là ; par exemple,
lorfque »,> a dans l’équation ..y = d- Vaa —» » , la
valeur d’y efl imaginaire:. auffi le cercle n’exifle point.
dans les endroits où x > a.; de même fi dans l’équation
y = i . v'p x , on-fait-» négative, on trouvera
y imaginaire, ce qui prouve que la parabole rie paffe
point au côté des x négatives.
On verra aux articles E q u a t io n ôc , I , m a g 1- ;
N a i r e que toute quantité imaginaire ou racine imaginaire
d’une équation peut fe réduire à A-\-B y/— 1,
A 8c B étant des quantités réelles, & que toute équation
qui a pour racine A -\-B y/— 1 , a pour racine
auffi A —B y/— 1. Or. quand une ordonnée paffe du
reel à l’imaginaire , cela vient.de ce qu’une quantité
comme C , qui étoit fous un ligne radical y/ C , devient
négative, en forte que C==B y /^ i, B étant
une quantité réelle. Or pour que C devienne négat
iv e , de pofitiye qu’elle étoit, il faut qu’elle paffe
par le zéro, ou,par l’infini. Voye[ Ma x im u m . Donc
au. point où l’ordonnée paffe à l’imaginaire, on a B
nul ou infini ; donc les racines. A 4- B y/ —7 8c A
— B y/—1 deviennent égales, en ce ppurt-là. Donc
la limite qui fépare les ordonnées réelles, des ordonnées
imaginaires, renferme deux, ou plulieurs ordonnées
égalés,, lefquelïes feront = 0 , ou finies ou
infinies ; égales à zéro, fi A = 0 , ôc fi B, efl zéro;
finies , f\A efl finie, Ôc B zéro ; infimes., fi A efl
infinie ôc B zéro, ou fi A efl finie ôc B infinie, ou
fi A 8c B font, infinies l’une & l ’autre.
Par exemple , fi x=. a , ôc que l’équation foit y
= a — x ^ i/ a — x , on a y = o ; fi, l’équation efl-
y = a + y/a — x , y fera = a ; fi l’équation efl y =
a. + ~ 9 ou y = -j— - + y/a -n » , y fera
infinie ; ôc fi dans tous ces cas on prend x: > a , la
valeur de y fera imaginaire.
Quand on a l’équation d’une courbe^ il fajit examiner
d’abord fi cette équation ne peut pas,le divi-
fer en plulieurs équations rationnelles ; car fi cela
e fl, l’équation fe rapporte, non à une feule & même
courbe, mais à des courbes différentes. On en peut
•voir un exemple à P article Hyperboles conjuguées
au mot C o n j u g u é . Nous ajouterons ic i,
1°. qu’il faut, pour ne point fe trompe;- là-de/Tus,
mettre d’abord, tous les termes de l’éqiiation d’un
côté, ôc zéro de l’autre, ôc voir enfuite fi l’équation
efl réduâible en (^autres équations rationnelles ; car
foit, par exemple, y y — a a—x x , on feroit tenté
de croire d’abord que l’équation peut jfe changer en
ces deux-ci y .= a — x 8c y = a -p »., don]t le. produit
donne y y — aa — x.x ; ainfi on pourrpi^croire que
l’ équationy y — aa—x x qui appartient réellement
au cercle, appartiendroit au fyflème de. deux lignes
droites, y a x 8cy — a—x. Or on fe trompe-
roit en cela ; mais pour connoître fon erreur, il n’y
a qu’à faire y y — a a-\- »», = 0 , ôc l’on.verra.alors.
facilement que cette équation n’efl pas produit
des deux équations y —a -\-x = o Ôr y — 4 — xy= ,0 ;
en effet, on fent affez queyy = a a —x x rne d,onne
ni y = a—x , niy — a-^x ; mais fi onâvpit.l’équation
y y — ia y -j- a a—x x = p , on trouveront que
cette équation viendroit des deux y — a —xj=z o &
y — a + x z x o , ôc qu’ainfi elle repréfehterpit non
une courbe, mais un fyflème de deux ligne? drpjtes.
x°. Les équations dans Jefquelles l’équation, apparente
d’une courbe fe divife, n’en ferolept pas .moins
rationnelles quand elles renfermeroient des. ; radicaux.,
pourvu que la..variable x ne fe, trouvât pas,
fous ces.radicaux ; par exemple, une éqtwtipn qui
feroit formée de ces deux-ci,^— Vaa -\- bb —x— o
& y - V a * : + t b + x ■ =. o , repréfenteroit. toujours
le fyflème de deux lignes droites. Il faut, feulement
remarquer que l’équation.{y>y — xy ÿ^a a-f-b b, y- a a
-\-bb — xx=z.o qui réfute de ,ces deiu^là, fe change,
en faifant évanpjiir tout-à-fait le ligne.radical,.
