*5> 3°> 7> M> 2 1>42> 35>7°> io ? , 110, que l’on
multipliera chacun par n pour avoir 1 1 , 22, 33 ,
6 6 ,5 5 , n o , 1 6 5 ,3 3 0 ,7 7 ,1 5 4 , 2 3^ 4 6 2 ,38 5 ,
770, 1155» 2,310 , lefquels joints aux 16 précédens
donneront les 31 divifeurs 1 , 1 , 3 , 6 , 5 , 1 0 , 1 5 ,
30, 7 , 1 4 , i l , 4 1 ,3 5 ,7 0 , 1 0 5 , 1 1 0 , 1 1 , 1 1 ,3 3 ,
6 6, 5 5 ,1 10 , 1 6 5 ,3 3 0 ,7 7 , 1 5 4 ,1 3 1 ,4 6 1 ,3 8 5 ,
•7 70 ,1 15 5 ,13 10 du nombre 13 10, & il n’en aura
pas davantage. Voys% la fcience du calcul par Charles
Reyneau, ou les leçons de Mathématiques par M.
l ’abbé de Molieres. (2£)
La réglé pour trouver les communs divifeurs fe
trouve démontrée dans plufieurs ouvrages par différentes
méthodes. En voici la raifon en peu de mots.
Qu’eft-ce que trouver le plus grand commun divi-
feur, par exemple de 387 & 54? c’eft trouver la plus
petite expreflîon de Il faut donc d’abord cüvi-
ler 3 87 par 54, je trouve que le quotient eft un nombre
entier -f- il faut donc trouver le plus grand
commun divifeur de 9 & de 54, ou réduire cette fra-
élion à fa plus fimple expreflîon ; donc ce plus grand
divifeur eft 9. On fera le même raifonnement fur les
exemples plus compofés ; & l’on verra toujours que
trouver le plus grand commun divifeur, fe réduit à
trouver la plus petite expreflîon d’une fra&ion ;
c’eft-à-dire une ffattion dont le numérateur & le dénominateur
foient les plus petits qu’il eft poflible.
On peut auflî employer fouvent une méthode
abrégée pour trouver le plus grand commun divifeur.
Je fuppofe qu’on ait, par exemple, à trouver
le plus grand commun divifeur de 176 & de 77, je remarque
en prenant tous les divifeurs de 176, que
176 =•’ 2 X 88 = 2 X 2 x 2 x 2 x 1 1 , & que 77 =
7 X 11 ; donc 11 eft le plus ^rand commun divifeur y
& ainfi des autres. En général foient a , b-, c , tous
les divifeurs Amples ou premiers d’un nombre al b- c,
& c , by fy tous ceux d’un nombre b4 c1- f i , on aura
pour divifeur commun b1 c.
Deux nombres premiers (voyeç Nombre premier)
ou deux nombres, dont l’un eft premier, ne
fauroient avoir de commun divifeur plus grand que
l’unité : cela eft évident par la définition des nombres
premiers, & par la réglé des communs divifeurs.
Donc une fraClion compofée de deux nombres
premiers % » eft réduite à fa plus Ample expreflîon.
Donc le produit a c de de.ux nombres premiers dif-
férens .de b ne peur fe divifer exa&ement par b ; car
fi on a voit = m , on auroit ^ — ^ ce qui ne fe
peut. En effet il faudroit pour cela que b & c euffent
un commun divifeur, ce qui eft contre l’hypothèfe.
On prouvera de même que ne fauroit fe réduire
; car on auroit = g ayant un divifeur commun
avec b ; on prouvera de même encore que
d étant un nombre premier, ne fauroit fe réduire:
car on auroit ^ d o n c b d produit de deux
nombres premiers, feroit égal au produit de deux
autres nombres g , h , &c par conféquent on auroit
j = 2 , quoique b d’une part & d de l’autre, foient
des nombrès premiers : ce qui ne fe peut ; car on
vient de voir que toute fraCtion, dont un des termes
eft un nombre premier, eft réduite à la plus Ample
expreflîon. On prouvera de même que , c étant
nombre premier, ne peut fe réduire ; & en général
qu’un produit de nombres premiers quelconques,
éivifé par ûn produit d’autres nombres premiers
quelconcfftes, ne peut fe réduire à une expreflîon
plus Ample. Vyyeç Us confèquences de cettepropofîtion
aux mots Fraction & Incommensurable.
