pas compris huit fois dans le premier membre de la
div'Jion 3203. Suppofons qu’il y foit contenu fept
fois j fi nous en failons l’effai en multipliant 469 par
7 , nous trouverons le produit 3283, qui eft encore
plus grand que 3 203 : mais on peut écrire 6 au quotient.
Multiplions donc le divifeur 469 par ce chiffre
6; mettons-en le produit 2814 fous 3203 , &
après avoir fouftrait 2814 de 3203, il refte 389 di-
xaines, à côté defquelles on defcendra les cinq unités
du dividende, afin d’avoir 3895 unités à divifer
par 469. Comme il y a au dividende 3895 un chiffre
de plus qu’au divifeur 469, on demandera combien
de fois le premier chiffre 4 du divifeur- eft contenu
dans les deux premiers chiffres 38 du dividende (ce
que l’on doit obferver généralement toutes les fois
qu’un membre de la diyifion a un chiffre de plus que,
le divifeur) ; on dira donc en 38 combien de fois 4?.
il y eft bien, neuf fois ; fuppofant donc 9 , on multipliera
le divifeur 469 par 9 , ôc le produit 4221 étant
plus grand que 3895 , c’eft une preuve que le divifeur
469 n’eft pas compris neuf fois dans le dividende
3895 : on écrira donc 8 au quotient, & l’on multipliera
par ce nombre le divifeur 469 pour avoir le,
produit 3 7 5 2 , que l’on retranchera du dividende
3 895 ; il .reftera 143 unités qui ne peuvent plus fe
divifer en cette qualité par 469 : c’eft pourquoi fi on
ne veut pas pouffer le calcul plus loin , on écrira à
la fuite du quotient 68 le refte 143 , fous lequel on,
pofera 469, en féparant ces deux nombres par une
ligne en forme de fra&ion. Mais en fuppofant que
143 lignifient 143 livres, on réduira ces livres en
fols en les multipliant par 20, ce qui produira 2860
fols, que l’on divifera toujours par 469 pour avoir 6
fols, & il reliera 46 fols, dont on fera des deniers
en multipliant 46 par 12 ce qui produira 552 deniers
, que l’on divifera encore par 469 pour avoir 1
denier, & pour refte 83 deniers, que l’on écrira à la
fuite de 1 denier fous cette forme , ce qui lignifie
qu’il refte encore 83 deniers à partager en 469 parties;
mais on ne pouffe pas l’opération plus loin ,
parce que le commerce n’admet point en France de
monnoies plus petites que le denier.
Remarquez i°. qu’après avoir déterminé le premier
membre de la divijion qui apporte un chiffre au
quotient, tous les autres chiffres du dividende qui
fuivent ce premier membre, doivent en fournir chacun
un au quotient : ainfi l’on peut favoir dès le commencement
de l’opération combien le quotient doit
avoir de chiffres.
20. L’opération fur le premier membre étant achevée
, fi après avoir defcendu un chiffre on s’apper-
çoit que le divifeur entier n’eft pas contenu dans ce
nouveau membre du dividende, on mettra o au quotient
, & l’on defcéndra un nouveau chiffre ; & s’il
arrivoit que le divifeur ne fût pas encore contenu
dans ce membre ainfi augmenté, on mettroit encore
un o au quotient ; & ainfi de fuite jufqu’à ce que le
divifeur fut enfin compris dans le membre fur lequel
on opéré.
30. On ne doit jamais mettre au quotient un nombre
plus grand que 9.
40. Si après avoir fait la fouftraôion on trouvoit
un refte égal au divifeur, ou plus grand , ce feroit
un ligne que le nombre que l’on a mis au quotieift
n’eft pas affez grand ; il faudroit l’augmenter : afin
donc qu’un chiffre mis au quotient foit légitime, il
faut que le produit de ce chiffre par le divifeur ne
foit pas plus grand que le membre divifé, ni qu’après
la fouftraôion il y ait un refte égal au divifeur
ou plus grand. Si le premier cas avoit lieu, on di-
minueroit le chiffre du quotient ; & dans le fécond
cas on l’augmenteroit.
