enfémble égaux: à zéro, car on auroit x t x C , &
y — F ; ce qui ne fe peut., puifqlie x & y qui font
des indéterminées,ne peuvent être égales à des confiantes.
On ne doit point non plus fuppofer en même
tems B & E = o , ni A & D = o ; car fubftituànt les
vàieurs de x '& de y , on rf auroit plus dans l’équation
de la courbe qu’une feule indéterminée u. Or il
faut qu’il y en ait toujours deux.
11 eft vifible que fi on fubftitue à la place de x
&-de_y les valeurs ci-deïïùs dans l’équation de la
‘Courbe, l’équation n’augmentera pas de dimenfion ;
tar on détermine la dimenfion & le degre de 1 équation
d’une- courbe par la plus haute dimenfion à laquelle
fe trouve l’une ou l’autre des inconnues x ,y ,
•ou le produit des inconnues ; par exemple, l’équation
<Pune courbe eft du troifieme degré, lorfqu’elle
•contient le cube, y î , ou le cube x i, ou le produit
x y y ou xx.y , ou toutes ces quantités à la fois,
o u quelques-unes feulement. Or comme dans les
équations x = A i + B u-\- C , y •=. D { + E u ■ $- F ,
t -Sc u ne montent qu’au premier degré, il eft évident
que fi on fubftitue ces valeurs dans l’équation
en x & e n j , la dimenfion de l’équation & fon de-
.gré n’augmentera pas. Il eft évident, par la même
raifon, qu’elle ne diminuera pas ; car fi elle dimi-
nuoit, c’eft-à-dire, fi l’équation en £ & en u étoient
-de moindre dimenfion que l ’équation en * & en y ,
alors fubftituànt pour i & pour u leurs valeurs en x
& en y , lefquelles font d’une feule dimenfion, comme
il eftaife de le voir, on retroûveroit l’équation en
-x & en y , & par conféquent on parviendroit à une
•équation d’une dimenfion plùs élevée que l’équation
en { & en « ; ce qui eft contre la première propofi-
îion. ;
Donc en général, quelque transformation d’axe
eue l’on faffe, l’équation de la courbe ne change point
=de dimenfion. On peut voir dans l’ouvrage de M.
l’ abbé de G ua, & dans l’introduftion à I'analyfe des
lignes courbes par M. Cramer, les maniérés abrégées
de faire le calcul pour, la transformation des axes.
Mais ce n’éftpas de qiioi il s’agit i c i , cette abréviation
de calcul étant indifférente en elle-même aux
.propriétés de la courbe. Voye{ aujji TRANSFORMAT
IO N des axes.
Courbes algébriques du même genre ou du même
ordre, ou du même degré, font celles dont l’équation
-monte à la même dimenfion. V. Ordre & Degré.
■ Les courbes géométriques étant une fois déterminées
par la relation des ordonnées aux abfciffes, on
les diftingue en différens genres ou ordres ; ainfi les
lignes droites font les lignes du premier ordre ; les
lianes du fécond ordre font les ferions coniques.
°Il faut ob fer ver qu’une courbe du premier genre eft
la même qu’une ligne du fécond ordre, parce que
les lignes,droites ne font point comptées parmi les
-courbes, & qu’une ligne du troifieme ordre eft la
même chofe qu’une courbe du fécond genre. Les courbes
du premier genre font donc celles dont l’équation
monte à deux dimenfions; dans celles du fécond
genre, l ’équation monte à trois dimenfions ; à quatre,
dans celles du troifieme genre, &c.
'Par exemple, l’équation d’un cercle eft y 1 — r a x
_x x ou y 1 = a1 —x 1 ; le cerclé eft donc une courbe
du,premier genre & une ligne du fécond ordre.
De même la courbe,dont l’équation eft a x =. y x ,
eft une courbe du premier genre ; & celle qui a pour
équation a7- x = y} , eft courbe du fécond genre &
figne du troifieme ordre.
Sur les différentes du premier genre & leurs
propriétés, voyez Sections coniques du mot Conique.
