1014 D I O déterminés , auxquels fatisferoient une infinité de
nombres incommenfurables. Par exemple, on propose
de trouver un triangle re&angle dont les côtés
■ x,y, {y foient exprimés par des-nombres commen-
furables. Il eft certain qu’on aura en général x x -f-
y y = ç { , { étant fuppofée l’hypothenufe. Koy. Hy-
pothenuse. Mais on voit aufli que l’on peut prendre
x & y , tels que { foit un incommenfurable ; car
f i , par exemple, x = ï & y — a., on aura { = 1/ 5 •
O r il s’agit de déterminer ï & j à être tels, que non
feulement x Ôcy, mais encore {foient des nombres
commenfurables. De même foit propofé de partager
un nombre quarré a2 en deux autres nombres
qui foient aufli quarrés, & ainfi des autres. Voilà ce
qu’on appelle les quefiions de Diophante.
L’art de réfoudre ces fortes de que fiions conftfte
.à employer & à manier tellement les inconnues ou
l ’inconnue, que le quarré & les plus hautes puiffan-
ces de cette inconnue difparoiffent de l’équation, &
qu’il ne refte que l’inconnue élevée au premier degré
, au moyen de quoi on réfout cette équation fans
avoir recours aux incommenfurables. Donnons-en
lin exemple fur les triangles reftangles en nombres.
On propofe de trouver x , y , { , telles que x x -\ryy
=={{.* foit fuppofé { = x -f- u , on ayra x x 'j-y y —
■ x x -f- 2 x u -f- u u} d’oii l’on voit qu’on peut faire
difparoître x x , & qu’on aura yy~u"u — x ; donc
prenant y & u pour tout ce qu’on voudra, on trouvera
que les côtés du triangle font y , y- ~ “ “ , & l’hy-
pothenufe x-\-u— yyz “ “ : par exemple, foit .y = 3,
* = i , a n aura + Ç =
5. Ainfi 3 ,4 , font les deux côtés du triangle, & 5
l ’hypothenufe. On voit aifément que ce problème a
une infinité de folutions..
Autre problème. Soit propofé de trouver une quantité
x , telle que a -f- b x x x foit un quarré, on
fera de même a. -}- b x -f- x x égale au quarré de x -\-
I , 8c on aura <z -J- £ * = 2 a: { -J- { {,* donc *: = -p1
Ainfi prenant { pour tout ce qu’on voudra, on aura x.
Autre. Soit propofé de partager un nombre a2 +
b2, compofé de deux quarrés en deux autres quarrés
; foit s x — a , l’un des nombres cherchés, &
-r x — b l’autre, s & r étant des coefficiens indéterminés
, on aura a2 q-.é* = s2 x 2 — 2 s x a 4- a2 -f-
r2 xi2 — z r x b + b b ; donc s2 x — 2 s a-\- r2 x'ff^
i r b = o j donc x = 2,s . Ainfi prenant pour
r & s tel nombre qu’on voudra, on aura x.
Autre. Soit propofé de trouver x , telle que a a —
x x foit un quarré. Je fais y/a a — x x — (<z—
& fa i a a — x x — a — x 1 & divifant par a — x ,
j’ai a-\- xz=.a^ — x donc = x. Ainfi prenant
pour { tout ce qu’on voudra, on aura x.
Voilà, ce me femble, un nombre fuflifant d’exemples
pour donner dans un ouvrage tel que l’Encyclopédie
, l’idée des problèmes de Diophante. Ceux
qui voudront étudier plus à fond cette matière, la
trouveront très-bien traitée dans les élément d>Algèbre
de Saunderfon, in-40. Cambridge 1740 , liv. Kl. t. I I . M. Euler dans diflérens volumes des mémoires
de Peters bourg, a donné aufli d’une maniéré très-
favante la folution de plufieurs problèmes du genre
de ceux de Diophante.
Remarquons en paflantque cette méthode de réduire
à des quantités rationnelles les quantités irrationnelles,
eft fort utile dans le calcul intégral, pour
réduire une différentielle donnée en fraélion rationnelle.
Koye{ Calcul Intégral , Fraction rationnelle.
i x
En effet foit donné ~ — , on transformera
N K- + * * + »*
D I O cette quantité^ en fradion rationnellé en fuppofant
comme ci-deffus < = y / ~ + h x + on tranf_
formeroit de même ^ f en fuppofant que
P — x eft un fadeur de a + b -x — * * , & faifant
b x — x x =1 (^p — * ) { . Voye^ le mémoire que
j’ai donné fur ce fujet dans le volume de l’académie
de Berlin, pour l’annéé 1746. Koye^ aufli le traité dit
calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, 1. part.
ehap. des transformations des différentielles.
