pufculc s*eft trouvé quelquefois durer trois heures
quatre minutes, & celui du foir prefque lu moitié de
la nuit. Voye^ injl. afiron. de M. le Meunier*
-De tout ce que nous avons dit, il s’enfuit que le
ëonuncnceinent du crépufcule du matin ou la fin de
celui du foir étant donnés, on trouvera facilement
l'élévation de l’ air qui réfléchit la lumière. Car la
fin du crépufcule arrive lorfque les rayons S D ( fig-.
41.') qui partent du foleil, rafent la terre 8cfe réfléchirent
vers l’oe il de l’obfervateur par les parties
les plus élevées A de l’atmofphere ; deforte que menant
du point O un rayon O A tangent de la terre,
qui foit réfléchi en A D , & qui rafe la terre en D ,
il faut que la hauteur.^ N de Tatmofphere foit telle,
que ce rayon A D faffe avec l’horifon A B un
angle de 18 degrés ; parce que le crépufcule commence
ou finit, lorfque le foleil eft à 18 degrés au-defTous
de l’horifon, M. de la Hire a fait ce calcul dans les
mémoires de l’académie des Sciences de Paris pour
l’année 1713, en ayant égard à quelques autres cir-
£onftances dont nous ne faifons point mention ic i,
& qu’on peut voir dans fon mémoire 8c dans les injl,
ajlron, page 403 ; il a trouvé la hauteur A N de l’at-
mofphere d’environ 15 j- lieues.
Dans la fphere droite, c’eft-à-dire pour les habi-
tans de' l’équateur, les crépufcules font plus courts
que par-tout ailleurs, parce que le foleil defcend
perpendiculairement au-deffous de l’horifon, & que
par conféquent il eft moins de tems à s’abaiffer fous
l’horifon de la valeur de 18 degrés. Plus on s’éloigne
de l’équateur,plus les crépufcules font longs ; 8c enfin
proche des pôles ils doivent être de plulieurs mois.
Il y a pour chaque endroit du monde un jour
dans l’année où le crépufcule eft le plus court qu’il
eft poflible. On trouve dans Vanalyje des infiniment
petits à la fin de la troifieme feûion un problème où
il s’agit de trouver ce jour du plus petit crépufcule,
l’élévation du pôle étant donnée. On trouve aufli
une folution de la même queftion dans les injl. afir.
de M. le Monmer ypage 40p. Ce problème eft rélolu
très-élégamment dans les deux ouvrages, 8c ne préfente
aucune difficulté confidérable ; cependant M.
Jean Bernoulli dit dans le recueil de fes oeuvres,
tome I. page 64. qu’il en a été occupé cinq ans fans
en pouvoir venir à bout. Cela vient apparemment
de ce qu’il avoit d’abord réfolu le problème analytiquement
, au lieu d’employer l’efpece de fynthèfe
qu’on trouve dans Yanalyfe des infiniment petits &
dans les injl. afiron. fynthèfe qui rend la folution bien
plus fimple. En effet, fi on réfoud ce problème analytiquement
, on tombe dans une équation du quatrième
degré, dont il faut d’abord trouver les quatre
racines, & enfuite déterminer celle ou celles de ces
racines qui réfolvent la queftion. Comme cette matière
n a été traitée dans aucun ouvrage que je fâche
avec affez de détail, je vais la développer ici
fuivant le plan que je me fuis fait d’éclaircir dans
l’Encyclopédie ce qu’on ne trouve point fuffifam-
ment expliqué ailleurs.
Soit (fig. 41. n°. 2. afiron.) P le pôle, Z le zénith
, H O l’horifon, E C le rayon de l’équateur, E e
la déclinaifon cherchée du foleil le jour du plus petit
crépufcule ; h 0 le cercle crépufculaire parallèle à
l’horifon, lequel cercle eft abailfé au-deffous de l’ho-
rifon de 18 degrés, fuivant les obfervations. Soit
l’inconnue C c finus de la déclinaifon du foleil = s ,
& foient les données C Z = 1 , C Q finus de 18 degrés
= à , P N finus de la hauteur du pôle = h, on
trouvera c T = ; 7 . S & par coiir
féquent i t e ; or e t ou \ / i—j e t a n t prife
pour finus total, c S eft le finus de l’angle horaire
depuis le moment de fisc heures jufqu’à la fin du trépufculc
y c T le finus de l’artgle horaire deptiis le
moment de fix heures jufqu’à l’inftant où le foleil
atteint l’horifon. Donc A l^ -L— . eft le finus y j ^ h h . VY~~s s
du premier angle , & _ .* t ......— eft le finus y \ — h h. V x -s s
du zd ; or la différence de ces deux angles eft proportionnelle
au tems du crépufcule. Donc nommant
le premier finus u , & le fécond u\ on __
—J ' 7 = = - = un minimum, 8c par conféquent
du’ H H
!= » fubftituant pour u St. u1 leurs valeurs,
en ne faifant varier que s, on parviendra à une équation
de cette forme— — ______ __ ~ h V l—ss — hh — ih sk —kk V l-ss-h h
= O ; c’e ft-à - dire *4 — 5 s + s s h h -
Cette équation peut être regardée comme le produit
de ces deux-ci s s — i zzo ; s s — -f. h h
= o ( Hoye^ E q u a t i o n ) ; d’où l’on tire les quatre
valeurs fuivantes de .î j = i , $ = — =
\' Ak Jkr -hh — _ kh kh ^pzT T k k k •
Or de ces quatre valeurs > il eft d’abord évident
qu’il faut rejetter les deux premières; car l’une donneront
la déclinaifon boréale du foleil = i , l’autre
la déclinaifon auftrale = i , & cela ne fe peut pour
deux raifons : i ° parce que la déclinaifon du foleil
n’eft jamais égale à 90 degrés : 20 parce que j = 1,
donneroit les finus des deux angles horaires égaux
à l’infini, comme il eft aifé de le voir : ce qui ne fe
peut ; car tout finus reel d’un angle réel ne fauroit
être plus grand que l’unité. Il ne refte donc que les
deux valeurs — h~ l' i/'~ kk & _ 1i f f jE U F J’exa-
^ k *
mine d’abord la fécondé de ces deux valeurs, & je
vois qu’elle eft négative, ce qui indique que la déclinaifon
donnée par cette valeur eft auftrale 8c non
boréale, comme nous l’avons fuppofé dans la folution.