50. Quand on commence cette opération, il faut
d’abord prendre autant de chiffres dans le dividende
qu’il y en a dans le divifeur : mais fi l’on remarque
que les chiffres du divifeur ne font pas compris dans:
ceux du dividende pris en pareil nombre , alors on
augmentera d’un chiffre lé premier membre de la di-
vijion : & en ce cas on demandera combien de fois le
premier chiffre du divifeur eft contenu dans les deux:
premiers chiffres du membre à divifer : on écrira ce-
nombre au quotient, après avoir effayé s’il n’eft pas>
trop grand ; car il ne fauroit jamais être trop petit.
La théorie de toits ces préceptes eft exactement
demontree dans les injiitutions de Géométrie, imprimées
a Paris chez Debure l’aîné en 1746 ; rien n’eft
plus propre à faire apprendre une fcience avec,
promptitude & folidité , que la connoiffance des
raifons fur lefquelles la pratique eft fondée.
Quant a la divijion des fraâions vulgaires, des.
fractions décimales, & à la divijion de proportion,
voye£ F r a c t i o n , D é c i m a l , P r o p o r t i o n . i
a La divijion algébrique fe fait préeifément de la
meme maniéré que la divijion numérique. Soit que!
l’on agiffe fur des monomes ou fur des polynômes,
la réglé des lignes - f & - eft la même que celle de!
la multiplication, voye^ M u l t i p l i c a t i o n . Les»
coefiiciens fe divifent comme dans l’Arithmétique,
voye{ C o e f f i c i e n t . Pour les quantités algébriques,^
on fait difparoitre au dividende les lettres qui lui
font communes avec le divifeur. % l’on écrit le refte:
au quotient. Si le divifeur n’a rfitüh dé commun avec-
le dividende, on écrit le dividende au-deflus d’une
petite ligne horifontale, fous laquelle on pofe le divifeur
, & la divijiongdgébnque eft faite.
So it, par exemp*, 12 b c d à divifer par 3 d;
difpofez ces quantités comme dans la divijion arithmétique.
Op e r a t io n .
Dividende ,
. quotient.
Et dites : -f- drnfe par - f = 4 - , écrivez - f au quotient
fous la ligne: enfuite 12 divifé par 3 = 4 , ppfez 4
au quotient ; enfin bed divifé par dz=.bc, que vou£
écrirez au quotient à la fuite du coefficient 4. En
fupprimant, comme vous voyez, du dividende bed
la lettre d qui eft commune au divifeur 3 d, on écrit
au quotient le refte b c du dividende ; & pour faire
voir que + 4 b c eft le vrai quotient, on n’a qu’à
multiplier + 3 p a r- f 4 ^ , c’eft-à-dire le divifeur
par le quotient, & l’on retrouvera le dividende
+ ix b c d ; ce qui prouve que la divijion eft jufte.
V o y e 1 Multiplication.
Divijions. -f- 15 a c t par — j at.
Opération.
Difons donc : -j- divifé par — =i — ; i j divifé par c
donne 3 ; a c t divifé par a t = c. Le quotient eft donc
— 3 .c; car en multipliant le divifeur — ^ at par le
quotient — 3 c , on a le dividende + 15 a c /, ce qui
prouve la jufteffe de l’opération. ’
Propofe-t-on de divifer — 18 a2 b* g par - f 3 a bg>
Opération.
On dira : — divifé par + = — ; 18 divifé par 3 == 6 ;
à1 b1 g divifé par a b g=z a b2 : ainfi le quotient eft
— 6 a b2 ; ce que l’on prouve en multipliant le divifeur
+ 3 ab g par le quotient - 6 a b2 , puifque cette
multiplication redonne le dividende — 18 a2 b* g.
Enfin fi l’on veut divifer—24 c* d4 f par — 8 c3 d* t.