« L’ouvrage de Diophante elt, dit M. Saunderfon,’
» le premier ouvrage d’Algebre que nous trouvions
» dans l’antiquité. Ce n’eft pas qu’il foit l’inventeur
» de cet art ; car outre qu’on trouve quelques traces
» dans des auteurs plus anciens, Diophante ne' d on-
» ne point dans fon ouvrage les réglés de l’Algebre ;
» il traite cette fcience comme déjà connue ».
M. Saunderfon fait enfûite un grand éloge de la
fagacité que Diophante a montrée dans la folution
des problèmes qui ont retenu fon nom. Il ajoute que
du tems de Diophante, on ne connoiffoit point encore
la méthode de nommer par des lettres les nombres
connus, comme on fait les nombres inconnus,
ni la méthode d’introduire plufieurs lettres pour dé-
figner plufieurs quantités inconnues différentes ; il
reconnoît que faute de cet avantage, on trouve
quelquefois dans les folutions de Diophante un peu
de confufion. Nous n’examinerons • point ici fi ce
qu’on trouve dans l’ouvrage de Diophante peut être
regardé comme de l’Algebre ; & fuppofé que c’en foit
en effet, jufqu’oii les anciens paroiffent avoir pouffé
cette fcience. C ’eft une queftion qui nous condui-
roit trop loin, qui n’appartient qu’indireûemènt à
cet article, & que nous pourrons avoir oecafion de
traiter ailleurs. Koye^ Algèbre & Mathématiques.
(0 )
DIOPTRE, f. m. (’Chirurgie.) infiniment qui fert
à dilater la matrice ou l’anus , afin d’examiner les
maladies de ces parties. On l’appelle aufli fpeculum
ôc dilatatoire. V. SPECULUM & DlLATATOIRE.(F')
DIOPTRIQUE, f. f. ( Ordre encycl. Entendement,
Raijbn , Philof. ou Science , Science de la Nature, Mathématiques
mixtes , Optique en général, Dioptrique.)
eft la fcience de la vifion qui fe fait par de6 rayons
rompus, c’eft-à-dire par des rayons qui paffant d’un
milieu dans un autre, comme du verre dans l’air ou
dans l’eau, fe brifent à leur paffage, & changent de
direftion. On appelle aufli cette fcience anaclafli-
que. Ce mot qui vient du grec, fignifie fcience des réfractions.
Koye{ Anaclastique & Vision.
Le mot Dioptrique tire fon origine aufli du grec,
& eft compofé de fia,per, au-travers , & oaélopai,je
vois. '
La Dioptrique, prîfe dans un fens plus étendu, eft:
la troifieme partie de l’Optique, dont l’objet eft de
confidérer & d’expliquer les effets de la réfraâion
de la lumière, lorfqu’elle paffe par différens milieux :
tels que l’air, l’eau, le verre, & fur-tout les lentilles.
Koye^ Optique.
Ainfi on peut diftinguer deux parties dans la Dioptrique
; l’une confidere indépendamment de la vifion ,
les propriétés de la lumière, lorfqu’elle traverfe les
corps tranfparens, & la maniéré dont les rayons fe
brifent & s’écartent,ou s’approchent mutuellement ;
l’autre examine l’effet de ces rayons fur les yeux,
& les phénomènes qui doivent en réfulter par rapport
à la vifion.
M. Defcartes a donné un traité de Dioptrique, qui
eft un de fes meilleurs ouvrages. On trouve dans le
recueil des oeuvres de M. Huyghens , un traité de
Dioptrique affez étendu. Barrow a traité aufli fort au
long de cette partie de l’Optique, dans fes lecliones
Opticct ; aufli bien que M. Newton, dans un ouvrage
D I O
qui porte le même titre, & qu’on trouve dans le recueil
de fes opufcules, imprimé à Laufanne en trois
vol. in-40. 1744. Cette matière fe trouve aufli fort
approfondie dans l ’Optique du même auteur. Mi
Guifnée a donné, dans les mém. de Vacad. de 1704,
la folution d’un problème général , qui renferme
prefque toute la Dioptrique ; & le P. Mallebranche a
inféré ce problème à la fin de fa Recherche de la vérité.
Nous parlerons plus bas d’un ouvrage de M.
Smith fur cette matière.