D ’ailleurs il faut que kk foit plus petit que
le finus total, & jamais plus grand que le finus e de
23d l , qui eft la plus grande déclinaifon du foleil;
ce qui donneA-f hy/i — k k< Z o u= k e , &parconféquent
h = ou < j—~ = = ; de plus fi on cherche la
tangente de la moitié de l’angle dont le finus eft k ,
c’eft-à-dire de la moitié de l’arc crépufculaire de 18
degrés, & par conféquent la tangente de neuf degrés,
en trouvera que cette tangente eft
k
car i° la tangente de l’angle dont le finus eft k f eft
j k (?°YCK. T a n g e n t e ) ; 20 fi on divife cet angle
en deux parties égales, & qu’on nomme x la
tangente de la moitié de l’angle, on aura cette proportion
x : —.pr— — x : : 1 : ; car on fait que
dans un triangle dont l’angle du fommet eft divi-
fé en deux parties égales , les parties de la bafe
font comme les côtés adiacens. Donc x = — —— -
donc au lieu de s = — h **) on Peut mettre
s = — j ; donc on dira, comme la tangente x
de neuf degrés eft au finus de l’élévation du pole,
ainfi le finus total eft au finus de la déclinaifon auftrale.
Il faut donc ptmr que s foit = - , que l’élévation
du pole foit très-petite, puifque. x eft déjà
une
une qüantité très-petite, & que h- ne fauroii: être >
« ; ainfi cette racine s — — - ne fervira de rien dans
lés cas où -E ^ fera > e. Nous verrons dans la fuite
ce qu’elle indique lorfque - eft < e.
A l’égard de l’autre valeur s = — h ~h ^ 1 ' kk
elle eft évidemment négative auffi, puifqüe 1 eft >
» ce qui donne encore la déclinaifon du foleil
auftrale ; & comme on a 1— ~ ~ — r r
(ce qu’il eft aifé de voir en multipliant en croix les
deux membres ) il s’enfuit que cette fécondé valeur
^l 3C* donc on dira, comme le rayon eft à la
tangeiite de neuf degrés, ainfi le finüs dé la hauteur
du pôle eft à la déclinaifon auftrale cherchée : «c’eft
l’analogie que M. Jean Bernoulli &c M. de l’Hôpital
ont donnée pour la folution de ce problème ; & la
racine s x réfout par conféquent la queftion,
pàrce que A x eft toujours plus petit que e; car la
tangente x de 9 degrés eft plus petite que le finus e
de 23d {. Mais l’autre racine s =z — h- réfout - elle
auffi le problème ? Voilà où eft la difficulté;
Pcrtir la réfoudre ; nous n’avons qu’à fuppofer
dans la folution primitive que la déclinaifon foit
auftrale au lieu d’êtré boréale, & faire le calcul
comme deftus , nous trouverons -------- -
— * f . v 'ïZ - h l
pour le finus d’yn des angles horaires. & hs yi~s7.^ihh
pour l’autre ; nous verrons de plus que c’eft alors la
fomme de ces angles, & non leur différence, qui
ëft le tems du crèpujcüle, comme il eft aifé de le prouver
en confidérant la figuré, lë point e fë trouvant
de.l autre cote de E j car le point c le trouvera alors
entre les points T &i S , 8c T S fera égale non à la
différence, mais à" la fomme dé c S & dé c T. Achevant
donc le calcul j on trouvera une équation qui
ne différera de l’équation du quatrième degré en s
trouvée^ci-deffus, que par les fignes des termes impairs,
c’eft-à-dire des termes où font s3 & 5. Cette
équation fera le produit de s s — 1 par s s — lAi
h h , St l’on aura deux valeurs pofitives de j , fa voir
s f°nt deux valeurs de s , lorR
que la quantité du quatrième degré s4 — l i f i
eft fuppofee = o. Cela pofé, on peut regarder cette
quantité comme le produit de 1 — s s pofitive par
î l l -— A h — s s-;- & lorfque s* — î ^ - + &c. fera
> 0, Oh aura ~ h h — s s > o ,& r r + h ’f c—
^ < o , & par conféquent s 4^- < h ^ 1 — h k ^
S<. f i r ^ Donc 5 < >
iZ Ü ^ C Î i. Donc la quantité r4 _ ÿ.c, 0 dbn.