Opération.
— 24 c1 d4 t
ƒ - 8 c* dt t.
, t + m
T
On dira — divifé par — = 4* > enfuite 24 divifé par
8 = 3 ; enfin c* d* t divifé par c7- d1 r.= c d: enfor-
te que le quotient de cette divijion eft -f- 3 c d; car
le divifeur — 8 c2 d* t multiplié par le quotient -f-
3 c d , redonne le dividende — 24 c1 t.
On exprime aufli quelquefois une divijion algébrique
en forme de fraûion ; ainfi a b c divifé par a c
s’écrit ^ = b , en ôtant ce qui fe détruit, c’eft-à-
dire en flipprimant les lettres communes au numérateur
& au dénominateur.
Quoiqu’il foit vrai en général que l’on doive fup-
primer les lettres communes au dividende & au divifeur,
il ne faut pourtant pas fe perfuader que
= o ; car le quotient de cétte divijion = 1. Toutes
les lettres dilparoiffent véritablement, ainfi que le
preferit la réglé ; mais il faut toujours fuppofer qu’une
grandeur algébrique eft précédée du coefficient
.1 ; ainfi ^ = — j-c = 7 = 1 *
En effet divifer a b c par a b c , c’eft déterminer
combien de fois a ^ e f l contenu dans abc. Or toute
grandeur eft contenue une fois dans elle-même ; ainfi
= 1 ; donc en général une quantité quelconque
divifée par elle-même donne toûjours 1 au quotient.
On indique encore plus volontiers la divijion algébrique
fous la forme d’une fraûion, quand le dividende
& le divifeur n’ont rien de commun, ou
qu’ils ont feulement quelques quantités communes.
Ainfi 3 a c divifé par 5 b s = ; de même 6 d t à
divifer par^d s — — 75-^-— = |^ , en chaffant
la quantité 2 d, qui eft un produifant ou un commun
faâeur au dividende & au divifeur.
Pour divifer le polynôme 9 a b7- — 1 j a7- b - f 6 a1
par — 3<z^4-2<z2,o n arrangera les termes, comme
on le voit dans l’opération, félon les degrés de
la lettre a qui paroît dominer.
Opération.
6 a1 — iy a2 b y bb2 Ç 2
— 6 + a i % b < — 1
* . 6 (d1 b 4-9 ab2
-f- 6 a2 b — 9 ab7
- 3 - 3 b.
Et divifant le premier terme 6 a1 du dividende par
le premier terme 2 a7 du divifeur, on écrit 3 a au
quotient, par lequel on multiplie tout le divifeur. Le
produit qui en réfulte eft retranché du dividende,
& l’on continue à divifer le reftè, après avoir defcendu
le terme 9 a b2 du dividende, le quotient total
doit etre 3 a — 3 b : ce que l’on vérifiera en multipliant
ce quotient par le divifeur z a 2 — ^ab, dont
le produit doit redonner le dividende.
S’il s’agit de divifer 8 c x 2 -f-1 5 b d s é^io b d x —
r i c s x — 3 t g par 4 c x — b d; on ordonnera les
termes du dividende &-du diviféur, fuivant lès degrés
de la lettre at. Comme il y a deux termes au dividende
oh cette lettre eft élevée au même degré
on pourra écrire ces deux termes l’un fous l’autre *
de même que les deux termes oh la lettre d’origine
ne fe trouve pas.
Opération.