Une des principiales difficultés de la Dioptrique eft
de déterminer le lieu de l’image d’un objet qui eft vu
par réfraéfiôn. Les auteurs d’Optique ne font point
d’accord là-deflus. Pour expliquer bien nettement
en quoi ils different, imaginons un objet O (fig. 615.
d'Opt. n. z.') plongé dans une eau tranquille, dont
la furface foit F G , & que l’oeil A voit par le rayon
rompu O H A . Il eft queftion de déterminer en quel
endroit cet objet O doit paroître. Il eft certain d’abord
qu’il doit paroître dans le prolongement du
rayon A H , puifque l’oeil eft affefté de la même maniéré
, que fi l’objet étoit dans le prolongement de
ce rayon ; mais en quel endroit de ce prolongement
rapportera-t-on l’objet? C ’eft furquoi les auteurs de
Dioptrique font partagés. Les uns prétendent que
l’objet O doit paroître dans l’endroit où le rayon
rompu H A coupe la perpendiculaire, menée de
l’objet O fur la furface F G , c’eft-à-dire en L. La
raifon principale que ces auteurs en apportent, eft
que tout objet vû par un rayon réfléchi eft toûjours
rapporté à l’endroit où le rayon réfléchi coupe la
perpendiculaire menée de l’objet fur la furface reflé-
chiffante, & qu’il en doit être de mêmè des rayons
rompus. Mais, i°. le principe d’où partent ces auteurs
fur le lieu de l’image vue par des rayons réfléchis
, eft fujet à beaucoup de difficultés, comme on
le verra à l 'article Miroir ; 2°. quand même ce
principe feroit vrai & général, on ne feroit pas en
droit de l’appliquer fans aucune efpece de preuve,
pour déterminer le lieu de l’image vû par des rayons
rompus.
D ’autres auteurs prétendent que le lieu de l’image
de l’objet O doit être au point K , qui eft le point
de concours des deux rayons rompus infiniment proches
, I A , H A . Voici la raifon qu’ils en apportent.
Il eft certain que l’objet O envoyé à l’oeil A
lin certain nombre de rayons, parce que la prunelle
a une certaine largeur. Si donc on fuppofe que IA
te H À foient deux de ces rayons, il eft facile de
voir que ces rayons entrent dans l’oe il, de la même
maniéré que s’ils venoient direftement du point K :
or tous les autres rayons qui entrent dans l’oeil concourent
à-peu-près au même point K , parce que la
prunelle a peu de largeur, & qu’ainfi le nombre des'
rayons qui y entrent n’eft pas fort grand : ainfi l’objet
doit parôître au point K. Il faut avouer que ce
raifonnement paroît beaucoup plus plaufible que celui
dès pârtifans de la i re hypothefe : aufli l’opinion
dont il s’agit ic i, eft celle des plus célébrés auteurs
d’Optiqüe, entre autres de Barrow & de Newton. Le
premier dé ces auteurs dit même avoir fait une expérience
facile, par le moyen de laquelle il s’eft afluré
de la fauffeté de l’opinion ancienne fur le lieu de l’i-
mage. Il attacha au bout d’un fil N O (fig. 66. ePOp.
n. 3 .) un plomb O , & defeendit ce fil dans une eau
ftagnante, dont lâ furface étoit F G ; enforte que la
partie NK étoit vue par réflexion au-dedans dé l’eau,
& la partie 0 K par réfraétion, l’oeil étant placé en
A : l’image de la partie N K , vûe par réflexion,
étoit en ligne droite avec N K , comme elle le devoit
être en effet ; & l ’image de la partie O K pardiffoit
s’éloigner de la perpendiculaire, & former une courbe
K RM. Or fi les points du fil 0 ^"dévoient paroî-
jtre dans la perpendiculaire 0 K , comme le préten-
D I O 1015
d en t c e u x q u i foû t ien n en t la p rem iè r e o p in io n , l ’i m
a g e d e la p a r t ie O K a u ro it d û p a r o ît r e d r o i t e , U
n o n p as c o u rb e ; & d e p lu s e lle a u r o i t d û f e c o n fo n d
r e a v e c cfelle d e N K.
C e p en d a n t B a r t o w a v o u e lu i - m ême à la fin de
fo n O p t iq u e , qu’ il y a des ca s o ù l ’e x p é r ien c e e ft
c o n tr a i r e à fo n p rin c ip e fu r le lie u d e l ’im ag e : c e
fo n t le s câ s o ù le s r a y o n s r om p u s , a u lie u d’entref
d iv e r g e n s dan s l’oe i l , y en t ren t c o n v e r g e n s ; ca r
a lo r s le p o in t d e r éu n io n d es r a y o n s e f t d e r r iè r e
l ’oe i l , & o n d e v r o i t v o i r l ’o b je t d e r r iè r e f o i , c e q u i
e ft ab fu rd e . Koye^ c e q u e no u s dirons fu r c e fu je t à
l ’article MlROIR. Koye^ aûfji APPARENT.
