gnes de x & d ey , elle demeure abfolument la même
; donc cette équation ne doit contenir que des
Duiflances ou des dimenfions impaires de x & dey ,
fans terme confiant, ou des puiffances & des dimenfions
paires de x tk de y , avec ou fans terme conf-
tant. Car dans le premier cas, tous les lignes changeront,
en faifant x &c y négatives, ce qui eft la
même chofe que fi aucun ligne ne changeoit ; & dans
le fécond cas aucun ligne ne changera. Voulez-vous
donc favoir fi une courbe a un centre ? L’équation
étant ordonnée par rapport à x & k y , imaginez que
l ’origine foit tranfportée dans ce centre, enforte que
l ’on ait x + a = { , y -f- b — u; & déterminez a & b
■ à être telles, qu’il ne relie plus dans la transformée
que des dimenfions paires, ou des dimenfions impaires
fans terme confiant ; fi la courbe a un centre pof-
fible, vous trouverez pour a & b des valeurs réelles.
Dans l’extrait du livre de M. l’abbé de Gua,
journal des Savans, Mai 2y 40 , extrait dont je fuis
l ’auteur, on a remarqué que l’énoncé de la méthode
de cet habile géomètre pour déterminer les centres,
étoit un peu trop générale.
Nous ne nous étendrons pas ici fur les maniérés
de déterminer les différentes branches des courbes ;
nous renvoyerons fur ce fujet au livre de M. Cramer,
qui a pour titre , introduction à l'analyfe des lignes
courbes. Nous dirons feulement ici que ce problème
dépend de la connoiffance des fériés & de la
réglé du parallélogramme, dont nous parlerons en
leur lieu. Voye^Parallélogramme, Sérié, &c.
■ Divifion des courbes en dijférens ordres. Nous avons
vu à l'article Conique , comment l’équation générale
des ferions coniques ou lignes du fécond ordre
donne trois courbes différentes. F'oye^ le troifieme vol.
p . 8y8 , col. ite; nous remarquerons feulement ic i,
i° qu’il faut — D u u au lieu d e D u u J c’eft une
faute d’imprelfion : z° que lorfque D eft négatif, &
par conféquent — D u u pofitif, alors l’équation primitive
& générale y y + p x y + b x x -\-qy-\- c x
-f- a = o eft telle que la portion y y + p x y -J-
b x x a fes deux fadeurs imaginaires, c ’eft-à-dire
que cette portion y y + p x y - f b x x fuppofée égale
à zéro, ne donneroit aucune racine réelle. On peut
aifément s’en affûrer par le calcul ; car en ce cas on
trouvera ?-j- < b , & la quantité A dans la transformée
1 1 + A x x + B x + C = o fera pofitive, &
par conféquent — D pofitive : 30 dans l ’équationn
— D u u + F u - \ -G z= o , on peut réduire les trois
termes — D uu-\-Fu-\-Gk deux -f- K 1 1 + H , lorfque
D n’eft pas = o , par la même méthode qu’on
employé pour faire évanouir le fécond terme d’une
équation du fécond degré ; c’eft-à-dire en faifant
u ----= t , & alors l’équation fera ç £ -f- K e t -|-
H — o ; équation à l’ellipfe , fi K eft pofitif; & à
l ’hyperbole, fi K eft négatif : 40 fi D — o , en ce cas
on fera F u -{- G — k t , & l’équation fera ç { -f- k t
— o , qui eft à la parabole : 50 dans le cas où D = 0 ,
ÿ y x y b x x z f e s deux fadeurs égaux ; &
dans le cas oit D eft pofitif, c’eft-à-dire oit — D u u
eft négatif, y y + p x y -f- b x x a fes deux fadeurs
réels & inégaux, & l’équation appartient à l’hyper-
"bole, car en ce cas > b, & A eft négative.
-Voye[ fur cela, fi vous le jugez à propos, le fep-
tieme livre des fedions coniques de M. de l’Hôpital,
qui traite des lieux géométriques ; vous y verrez
■ comment l’équation générale des fedions coniques
fie transforme en équation à la parabole, à l’ellipfe
•ou à l’hyperbole, fuivant que y y -{■ p x y -p b x x
eft un quarré, ou une quantité compofée de fadeurs
■ imaginaires, ou de fadeurs réels inégaux. Paffons
maintenant aux lignes du troifieme ordre ou courbes
du fécond genre.