en.celle-ci (^yy-\- aa-^-bb-r-xx^ —^yy £aa-\-bb\ :
= 6 , qui efl du quatrième degré, ôç qui renferme,
le fyflème dç 4 lignes, dxoitesj' — y/ü a—b b— x == o,
y — V'ææ — b b - t -x = c o 9y + V a a + b b — » = 0 ,
y -j- ^a a-\- b b + x x zo.
3°. Les équations font encore rationnelles quand
même x fe trouveroit fous le figne radical, pourvu
qu’on puiffe l’en dégager : par exemple, y —
y/a a x x-\- b b x x s= o &cy — y/d d x 1- -\-xz = o fé
changent eny = -\-x y/aa -f- bb9. ÔC y = + x y/dd-\- ee,
qui efl le fyflème des quatre lignes droites, où l’on
voit que les deux équations radicales en ont fourni
chacune deux autres, parce que la racine de x x efl
également -}- x ôc — x. Je m’étends fur ces différens
objets, parce qu’ils ne font point traités ailleurs,
ou qu’ils le font trop fuccinâement, ou qu’ils le font
mal.
Ceci nous conduit à parler d’une autre maniéré
d’envifager l’équation des courbes , c’efl de déterminer
une courbe par l’équation, non entre x 8cy, mais
entre les .y qui répondent à une même abfciffe.
Exemple. On demande une courbe, dans laquelle la
fomme de deux ordonnées correfpondantes à une
même x foit toujours égale à une quantité confiante
l a j je dis que l’équation de cette courbe fera
y = a -}- y/X> X défignant une quantité, radicale
quelconque, compofée de » ôc de confiantes. En
effet, les deux ordonnées y = a -{• \/X ôc y = a
— y/-Sfajoutées enfemble,donnent une fomme = îa;
mais il faut bien remarquer que y /X doit être une
quantité irrationnelle ; car, par exemple, . y = a
+ -p- ôc y = a — p- ne fatisferoient pas au problème
, parce que ces deux équations ne défigne-
roient pas le fyflème d’une feule ôc même courbe.
D e même fi on demande une courbe, dans laquelle
le produit des deux ordonnées correfpondantes à x
foit une quantité Q_, qui contienne x avec des confiantes
, ou qui foit une confiante, on fera y = P
i . V P P — Q , P étant une quantité quelconque
qui contienne x avec des confiantes, ou qui foit
confiante ; car le produit des deux valeurs P +
Ÿ P P — Q 8 t P — V P P — Q donnera Q. Voyez
fur tout cela les journaux de Leipfic de 1697 , les
mémoires de l ’açad. des Sciences de 1734, ôc Vintro-
ductio adanalyjim infinitorum, par M. Euler, c. xjv.
Cours d'une courbe. Pour déterminer le côurs d’une
courbe, on doit d’abord réfoudre l’équation de cette
courbe , ôc trouver la valeur de y en x ; enfuite on
prend différentes valeurs de x , ôc on cherche les
valeurs dey correfpondantes ; on voit par-là les endroits
où la courbe coupe fon axe, favoir les points
où la valeur de y = o ; les endroits où la courbe a
une afymptote, c ’efl-à-dire, les points où y efl infinie
, x refiant finie, ou bien où y efl infinie , ôc a
un rapport fini avec x fuppofée auffi infinie ; les
points où y efl imaginaire, ôc où par conféquent la
courbe ne paffe pas, &c. Enfuite on fait les mêmes
opérations , en-prenant x négative. Par exemple ,
foit ( y ) = x x -\-a a l’équation d’une courbe
, on aura donc y = + V x x + a a. Ce qui
fait v o ir , i° . que chaque valeur de x donne deux
valeurs de y , à caufe du double figne + ; 20. que
fi x = o-, on a y = a + a , c’efl-à-dire y — o ô c y
= i a ; 30. que fi x = a , y = k l’infini, Ôc que par
conféquerit la courbe a une afymptote au point où
x z= a , 49. que fv x = à l’infini, on a y = +_x; ce
qui prouve cpie An courbe a des afymptotes qui- font
avec fon axe un angle de 45 degrés .; en faifant .»
négative, on trouve y = —— + V x x - f aa , équation
fur laquelle on fera des raifonnemens fembla-
bles. Il en çfl de même des autres cas. Si l’équation
a voit y/ x x — a a 9 on trouveroit qu’au point où
x == o, l’ordonnée devient imaginaire, &c.