‘ ; , ... .
On a vu à cet article C o n i q u e , quelle elt
féquation la plus générale des lignes du fécond or-
4 re . & on trouve que cette équation a 3 4- 2. -f- i
termes ; on trouvera de même que l’équatron la
plus générale des lignes du troifieme ordre eft y3 ~\-
a xy * + b x x y + c x i + ey1 + f .x y + g x x + h x
+ * y + / = o , & quelle a 4 - f 3 + 2 + 1 termes,
c’eft-à-dire 10 ; en général, l’équation la plus com-
pofée de l’ordre n , aura un nombre de termes
= (n 1) x ( —-p— ) , c?eft-à-dîre, à la fomme d’une
progreflion arithmétique, dont «4-1 eft le premier
terme & 1 le dernier. Foye^ Progression arithmétique.
Il eft clair qu’une droite ne peut jamais rencontrer
une ligne du ne ordre qu’en n points tout au plus ;
car quelque transformation qu’on donne aux axes ,
l’ordonnee n’aura jamais que n valeurs réelles tout
au plus, puifque l’équation ne peut être que du degré
n. On peut voir dans l’ouvrage de M. Cramer,
déjà cité, plufieurs autres propofitions, auxquelles
nous renvoyons, fur le nombre des points, où les
lignes de différens ordres ou du même ordre peuvent
fe couper .Nous dirons feulement que l’équation d’une
courbe du degré n étant ordonnée, par exemple, par
rapport à y , en forte que y " n’ait pour coefficient
que lkmité, cette équation aura autant de coeffi-
çiens qu’il y a de termes, moins un, c’eft - à -.dire ,
—■" ^ ■— . Donc -fi on donne un pareil nombre de
points, la courbe du n* ordre qui doit palier par ces
points fera facilement déterminable ; car en prenant
. un axe 'quelconque à volonté, & menant des points
donnés des ordonnées à cet axe, on aura—
ordorinées connues, ainfi que les abfciffes corref*
pondantes, & par conféquent on pourra former autant
d’équations, dont les intonnues feront les coef-
ficiens de l’équation générale. Ges< équations ne
donneront jamais que des valeurs linéaires pour les
coefficiens, qu’on- pourra par conféquent trouver
toujours facilement.
Au refte il peut arriver que quelques-uns des
coefficiens foient indéterminés, auquel cas on pourra
faire paffer plufieurs lignes du même ordre par les
points donnés ; ou que les points donnés foient tels
que la courbe n’y puiffe paffer, pour lors l’équation
fera rédu&ible en plufieurs autres rationnelles. Par
exemple , qu’on propofe de faire paffer une feôion
conique par cinq points donnés (c a r n étant = 2 ,
71 " +3."_. eft = ç ) : il eft vifible que fi trois de ces
points font en ligne droite , la feâion.n’y pourra
paffer; car une feftion conique ne peut jamais être
coupée qu’en deux points par une ligne droite, puifque
fon équation n’eft jamais que de .deux dimenfions.
Qu’arrivera-t-il donc ? l’équation fera réductible
en deux du premier degré, qui.repréfenteront
non une feclion conique, mais le fyftèmé de deux lignes
droites, & ainfi des autres.
On peut remarquer auffi que fi quelques coefficiens
fe trouvent infinis, l’équation fe Amplifie ; car
les autres coefficiens font nuis par rapport à ceux-là,
& on doit par conféquent effacer les termes, où fe
trouvent ces coefficiens nuis.
M. Newton a fait fur les courbes du fécond genre'
un traité intitulé, enümeratio l'mearum-t'tr'tii-ordinis.