-Réduction Ats courbes du fécond genre, M. Newton
réduit toutes les courbes du fécond genre à quatre
efpeces principales repréfentées par quatre équations.
Dans la première, le rapport des ordonnées
y aux abfciffesx, eft repréfenté par l’équation x y y
e y ■ =. a x 3 b x x c x d ; dans la fécondé ,
l’équation a cette formé x y = a x 3 -f- b x x -j- c x
- f d ; dans la troifieme, l’équation e û y y = a x 3 - f
b x 2 -j- c x -{■ d : enfin la quatrième a pour équation
y = æ x 3 + - b x 2 + c x -f- d.
Pour arriver à ces quatre équations , il faut d’abord
prendre l’équation générale la plus compofée
des lignes du troifieme ordre, & l’écrire ainfi:
V ■ »+■ *{.»* + eu3
+ / ; • ; + . ? ! “ + * « « I
On remarquera que le plus haut rang çî
+ c u -f- c u3 étant du troifieme degré , il aura au
moins un fadeur réel ; lès deux autres étant, ou
égaux entr’eux & inégaux au premier fadeur, ou
reels & inégaux, tant entr’eux qu’avec le premier
fadeur, ou imaginaires, ou enfin égaux au premier.
Soit £ -f- A u ce fadeur réel, & faifons d’abord ab-
ftradion du cas où les trois fadeurs font égaux ;
foit fuppofé 1 ff- A u — t ; on aura une transformée
qui contiendra t3, t2 , t , t u u , u t t , t u , u u & u 9
avec un terme confiant ; or on fera d’abord difpa-
roître le terme u u , en fuppofant t -f- F ■ szf; enfuite
en faifant u = N f p + les grandes lettres dé-
fignent ici des coefficiens), on fera difparoître les termes
u t t & u t , & il ne reliera plus que des termes
qui repréfenteront la première équation x y y -f- ey
= a x 3 -\--b x x -{- e x -J- d = o.
En fécond lieu, fi les trois fadeurs du plus haut
rang font égaux, on n’aura dans l’équation transformée,
en faifant £ -|-Au — t , que les termes t3,
t2-, t , u , t u, u u, èc un terme confiant. O r on peut
faire difparoître les termes t u &c u , en fuppofant
u -\- R t -{■ K = f , & l’on aura une équation de la
forme y y — a x 3-\-bx2 -\-cx-\-d. T roifieme forme
de M. Newton. Nous remarquerons même que cette
équation pourroit encore le Amplifier ; car en fuppofant
x = R -J- q f on feroit évanoiiir les termes
b x x ou d, & quelquefois le terme c x.
30. Si les trois fadeurs du premier rang font
égaux, & que de plus un de ces fadeurs foit aulîi
fadeur du fécond -rang f n - { -g ^ u -{- h u u , alors la
transformée aura des termes de cette forme t3, t ,
t u , t t , u , & un terme confiant. Or faifant t -f- R
= q , on fera difparoître le terme u , & on aura une
équation de cette forme x y = a x 3 b x 2 e x
-J- d. Seconde forme de M. Newton. Cependant on
pourroit encore Amplifier cette équation, & faire
difparoître les deux termes b x 2 - { - e x , en fuppofant
x =z Q p , &cy = Np -j- R 1 -f- M.
40. Enfin fi les trois fadeurs du premier rang
étant égaux, ceux du fécond font les mêmes, l’équation
alors n’aura que des termes de cette forme rî,
1 1 , u & t , -avec un terme confiant, & elle fera de
la quatrième forme de M. Newton, y = a x3 -\-bx2
-f- c x -f- d, de laquelle on peut encore faire difparoître
les termes b x 2 e x -\ -d , en fuppofant x =/>
+ / Î, y N x -{• Q = En ce cas l’équation fera
dé la formey — A x3 , &repréfentera la première
parabole cubique. Voy; les ufages de l'analyfe de Def-
cartes , par M. l’abbé de Gua, page 4 J y & fuiv.