A l’égard de la méthode par laquelle on trouve le
plus grand divifeur commun de deux quantités algébriques
, elle eft la même pour le fond que celle par
laquelle on trouve le plus grand divifeur commun de
deux nombres. On la trouvera expliquée dans l’ana-
lyfe démontrés & dans la fcience du calcul du P. Reyneau.
Elle eft utile fur-rtout pour réduire différentes
équations à une feule inconnue. Voyeç E v a n o u i s s
e m e n t d e s In c o n n u e s . ( O )
* D i v i s e u r , ( Hifi. anc. ) gens qui fe chargeoient
dans les élections de corrompre les tribus & d’acheter
les fuffrages. Le mépris public étoit la feule punition
qu’ils euffent à fupporter.
DIVISIBILITÉ, ( Géom. & Phyf') e ft en g é n é r a l
le p o u v o ir paflif, o u la p ro p r ié té q u ’a u n e q u an t ité
d e p o u v o ir ê tr e fép a ré e en diffé rente s p a r t ie s , fo i t
a& u e lle s , fo i t m en ta le s. V. Q u a n t i t é g * M a t i è r e .
Les Péripatéticiens & les Cartéftens foûtiennent
en général que la divijîbilité eft une affeftion ou propriété
de toute matière ou de tout corps : les Carté-
fiens adoptent ce fentiment, parce qu’ils prétendent
que l’effence de la matière conftfte dans l’étendue ,
d’autant que toute partie ou corpufcule d’un corps
étant étendue à des parties qui renferment d’autres
parties , & eft par conféquent diviftble.
Les Epicuriens difent que la divijîbilité eft propre
à toute continuité phyftque , parce qu’oti il n’y a
point de parties adjacentes à d’autres parties , il ne
peut y avoir de continuité, & que par-tout où il y a
des parties adjacentes , il èft néceffaire qu’il y ait
de la divifibilité ; mais ils n’accordent point cette propriété
à tous fes corps , parce qu’ils foûtiennent que
les corpufcules primitifs ou les atomes font abfolu-
ment indiviftbles. Voye[ A t o m e . Leur plus grand
argument eft que de la divijîbilité de tout corps ou
de toute partie aflïgnable d’un corps , même après
toutes diviftons faites , il réfulte que les plus petits
corpufcules font divifibles à l’infini , ce qui e ft , félon
eux, une abfurdité, parce qu’un corps ne peut
être divifé que dans les parties aCluelIes dont il eft
compofé. Mais fuppofer, difent-ils , des parties à
l’infini dans le corps le. plus petit, c’eft fuppofer une
étendue infinie : car des parties ne pouvant être réunies
à l’infini à d’autres parties extérieures, comme
le font fans doute les parties qui compofent les corps ,
il faudroit néceffairement admettre une étendue in-,
finie. Foyt{ In f in i ; k
Ils ajoutent qu’il y a une différence extrême entra
la divijîbilité des quantités phyfiques & la divifibilité
des quantités mathématiques : ils accordent que toute
quantité, ou dimenfion mathématique , peut être
augmentée ou diminuée à l’infini ; mais la quantité
phyfique, félon eux, ne peut être ni augmentée, ni
diminuée à l’infini.
Un artifte qui divife un corps continu parvient à
certaines petites parties, au-delà defquelles il ne peut
plus aller ; c’eft ce qu’on appelle minima partis. De
même, la nature qui peut commencer où l’art finit,
trouvera des bornes que l’on appelle minima natures ;
& Dieu , dont le pouvoir eft infini, commençant
où la nature finit, peut fubdivifer ce minima natures
\ mais à force de fubdivifer, il arrivera juf-
qu’à ces parties qui n’ayant aucunes parties continues
, ne peuvent plus être divifées, & feront atomes.
Ainfi parlent les Epicuriens. Vàye£A t o m i s m e .
Cette queftion eft fujette à bien des difficultés :
nous allons expofer en gros les raifonnemens pour
& contre. D ’un côté, il eft certain que tout corpufcule
étendu a des parties, & eft par conféquent divi-
fible ; car s’il n’a point deux côtés , il n’eft point
étendu , & s’il n’y a point d’étendue, l’affemblage
de plufieurs corpufcules ne compoféroit point un
corps. D ’un autre côté, la divijîbilité intimé fuppofe
des parties à l’irtfini dans les corps les plus petits :
d’où il fuit qu’il n’y a point de corps, quelque petit
D I V I vqu’il
puifle être V qui n é fourni fie autant de fürfaces-
ou de parties que tout le globlé de la terre en pourrait
fournir. Voye^ Particule , &c.