Les démonftrations des différentes proportions de ce
traité fe trouvent pour la plupart dans les ouvrages
de MM. Stirling & Maclaurin fur les courbes> & dans
y les autres ouvrages dont nous avons aejà.parlé-. Nous
allons rapporter fommairement quelques,-uns des.
principaux articles de l’ouvrage de M. Newton. Cet
auteur rema^que que les courbes du fécond genre ôc
des genres plus élevés, ont1 des propriétés, .analogues
à celles des courbes du premier genre : par exemple,
les ferions coniques ont des diamètres & des axes ;
les lignes que ces diamètres coupent en deux parties
égales font appellées ordonnées ; & le point de la
courbe où paffe le diamètre eft nommé fommet ; de
même fi dans une courbe du fécond genre on tire deux
lignes droites parallèles qui rencontrent la courbe en
trois points', une ligne droite qui coupera ces parallèles
, de maniéré que la fomme des deux parties
comprifes entre la fécante & la courbe d’un même
c ô té , foit égale à l’autre partie Comprife entre la
fécante & la courbe, coupera, fuivant la même loi ,
toutes les autres lignes qu’on pourra mener parallèlement
aux deux premières, & qui feront terminées
à la courbe, c’eft-à-dire les coupera de maniéré que
la fomme des deux parties d’un même côté fera égale
à l’autre partie.
En effet , ayant ordonné l’équation de maniéré
que y* fans coefficient foit-au premier terme, le fécond
terme fera y 2 (a + b x~), & ce fécond terme
contiendra la fomme des racines, c’eft-à-dire des valeurs
de y . Foye^ Eq u a t io n . Or par l’hypôthefé,
il y a deux valeurs de x qui rendent ce fécond terme
= o , puifqu’il y a deux valeurs de x ( kyp. ) qui
donnent la fomme des ordonnées pofitives égale à
la fomme des négatives. Donc il y a deux valeurs
de x , fçavoir A & B , qui donnent a 4- b A — o ,
a-\-Bb=iQ. Or cela ne peut-être, à moins qu’en
général on n’ait <z = o ,. b =10. Donc a-\- b x x z q ,
quelque valeur qu’on fuppofé à x. Donc le fécond
terme manque dans l’équation. Donc la fomme des
ordonnées pofitives eft par - tout égale à la fomme
des ordonnées négatives.
On peut étendre ce théorème aux degrés plus
élevés. Par exemple, dans le quatrième ordre’, le zd
terme étant y 3 (a .-) -f« ..), c’eft encore la même
chofe ; & fi deux valeurs de x donnent la fomme
des ordonnées nulle, toutes les autres valeurs la
donneront.
Outre cela, comme dans les fe&ions coniques non
paraboliques, le quarré d’une ordonnée, c’eft-à-dire
le re&angle des ordonnées fituées de deux différens
côtés du diamètre, eft au reûangle des parties du
diamètre terminées aux fommets de l’ellipfe ou de
l ’hyperbole, comme une ligne donnée appellée la-
tus rectum ou paramétré, eft à la partie du diamètre
comprife entre les fommets, & appellée latus tranf-
verfum ; de même dans les courbes du fécond genre
non paraboliques, le parallélépipède fous trois ordonnées
eft au parallélépipède fous les trois parties
du diamètre terminées par les fommets &c par la rencontre
des ordonnées, dans un rapport confiant.
Cela eft fondé fur ce que le dernier terme de l’équation
, favoir h x 3 4" l x 7, -p m x 4- n , eft le produit
de toutes les racines ; que ce dernier terme eft
outre cela le produit de A x 4- B par D x E , &
par F x 4- G , & que aux points où y = o , c’eft-à-
dire où le diamètre coupe la courbe, points que l’on
appelle ici fommets, on a x = — ^ , x-xî0- , x =
— j : avec ces propofitions on trouvera facilement
la démonftration dont il s’agit, ainfi que celle des
théorèmes fuivans, qui font auffi tirés de M. Newton.
Comme dans la parabole conique qui n’a qu’un
fommet fur un feul & même diamètre, le reélangle
des ordonnées eft égal au produit de la partie du
diamètre comprife entre le fommet & l’ordonnée ,
par une ligne confiante appellée latus rectum; de
même dans celles des courbes du fécond genre qui
n’ont que deux fommets fur un même & unique diamètre,
le parallélépipède fous trois ordonnées eft
égal au parallélépipède fous les deux parties du diamètre
, comprife entre les fommets & la rencontre
de l’ordonnée ,& fous une troifieme ligne confiante
, que l’on peut par conféquent nommer latus rectum.