On voit par ce détail fur quoi eft fondée la divi-
fion générale des lignes du troifieme ordre qu’a donné
M. Newton ; on voit de plus que les équations
qu’il a données auroient pû encore recevoir toutes
une forme plus fimple, à l’exception de la première.
Enumération des courbes du fécond genre. L’auteur
fubdivjfe enfuite çes quatre efpeces principales en
un
un grand nombre d’autres particulières, à qui il donne
aifférens noms.
Le premier cas qui eft celui d e x y y + e x = a x 3
4- b x 2 + c x + d = o , eft celui qui donne le plus
grand nombre de fubdivifions ; les trois fubdivifions
principales font que les deux autres racines du plus
haut rang foient ou réelles & inégales, ou imaginaires,
ou réelles & égales ; & chacime de ces fubdivifions
en produit encore d’autres. V?ye^ l'ouvrage de
M. l ’abbé de Gua, page 440. & fuiv.
Lorfqu’une hyperbole eft toute entière au-dedans
de fes afymptotes comme l’hyperbole conique, M.
Newton l’appelle hyperbole inferite : lorfqu’elle coupé
chacune de fes afymptotes, pour .venir fe placer extérieurement
par rapport à chacune des parties coupées,
il la nomme hyperbole circonfcrite ; enfin lorfqu’une
de fes branches eft inferite à fon afymptote,
& l’autre circonfcrite à la fienne, il l’appelle hyperbole
ambigene: celle dont les branches tendent du
même côté, il la nomme hyperbole convergente : celle
dont les branches ont des direêlions contraires, hyperbole
divergente : celle dont les branches tournent
leur convexité de différens côtés, hyperbole à branches
contraires : celle qui a un fommet concave vers l’a-
fymptote, & des branches divergentes , hyperbole
conchoidale : celle qui coupe fon afymptote avec des
points d’inflexion, & qui s’étend vers deux côtés op-
pofés, hyperbole anguinée ou ferpentante : celle qui
coupe la branche conjuguée, cruciforme : celle qui
retourne fur elle-même & fe coupe, hyperbole à noeud:
celle dont les deux parties concourent en un angle de
contaél & s’y terminent, hyperbole à pointe ou à re-
brouffement : celle dont la conjuguée eft une ovale
infiniment petite , c’eft-à-dire un point, hyperbole
pointée ou à point conjugué : celle qui par l’impofli-
bilité de deux racines n’a ni ovale, ni point conjugué
, ni point de rebrouffement, hyperbole pure; l’auteur
fe fert dans le même fens des dénominations de
parabole convergente, divergente, cruciforme,.Suc. Lorfque
le nombre des branches hyperboliques furpaffe
celui des branches de l’hyperbole conique, il appelle
l’hyperbole redundante.
M. Newton compte jufqu’à foixante-douze efpeces
inférieures de courbe du fécond genre: de ces
courbes il y en a neuf qui font des hyperboles redun-
dantes fans diamètre , dont les trois afymptotes forment
un triangle. De ces hyperboles, la première
en renferme trois, une inferite, une circonfcrite,
& une ambigene, avec une ovale ; la fécondé eft à
noeud, la troifieme à pointe, la quatrième pointée,
la cinquième & la fixieme pures, la.feptieme & la huitième
cruciformes, la neuvième anguinée.
Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui
n’ont qu’un diamètre : la première a une ovale, la
fécondé eft à noeud, la troifieme à pointe, la quatrième
pointée ; la cinquième, fixieme, feptieme &
huitième, pures ; la neuvième & la dixième cruciformes
, la onzième & la douzième conchoïdales. II y
a deux hyperboles redundantes qui ont trois diamètres.
Il y a encore neuf hyperboles redundantes, dont
les trois afymptotes convergent en un point commun
: la première eft formée de la cinquième & de
la fixieme hyperbole redundantes, dont les afymptotes
renferment un triangle ; la fécondé de la feptieme
& de la huitième, la troifieme & la quatrième
de la neuvième ; la cinquième eft formée de la huitième
& de la feptieme des hyperboles redundantes,
qui n’ont qu’un diamètre ; la fixieme de la fixieme &
de la feptieme, la feptieme de la huitième & de la
neuvième, la huitième de la dixième & de la onzième
, la neuvième de la douzième & de la treizième.