La divifibilité à l’infini d’une quantité mathématU
que fe prouve de cette maniéré : fùppofez A C ,
(R/, de Géom.fig. 3 5.) perpendiculaire à B F , & une
autre ligné telle que G H à une petite diftance de
^ ,aufli perpendiculaire à la même ligne : des centres
C C C , fie c. & des diftances C A y C A , &c. décrivez
des cercles qui coupent la ligne C H aux points
e e, &c. plus le rayon A C’eft grand, plus la partie e G
eft petite;mais le rayon peut être augmenté ira infinitum
fil. par conféquent la partie e G peut être diminuée
auflî in infinitum ; cependant on ne la réduira jamais
à rien, parce que le cercle ne peut jamais devenir
coïncident avec la ligne B F ; par conféquent les
parties de toute grandeur peuvent être diminuées in
infinitum.
Les principales objeftions que l’on fait cofitre ce
fentiment font , que l’infini ne peut etre renferme
dans ce qui eft fini, & qu’il réfulte de la divifibilité
M infinitum , ou que les corps font égaux , Ou qu il
eft des infinis plus grands les uns que les autres : à
quoi l’on répond que les propriétés de ce qui elt fini,
& d’une quantité déterminée , peuvent etre attribuées
à ce qui eft fini; qu’on n’a jamais prouve qu il
ne pouvoit y avoir un nombre infini de parties infiniment
petites dans une quantité finie. On ne prétend
point iclfoûtenir la poffibilité d’une divifion actuelle
in infinitum ; on prétend feulement que quelque
petit que foit un corps, il peut encore etre divifé
en de plus petites parties ; & c’eft ce qu on a juge
à-propos d’appeller une divifion in infinitum , parce
que ce qui n’a point de bornes eft infini. Voye^ In-
FINÎ-. . • : 4V ' „ '
Il eft certain qu’il n’eft pomt .de parties d un corps
crue l’on ne puiffe regarder comme contenant d’autres
parties ; cependant la petiteffe des particules de
plufieurs corps eft telle, qu’elle furpaffe de beaucoup
notre conception ; & il y a une infinité d exemples
dans la nature de parties très - petites , féparées actuellement
l’une de l’autre. , _
M. Boÿle nous en fournit plufieurs. L or elt un
métal, dont on forme en le tirant , des fils fort
ilongs & fort fins. On dit qu’à Ausbourg , un habile
tireur d’or fit un fil de ce métal, qui avoit 800 pieds
de long, & qui pefoit un grain ; on auroit pu par
conféquent le divifer en 3600000 parties vifibles.
On fe fert tous les jours pour dorer plufieurs fortes
de corps, de feuilles d’or fort déliées, lefquelles
étant battues , peuvent être rendues extrêmement
minces; car il faut 300000 de ces petites feuilles en-
taffées les unes fur les autres pour faire i’épaiffeut
d’un pouce. Or on peut divifer une feuille d’un pouce
quarré en 600 petits fils vifibles, & chacun de
ces petits fils en 600 parties vifibles, d’où il fuit que
chaque pouce quarré eft divifible en 360000. Cinquante
pouces femblables font un grain. Donc un
grain d’or peut être divifé en 18000000 parties vifi-
bles. M.Boyle a diffout un grain de cuivre rouge dans
de l’efprit de fel ammoniac, & l’ayant enfuite mêle
avec de l’eau nette qui pefoit 28534 grains, ce feuï
grain de cuivre teignit en bleu toute l’eau dans laquelle
il avoit été jetté. Cette eau ayant été me-
furée faifoit 105, 57 pouces cubiques. On peut bien
-fuppofer, fans craindre de fe tromper, qu il y a voit
dans chaque partie vifible de l’eau une petite partie
de cuivre fondu. Il y a 216000000 parties vifibles
dans un pouce cubique. Par conféquent un feul gram
de cuivre doit avoir été divifé en 22788000000 pet
ite s p ar tie s vifibles. Le fameux Lewenhoeck a remarqué
dansde l’eau où l’on avoit jetté du poivre, trois
fortes de petits animaux qui y nageoient. Que 1 où
mette le diamètre de la plus petite forte de ces am-
Teme IV*