On peut tracer à peu-près une courbe par plu-
fieurs points, en prenant plufieurs valeurs.de x affez
près 1 une de l’autre, Ôc cherchant les valeurs de y .
Ces méthodes^ de décrire une courbe par plufieurs
points font plus commodes ôc en un féns plus exactes
que celles de les décrire par un mouvement continu.
Foye{ Compas elliptique,
Les anciens n’ont guere connu d’autres courbes
que le cercle, les feéhons coniques, la conchoïde
& la ciffoïde. Vyeç ces mots. La raifon en efl toute
fimple, c efl qu’on ne peut guere traiter des courbes
fans le fecours de l’A lgebre, ôc que l’Algebre paroit
avoir été peu connue desanciens. Depuis ce tems on
y a ajoute les paraboles ôc hyperboles cubiques, ÔC
le trident ou parabole de Dèfcartes ; voilà où on
en efl refié , jufqu’au Traité des lignes du troifieme
j Ordre de M. Newton, dont nous parlerons plus bas.
Voye^ Parabole , Hyperbole , Trident , &c.
Nous avons dit ci-deffus que les courbes méchanî-
ques font celles dont l’équation entre lés coordonnées
n’efl Ôc ne peut-être algébrique, c’efl-à-dire finie.
Nous difons ne peut-être ; car fi l’équation différentielle
d’une courbe avoit une intégrale finie, cette
courbequi paroîtroit d’abord méchanique, feroit réellement
géométrique. Par exemple, fi dy = ,
l(/a*
. la courbe efl géométrique, parce que l’intégrale efl
y = \ / ia x + A ; ce qui repréfente une parabole^
Mais l’éqüation dy = — adx— efl l’équation d’ime
V l a x —T x
courbe méchanique, parce que l’on ne fçauroit trouver
l’intégrale de cette équation différentielle. Voye^
DIFFERENTIEL, INTEGRAL & QUADRATURE.
Les anciens ont fait très-peu d’ufage des courbes
méchaniques ; nous ne leur en connoiffons guere
que deux, la fpirale d’Archimede ôc la quadratrice
de Dinoflrate. Poye^ ces mots: Ils fe fervoient de ces
courbes pour parvenir d’une maniéré plus aifée à la
quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié à 1 infini le nombre des -courbes méchaniques ; le calcul
différentiel a facilité extrêmement cette multiplication,
ôc les avantages qu’on, pouvoit en tirer. V.
Méchanique. Revenons aux courbes algébriques
ou géométriques, qui font celles dont il fera principalement
mention dans cet article, parce que le
caraûere de leurs équations qui confifle à être exprimées
en termes finis, nous met à portée d’établir
fur ces courbes des propofitions générales, qui n’ont
pas lieu dans les courbes méchaniques. C ’en principalement
la Géométrie des courbes méchaniques,
qu’on appelle Géométrie tranfeendante, parce qu’elle
employé néceffairement le calcul infinitéfimal; au
lieu que la Géométrie des courbes algébriques n’em-
ploye point, du moins néceffairement, ce calcul pour
la découverte des propriétés de ces courbes, fi on
en excepte leurs re&ifications ôc leurs quadratures ;
car on peut déterminer, par exemple, leurs tangentes
, leurs afymptotes, leurs branches, &c. & toutes
les autres propriétés de cette efpece par le fecours
dufeul calcul algébrique ordinaire. Voye[ les ouvrages
dé MM. Euler & de Gua, déjà cités, & l’ouvrage
de M. Cramer, qui a pour titre introduction i
l'analyfe des lignes courbes, Genev. iy5ô. in-40.
Nous avons vu ci-deffus comment on transforme
les axes,» 8cy d’une courbe par les équations x —A ?
+ B u + C , yz=. D £ + E u + F ; c’efl-Ià la transformation
la plus générale , ôc fi on veut faire des
transformations plus fimples, on n’a qu’à fuppofer
un des coefficïens A , B , C , D t &c. ou plufieurs
égaux à zéro , pourvu qu’on ne fuppofe pas, par
exemple > A 8i B enfemble égaux à zéro, ni D ôc ^