Tous ces changemens fe font en réduifant en un
point le triangle compris par les afymptotes,
T om c lK
Il y a encore fix hyperboles défeflives fans diamètre
: la première a une ovale, la fécondé eft à noeud,
la troifieme à pointe, la quatrième pointée, la cinquième
pure, &c.
Il y a fept hyperboles défeélives qui ont des diamètres
: la première & la fécondé font conchoïdales
avec une ovale, la troifieme eft à noeud, la quatrième
à pointe : c’eft la ciffoïde des anciens ; la cinquie-î
me & la fixieme font pointées, la feptieme pure.
Il y a fept hyperboles paraboliques qui ont des
diamètres : la première ovale, la fécondé à noeud ,
la troifieme à pointe, la quatrième pointée , la cinquième
pure, la fixieme cruciforme, la feptieme anguinée.
Il y a quatre hyperboles paraboliques, quatre hy-
perbolifmes de l’hyperbole, trois hyperbolifmes de
l’ellipfe, deux hyperbolifmes de la parabole.
Outre le trident, il y a encore cinq paraboles divergentes
: la première a une ovale, la fécondé eft à noeud, la troifieme pointée ; la quatrième eft à pointe
(cette derniere eft la parabole de Neil, appellée
communément fécondé parabole cubique ) ; la cinquième
eft pure. Enfin il y a une derniere courbe appellée
communément première parabole cubique. Remarquons
ici que M. Stirling a déjà fait voir que M.
Newton dans fon énumération avoit oublié quatre
efpeces particulières, ce qui fait monter le nombre
des courbes du fécond genre jufqu’à foixante-feize ,
& que M. l’abbé de Gua y en a encore ajoûté deux
autres, obfervant de plus que la divifion des lignes
du troifieme ordre en eipcces pourroit être beaucoup
plus nombreufe, fi on aflignoit à ces différentes
efpeces des caraâeres diftinéfifs, autres que ceux
que M. Newton leur donne.
On peut voir dans l’ouvrage de M. Newton, &
dans l’endroit cité du livre de M. l’abbé de Gua ,
ainfi que dans M. Stirling, les fubdivifions détaillées
des courbes du troifieme ordre, qu’il feroit trop long &
inutile de donner dans un Diélionnaire. Mais nous
ne pouvons nous difjîenfer de remarquer que les
principes fur lefquels ces divifions font fondées, font
affez arbitraires ; & qu’en fuivant un autre plan ,
on pourroit former d’autres divifions des lignes du
troifieme ordre. On pourroit, par exemple, comme
MM. Euler & Cramer, diftinguer d’abord quatre cas
généraux : celui où le plus haut rang n’a qu’une racine
réelle, celui où elles font toutes trois réelles
& inégales, celui où deux font égales, celui oîi trois
font égales, & fubdivifer enfuite ces cas. Cette divifion
générale paroît d’autant plus jufte & plus naturelle
, qu’elle feroit parfaitement analogue à celle
des lignes du fécond ordre ou feélions coniques, dans
laquèlle on trouve l’ellipfe pour le cas où le plus
haut rang a fes deux raelhes imaginaires ; l’hyperbole
, pour le cas où le plus haut rang a fes racines
réelles & inégales, & la parabole pour le cas où elles
font égales. Au refte il faut encore remarquer
que toutes les fubdivifions de ces quatre cas, & même
la divifion générale , auront toujours de l’arbitraire.
Cela fe yoit même dans la divifion des lignes
du fécond ordre. Car on pourroit à la rigueur,
par exemple, regarder la parabole comme une ef-
pece d’ellipfe dont l’axe eft infini (yoy. Parabole) ,
& ne faire que deux divifions pour les feélions coniques
; & on pourroit même n’en faire qu’une, en
regardant l’hyperbole comme une ellipfe, telle que
dans l’équation y y=xaa—x x , lé quarré de l’abfcifle
ait le ligne+ . Il femble qu’en Géométrie comme
enPhyfique, la divifion en genres & en efpeces ait
toujours néceffairement quelque chofe d’arbitraire ;
c’eft que dans l’une & dans l ’autre il n’y a réellement
que des individus, & que les genres n’exiftent
que par abftra&ion de l’efprit.
M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans
C c c