malcules pour l’unité , le diamètre de ceux de la
fécondé forte étoit dix fois auflî grand , Si celui de
lu troifieme efpece devoit être cinquante fois plus
grand. Le diamètre d’un grain de fable commun étoit
mille fois auflî grand * & par conféquent la grandeur
du plus petit de ces animalcules mis én parallèle
avec un grain de fable , étoit comme les cubes des
diamètres 1 ôc 1000, c. à. d. comme 1 à ioooooooôo :
on voit pourtant ces petits animaux nager dans l’eâu,
ils ont un corps qui peut fe mouvoir ; Ce corps eft
compofé de mufcles, de vaifleaux fânguins, de
nerfs, & autres parties. 11 doit y avoir une différence
énorme entre le volume de ces vaifleaux fan-
guins & celui de tout leur corps. Quelle né doit
donc pas être la petiteffe des globules de fang, qui
circulent continuellement dans ces vaifleaux ? Dé
quelle petiteffe ne font pas aufli les oeufs de cès animalcules
, ou leurs petits, lorfqu’ils né font que de
naître ? Peut-on affez admirer là fageffe & la puiffan-
ce du créateur dans de femblales productions ? Voy . Ductilité.
Dans les corps ôdoriférans, il eft encore facile
d’appercevoir une fineffe très-grande de parties, &
même telles qu’elles font actuellement féparées l’une
de l’autre : on trouvé beaucoup de corps dont la
pefanteur n’eft prefque point altérée dans un long
efpace de tems, quoiqu’ils rempliffént fans ceffe une
grande étendue par les corpufcules odoriférans qui
s’en exhalent.
Toute partie de matière, quelque petite qu’elle
foit, & tout efpace fini quelque grand qu’il fo it ,
étant donné ; il eft poflible qu’un petit grain de fable
ôu une petite partie de matière foit étendue dans un
grand efpace, & le rempliffe de maniéré qu’il ne s’y
trouve aucun pore dont le diamètre excede quelque
ligne donnée , fi petite qu’on voudra.
En effet qu’on prenne, par exemple, une ligne
cube de matière, & qü’On la divife par tranches en
petites lames, il eft certain que l’on peut augmenter
affez le nombre dé ces lames pour pouvoir, en
les mettant les unes à côté des autres, couvrir une
furface aufli large qu’on voudra. Qu’on redivife en-
fuite chacune des petites lames en uni grand nombre
d’autres, on pourra placer ces nouvelles petites
lames à telle diftance fi petite qu’on voudra les
unes des autres,Sc en remplir de cette forte un efpace
qui pourra être impénétrable à la lumière, fi les diftances
entre les lames font moindres que les diamètres
des corpufcules de lumière. Cela eft démontré
plus au lortg dans Ke ill, Introd. ad ver. Phyf.
Voici maintenant d’une maniéré plus détaillée les
objeClions de cêux qui prétendent que la matière
n’eft pas divifible à l’infini. Le corps géométrique
n’eft que la fimplê étendue, il n’a point de parties
déterminées & a&uelles, il ne contient que des parties
fimplement poflibles , qu’on peut augmenter
tant qu’on veut à l’infini; car la notion de l’étendue
ne renfermé que dès parties co-exiftantes & unies, &:
le nombre de ces parties eft abfolument indéterminé,
& n’entre point dans la notion de l’étendue. Ainfi
l’on peut fans nuire à l’étendue, déterminer ce
nombre comme on veut, c’eft-à-dire que l’on peut
établir qu’une étendue renferme dix mille, ou un million,
ou dix millions de parties, félon que l’on voudra
prendre une partie quelconque pour un : ainfi une ligne
renfermera deux parties, fi l’on prend fa moitié
pouf une, & elle en aura dix ou mille , fi on prend
fa dixième y ou fa millième partie pour l’unité. Cette
unité eft donc abfolument indéterminée, & dépend
dé la volonté de celui qui confidere cette éteri-
due.
Ï1 n’en eft pas de même de la nature. Tout ce qui
exifte actuellement doit être déterminé en toute maniéré
, & il n’eft pas en notre pouvoir de le détermi-
.V V V y v y i j