M. Smith, dans fon Optique imprimée à Cambridge
en 1738, & qu’on peut regarder comme l’ouvrage
le plus complet que nous ayons jufqu’à préfent
fur cette matière, attaque le fentiment de Barrow ,
& s’en écarte. Selon cet auteur, la grandeur apparente
d’un objet vû par un verre ou un miroir , eft
d’abord proportionnelle à l’angle vifuel ; enfuite ,
pour avoir le lieu apparent, il dit que l’objet paroît
à la même diftance à laquelle il paroîtroit à la vûe
fimple , s’il étoit vû de la grandeur dont il paroît
au moyen du verre. Ainfi je fuppofe un objet d’un
pouce de grandeur vû par un verre ; fi l ’angle vifuel
eft augmenté du double, l’objet paroîtra double : cela
pofé, placez l’objet d’un pouce entre les deux
rayons rompus qui forment l’angle vifuel, de maniéré
qu’il foit rafé par ces rayons ; & vous aurez
le lieu où paroîtra l’objet. M. Smith prétend avoir
confirmé fon opinion par des expériences. Koye^ fon
ouvrage, art. 104. & fuiv. 13c). &fuiv. & les remarques
à la fin de l ’ouvrage, pag. 3 o. & fuiv. Il prétend
aufli expliquer par fon principe l’opinion de Barrow.
Mais le principe de M. Smith éft - il lui - même fans
difficulté ? Eft - il bien vrai en premier lieu que la
grandeur apparente de l’objet dépende uniquement
de l’angle vifuel? Koye{ Apparent. Cela n’eft pas
vrai dans l’Optique fimple : pourquoi cela feroit-il
vrai généralement dans la Dioptrique ? Eft-il bien
vrai en fécond lieu que la diftance apparente foit
d’autant plus petite, que la grandeur apparente eft
plus grande ? Je doute que l’expérience foit bien conforme
à cette idée. Un objet vû avec une forte loupe,
& fort groflî par conféquent, devroit fuivant
cette réglé paroître plus près que le même objet à
la vûe fimple. Cependant cet objet n’eft éloigné que
de quelques lignes de l’oe il, & fon image paroît à
une diftance beaucoup plus grande. Koye{ Image ,
V ision , & les articles cités ci-deffus.
Kyye^ auffiles réglés de la Dioptriq. e x p liq u é e s p lu s
au lo n g dans le s articles R é f r a c t i o n , L e n t i l l e ,
&c. & l ’a p p lic a t io n q u’o n en fa i t dan s la co n ftru& io n
des t é le f e o p e s , des m i c r o fc o p è s , & d’ au t res iiift ru -
mens d e Dioptrique, a u x articles T é l e s c o p e , M i c
r o s c o p e , &c. (O )
D i o p t r i q u e , ad j. fe d it en g én é r a l d e to u t c e
q u i a r a p p o r t à la Dioptrique. I l e ft o p p o fé à catop-
trique , a u fli p ris a d je f t iv em e n t . A in f i o n d it tèlefco-
pe dioptrique, d ’un té le fe o p e e n t iè rem en t p a r ré fr a c tio
n , c ’ e ft-à -d ir e c om p o fé d e v e r r e s , p o u r l ’oppo -
fe r au t e le fco p e c a to p t r iq u e o u c a ta d io p f r iq u e , q u i
e ft u n te le fc o p e p a r r é f lé x io n , c om p o fé d e v e r re s &
d ë m iro ir s . Koye^ T é l e s c o p é . (O)
D I O S C O R E A , f. f . (Hifi. nat. bot.) g e n r e d é
p lan te d o n t le n om a é té d é r iv é de c e lu i d e D io f -
c ô r id e . L a fleu r des p lantes d e c e g en re e f t m o n o p
é ta le , en fo rm e d e c lo c h e , o u v e r t e & d é c o u p é e .
I l s’ é lë v e d u c a l ic e u n p ift il q u i t r a v e r fe le b a s d e la
fle u r , & d e v ie n t dans la fu ite u n f ru it à tro is ang
le s , & d iv i fé e n t ro is lo g e s q u i ren fe rm en t des fe-
m en c e s p la te s , ar ro n d ies & b o rd é e s d u n fe u ille t
m em b ran eu x . P lu m i e r , nova plant, Amène, gener, Koye^ Plante. {I)