nerar> î + f e l i ; & r < iz îZ Z E ïF , Or la
quantité = a , vient de ( t l — h )
i / i—A s^h h = + h y 'i—styrh k + ïh k s ^ k k i «n
fuppofant la fomme ou la différence des deux angles
horaires égale à un minimum ; la fomme pour le cas
de — h, & la différence pour le eâSde + h ; donc la
quantité s . - îb p c ou r4 q. ? j C Oc. > 0 >
Viendra '( en fuppofant s k — h pofitive') de
V \ - s s -h ,h> ; fcy j;_ A s - h h + i h k s - k k ; or
pour que s k ~ h fort pofitive dans cette condition,
1 ornedr% 9
il faut prendre *> £ + h ; donc fi s > |
v t~ o .
^— , on a la différence des deux angles horaires
pofitive : je dis la différence, & non la fomme ; car
fi c etoit la fomme, il faudrbit que h dans le fécond
membreeut le figne - ; donc la valeur de j =
+ h 1 ^ kk. donne, non la fômme des deux arcs égale
à lin minimum mais leur différence égale à un mi-
nimumjjedisj. un minimum ; car prenant s plus grand
q u e ---- __L k. t , là différence fe trouve pofitive. H,
Min im u m . Donc là valeur de ^ + ne
réfoud pas le prol^ème du plus court crépufcule ■
mats un autre problème j qui n’eft ni celui dit plus
court ni ce ul du plus long crépufcule, Sc qui néanmoins
fe réduit finalement à la même équation dti
quatrième degre ; parce que les quantités étant éle-
yees au quarré, la différence des fignes difparoît.
Ceci ne furprendra point les algébriftes qui favent
que fouvent.une équation donne par fes différentes
racines non-feulement la folution du problème qu’ort
s eft propofe, mais la folution d’autres problèmes
qui ont rapport à celui-là, fans être le même. Plue
fieurs équations très-différentes, lorfque l’on n’a pas
ote les fignes radicaux, deviennent la même lorfe
qu on les ôté. Hoÿeç Eq uation.
Enfin, fi on fuppofe s4 — ^ o, St s >'
h - h l/l—ki. ■ — —------ -, on trouvera que ces conditions donnent
+ ^ H & P " , “ “ féquent ( à caufe
epie h — s k eft ici pbfitif 5 ( h - sk)
h '/ r - * $ r h h + ih s k - k k & h y 'T - s s -h h ^ H k :
> o >• dbhc la diffé-
rence de la lomme des deux arcs eû=x o , lorfque
s — — » & éft pofitive; lorfqüe- s éft plus
grandi Donç cette fomme eft un véritable minimum,
lorlque s = ----- J— & par conféquent cette valeur
de S. eft là feule qui réfolve véritabiément le
problème du plus court crépufciilc i je dis du plus
cou rt.p nqu pas du p^lo/ tg.tQ ar l’équation du
plus lbng crépufcule feroit la même que celle du plus
court, én Faifant la différence=o; pae£è que la rec
gle pour les maximn & pour les minima eft la même t
. ainfi il pduvoit encore refter ici de Féquivoquet
mais «11« eft levée entièrement,.lorfque l’bii confie
dere q u e . r -_*t donne la différence
p o fitive,: ce qui indique le minimum. Si la différence
etoit négative , alors le tems du crépufcule feroit
un maximum. Mais, dira-1-o n , quel fera le jour
du plus long crépufcule ? Car il y en aura uft. Je ré-
P0I?Asr cIue P^l(IS I°ng crépufcule ne fe trouvé pas
en faifant la différence de la fômme des arcs égale à
zéro, mais en prenant le crépufcule du jour de la plus
grande déclinaifon boréale du foleil, & celiii du joui-
de la plus grande déclinaifon auftralè, & en cherchant
lequel dé ces deux crépufcules eft le plüs grand*
Car il n’y a qu’un feul crépùfcule qui foit le pltis court,
puifqu’il n’y a qu’une valeur de s pouf le plus court
crépufcule; donc C’eft un des deux crépufcules extrêmes
qui éft le plus long; V. fur toüt celâ les art. M a ximum
8c M in iM um y où nous ferons plufieurs remarques
fur les quantités plus grandes &pluS petites.
M. de Maupertuis dans la première édition de fon
Aftronomie nautique, s’eft propôfé la même quéf-
tion que nous venons de difeuter ; il l’a réfolue en
ttès-grande partie, & nous devons ici lui en faire
honneurcependant il y reftoit encore quelque chofe
M m m