8 c x 2 — 10 bdx-\-l jbdsÇ4 e s y b d
- " ■ C S X - - w
- i c x S + l o b d x ** 4 cx-^b d
T. — 12 C S X-\-l}bds
4-12 C s x —l^bds
En divifant donc le premier terme S e x 2 du dividende
par le premier terme 4 c a; du divifeur, le
quotient eft 2 a? par lequel on multiplie tout le divifeur,
ce qui donne 8 c a:2 — 10 ^ ^a:, que l’on écrit
fous le dividende, en changeant les fignes de ce produit
pour en faire la fouftra&ion ou la rédu&ion,
comme on le voit exécuté dans l’opération : cette
reduûion étant faite, cm opéré fur le refte — 12 c s x
+ b d s — $ t g , en divifant toûjours le premier
terme r i 12 c s x de ce refte par le premier terme
4 c a; du divifeur, dont le quotient eft — 3 s , par
lequel on multiplie tout le divifeur pour en retrancher
le produit de ce qui eft refté après la première
divijion, & l’on a un fécond refte — 3 t g , lequel
n’ayant point de facteurs communs avec le divifeur
, fait voir que la divijion ne feuroit fe faire exa-
ftement : ainfi on le difpofera à la fuite du quotient,
au-deflus d’une petite ligne, fous laquelle on écrira
le divifeur.
Pour la divijion par les logarithmes, voye{ Logar
ithm e .
La divijion géométrique regarde les lignes droites,
& eft utile dans la conftruftion des problèmes plans ;
par exemple, un rectangle étant donné, ainfi qu’une
ligne droite, trouver une autre ligne droite telle que
le rèétangle formé par cette ligne & la droite donnée
, foit égal au reéiangle donné. -
On réfoud ces fortes de problèmes par la réglé de
trois, en difant : la ligne donnée eft à un côté du
reétangle donné, comme l’autre côté de ce rectangle
eft à la ligne cherchée.
C ’eft ainfi que M. Defcartes explique le moyen
de faire une divijion géométrique avec la réglé &
le compas.
Suppofons que la ligne a c = 6 (PL de Géomét:
jigure ij.') foit à divifer par la ligne a d=. 3. Prenez
un angle à volonté : portez enfuite le divifeur a d = 3
fur l’un des côtés de cet angle , -en partant du fommet,
& prenez tout de fuite fur le même côté n « = 1 ;
après cela portez fur l’autre côté de l’angle, en partant
toûjours du fommet, le dividende ac — 6 , &
joignez les points d , c par la ligne de; après quoi
par le point u vous tirerez la ligne ub parallèlement
à d e , laquelle déterminera la ligne a b , qui fera le
quotient cherché ; car à caufe des triangles fembla-
bles ad c , au b , vous aurez ad : a c ; : au : a b
O Mac . a d y .a b .au . D o n c = ^ = ~ = ab;
Donc la ligne ab exprime la divijion de a c par ad -
puifque le dividende a c eft au divifeur a d , comme
le quotient a i eft à l’unité. (£ )
Dans la divijion, le dividende eft au divifeur comme
le quotient eft à l’unité ; ou le dividende eft au
quotient, comme le divifeur eft à l’unité : c’eft-là la
vraie notion de la divijion, & la plus générale qu’on
puiffe en donner, comme on s’en convaincra par ce
que nous allons dire. Remarquons d’abord que ces
deux proportions qui paroiffent les mêmes , ne le
font cependant pas, abfolument parlant ; car le dividende
eft toûjours cenfé un nombre concret (yoy .
C o ncret) ; & le divifeur peut être ou un nombre
concret ou un nombre abftrait. Dans le premier
cas, le quotient fera un nombre abftrait, & c’eft la
première proportion qui a lieu. Par exemple, fi je
divifé 6 fous (nombre concret) par 2 fous (nombre
concret), le quotient eft un nombre abftrait 3, c’eft.
à-dire qui indique, non un nombre de fous, mais le
nombre de fois que le dividende contient le divifeur
& on a cette proportion ; 6 fous eft à 2 fous, comme
le nombre abftrait 3 eft à l’unité abftraite 1 : on ne
pourroit pas dire 6 fous (dividende & nombre concret)
eft au quotient 3 (nombre abftrait), comme
2 fous (divifeur & nombre concret) eft à 1 (nombre
abftrait) ; ^ du moins cette proportion ne porteroit
aucune idee nette dans l’efpnt, parce qu’un nombre
concret & un nombre abftrait étant de différens