Foye{ P a r a b o l e . De plus, dans les ferions coniques, fi deux
lignes parallèles & terminées à la féélion, font coupées
par deux autres lignes parallèles & terminées
a la féêlion, la première par la troifieme & la féconde
par la quatrième, le reélangle des parties de
la première eft au reélangle des parties de la troifieme
, comme le re&angle des parties de la féconde
eft au reélangle des parties de la quatrième ; de même
auffi, fi on tire dans une courbe du fécond genre
deux lignes parallèles, terminées à la courbe en trois
points, & coupées par deux autres parallèles terminées
à la même courbe, chacune en trois points le
parallélépipède des trois parties de la première ligne
fera à celui des trois parties de la troifieme, çomme
le parallélépipède des trois parties de la féconde eft
à celui des trois parties de la quatrième.
Enfin les branches infinies des courbes du premier
& du fécond genre & des genres plus élevés, font ou
du genre hyperbolique ou du genre parabolique :
une branche hyperbolique eft celle qui a une afymp-
tote, c ’eft-à-dire qui s’approche continuellement de
quelque ligne droite ; une branche parabolique eft
celle qui n’a point d’afymptote. Foyer Asymptote
& Branche.
Ces branches fe peuvent diftinguer encore mieux
par leurs tangentes. En effet, fi le point de contaél
d’une tangente eft fuppofé infiniment éloigné’, la
tangente de ce point fe confond avec l’afymptote
dans une branche hyperbolique ; & dans une branche
parabolique, elle s’éloigne à l’infini, & difpa-
roît. On peut donc trouver l’afymptote d’une branche
, en cherchant fa tangente à un point infiniment
éloigné, & on trouve la direélion de cette branche,
en cherchant la pofition d’une ligne droite parallèle
à la tangente , lorfque le point de contaél eft infiniment
éloigné ; car la direâion de la branche infinie
à fon extrémité eft parallèle à celle de cette ligne
droite.
Les lignes d’un ordre impair, par exemple du
troifieme, du cinquième, ont néceffairement quelques
branches infinies, ; car on peut toujours par
une transformation d’axes, s’il eft néceffaire, préparer
l’équation, enforte que l’une au moins des
coordonnées fe trouve élevée à une puiffance impaire
dans l’équation; elle.aura donc toujours au
moins une valeur réelle, quelque valeur qu’on fup-
pofe à l’autre coordonnée. Donc , &c.
Nous avons dit plus haut que dans une ligne
courbe d’un genre quelconque, on peut tofijours imaginer
l’axe tellement placé, que la fomme des ordonnées
d’une part foit égale à la fomme des ordonnées
de l’autre. L’axe en ce cas s’appelle ordinairement
diamètre. Il eft évident que toute courbe en
a une infinité ; car ayant transformé les axes d’une
maniéré quelconque, on peut toujours fuppofer cette
transformation telle que le fécond terme de la transformée
manque, & en ce cas l’un des axes fera diamètre.
On appelle diamètre abfolu celui qui divife les ordonnées
en deux également ; tels font ceux des fée-
tions coniques.
M. de Bragelongne appelle contre-diametre un axe
des abfciffes, tel que les abfciffes oppofées égales
ayent des ordonnées oppofées égales ; c’efhà-dire,
tel que x négative donne y négative, fans changer
d’ailleurs de valeur.
Ceci nous conduit naturellement à parler des centres,
dont nous avons déjà dit un mot plus haut. Pour
qu’une courbe ait un centre, il faut qu’en fuppofant
l'origine placée dans ce centre, & prenant deux x
oppofées & égales, lesy correlpondantes foient auffi
oppofées & égales ; c’eft-à-dire il faut que faifant x
négative dans l’équation, on trouve poury la même
valeur, mais négative. L’équation doit donc être
telle par rapport à x & à y , qu’en changeant les û